陀螺尋北儀限幅系統(tǒng)魯棒近時(shí)間最優(yōu)控制器

陳志翔,譚立龍,陳勵華

(1.火箭軍工程大學(xué)兵器發(fā)射理論與技術(shù)國家重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室,陜西 西安 710025;2.火箭軍工程大學(xué)自動控制工程系,陜西 西安 710025)

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陀螺尋北儀限幅系統(tǒng)魯棒近時(shí)間最優(yōu)控制器

陳志翔1,譚立龍1,陳勵華2

(1.火箭軍工程大學(xué)兵器發(fā)射理論與技術(shù)國家重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室,陜西 西安 710025;2.火箭軍工程大學(xué)自動控制工程系,陜西 西安 710025)

針對陀螺尋北儀的限幅系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種魯棒近時(shí)間最優(yōu)控制器。首先將陀螺尋北儀的快速限幅問題轉(zhuǎn)化為時(shí)間最優(yōu)控制問題,然后提出設(shè)計(jì)一種魯棒近時(shí)間最優(yōu)控制器來克服理論時(shí)間最優(yōu)控制器的缺陷。該控制器結(jié)合了傳統(tǒng)的bang-bang控制,滑?？刂埔约耙环N備份控制?；？刂破鞯脑O(shè)計(jì)運(yùn)用時(shí)間最優(yōu)控制的思想并通過Lyapunov穩(wěn)定性理論推導(dǎo)出控制器參數(shù)的選擇標(biāo)準(zhǔn)。為了解決控制器在原點(diǎn)處不穩(wěn)定問題,提出了另一類具有線性滑模面的滑?？刂破髯鳛閭浞菘刂啤?shù)值仿真結(jié)果證明了提出的控制器的可行性,在明顯降低抖振的同時(shí)在時(shí)間指標(biāo)上與理論控制器相近。這種控制器的設(shè)計(jì)方法同樣適用于小阻尼項(xiàng)的二階系統(tǒng)。

陀螺尋北儀; 限幅系統(tǒng); 時(shí)間最優(yōu)控制; 滑?？刂?/p>

0　引　言

陀螺尋北儀廣泛應(yīng)用于工業(yè)的各個領(lǐng)域,同時(shí)陀螺尋北儀的尋北時(shí)間又是儀器的一個重要的指標(biāo)。陀螺尋北儀定向主要可分為3步:粗尋北、限幅、精尋北。根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn),在整個尋北過程中,限幅時(shí)間占到整個尋北時(shí)間的三分之一左右[1]。因此,提高限幅效率是縮短尋北時(shí)間的有效途徑。

陀螺尋北儀的快速限幅問題可轉(zhuǎn)化為時(shí)間最優(yōu)控制問題?？刂频哪繕?biāo)是將陀螺主軸在受限的控制律作用下,用最短的時(shí)間從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)狀態(tài)。時(shí)間最優(yōu)控制常稱作bang-bang控制。理論上的時(shí)間最優(yōu)控制系統(tǒng)是不可行的,因?yàn)榭刂破鲗ν饨绲母蓴_、模型的誤差以及參數(shù)的變化非常的敏感[2]。大量的文獻(xiàn)都研究了在保持控制器的近時(shí)間性質(zhì)的同時(shí)提高控制器魯棒性的方法,這些方法已成功應(yīng)用在硬盤驅(qū)動磁頭的定位[3-10](disk-drive head positioning)和取放機(jī)器人[11-16](pick-and-place robotics)上。

然而,在上述的應(yīng)用中,系統(tǒng)的模型常被簡化為二階雙積分系統(tǒng)。1987年,文獻(xiàn)[17-18]針對二階雙積分系統(tǒng)建立了近時(shí)間最優(yōu)伺服系統(tǒng),(proximate time-optimal servomechanism,PTOS)。該系統(tǒng)只能用于與雙積分系統(tǒng)運(yùn)動特性類似的系統(tǒng)。與此同時(shí),文獻(xiàn)[11-13]針對二階雙積分系統(tǒng)也提出了一個非線性的控制策略來實(shí)現(xiàn)魯棒近時(shí)間控制。文獻(xiàn)[17-18]設(shè)計(jì)的PTOS和文獻(xiàn)[11-13]設(shè)計(jì)的控制器都得到了廣泛的應(yīng)用,文獻(xiàn)[10]中詳細(xì)地闡述了兩類控制器之間的差別。近些年,近時(shí)間最優(yōu)控制器又通過與其他控制理論的結(jié)合,得到了進(jìn)一步的發(fā)展[19-21]。文獻(xiàn)[22-23]針對二階時(shí)不變系統(tǒng)提出了一種構(gòu)造切換時(shí)間曲線的新方法,該方法通過簡單的算法來計(jì)算切換的次數(shù)以及切換的時(shí)間。文獻(xiàn)[24]將這種控制器應(yīng)用到AFM的快速掃描上。但是該控制器并沒有克服bang-bang控制的抖振問題。類似地,文獻(xiàn)[25]針對一類具有虛特征值,控制律受限的二階系統(tǒng),提出了理論上的時(shí)間最優(yōu)控制器。實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在明顯的控制律抖振問題。傳統(tǒng)的魯棒近時(shí)間最優(yōu)控制器已經(jīng)不再適用于文獻(xiàn)[22-25]描述的系統(tǒng)。同時(shí),陀螺尋北儀限幅系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型也是一個具有純虛特征值以及控制律受限的二階系統(tǒng)。系統(tǒng)模型與文獻(xiàn)[25]的系統(tǒng)相同,與文獻(xiàn)[22-24]描述的系統(tǒng)類似并忽略了阻尼項(xiàng)的影響。因此，需要針對這一類二階系統(tǒng)建立魯棒近時(shí)間最優(yōu)控制器。

本文為陀螺尋北儀的限幅系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種魯棒近時(shí)間最優(yōu)控制器?？刂撇呗杂蒪ang-bang控制,滑?？刂埔约皞浞菘刂平M成?；？刂破鞯幕Ｃ嬖O(shè)計(jì)運(yùn)用了時(shí)間最優(yōu)的控制思想。備份控制是為了解決一類特殊的情況:系統(tǒng)在目標(biāo)點(diǎn)附近無法滿足Lyapunov穩(wěn)定性要求。文中利用一種具有線性滑模面的滑?？刂破髯鳛閭浞菘刂破鱽斫鉀Q終端不穩(wěn)定性問題,而非常規(guī)的PD控制[10-13]。魯棒近時(shí)間最優(yōu)控制的基本思想為:設(shè)計(jì)出的滑模面將整個相平面分為兩個區(qū)域,根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)位于的不同區(qū)域,控制器執(zhí)行不同的控制方法,包括bang-bang控制、滑?？刂埔约皞浞菘刂?。

1　問題敘述

陀螺尋北儀限幅系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型[26]為

(1)

式中,J表示陀螺靈敏部等效的轉(zhuǎn)動慣量;DK表示陀螺靈敏部指北力矩系數(shù);DB表示懸?guī)У呐ち叵禂?shù);x是陀螺主軸與真北向的夾角,代表陀螺主軸的方位角;u代表控制輸入,限定在一個區(qū)間[-umax,umax],umax是由陀螺尋北儀的機(jī)械結(jié)構(gòu)決定的。

系統(tǒng)的狀態(tài)變量定義為

(2)

式中,x1代表方位角;x2代表方位角速度。

時(shí)間最優(yōu)控制問題可表述為

(3)

s.t.

(4)

(5)

控制律受到約束:u∈[-umax,umax]。

結(jié)合工程實(shí)際,根據(jù)陀螺尋北儀粗尋北精度和下放穩(wěn)定性,假設(shè)在控制律的變化中,只有一次切換,如圖1所示。

圖1　時(shí)間最優(yōu)軌跡Fig.1　Time-optimal trajectories

理論上的目標(biāo)狀態(tài)為

終端條件可簡化為

(6)

式中,D=DK+DB；δ是一個小正數(shù),代表限幅后的擺動幅度。

根據(jù)文獻(xiàn)[27-29],理論上的解析解可表述為

(7)

(8)

式中,s稱作切換線；λ=DB/DK。

bang-bang控制具有時(shí)間最優(yōu)的特性,但是由于控制器對干擾誤差較為敏感限制了其應(yīng)用。下面將提出一種魯棒近時(shí)間最優(yōu)控制器來克服這一缺點(diǎn)。

2　魯棒近時(shí)間最優(yōu)控制

(9)

2.1滑模最優(yōu)控制

利用滑模控制的魯棒性來實(shí)現(xiàn)魯棒近時(shí)間最優(yōu)控制,s=0為滑模面。為了執(zhí)行滑模控制,等效控制律必須小于控制律的上界umax,預(yù)留部分控制律。當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾、模型誤差的影響,狀態(tài)軌跡偏離滑模面s=0時(shí),控制器可以利用預(yù)留的控制律來修正狀態(tài)軌跡,使其跟蹤滑模面s=0。因此,滑模面可表述為

(10)

圖2　相平面區(qū)域的定義Fig.2　Definition of state-space regions

在區(qū)域Ⅱ,當(dāng)x2< 0時(shí),反饋控制律可表達(dá)為

(11)

(12)

(13)

(14)

系統(tǒng)狀態(tài)可以在區(qū)域Ⅱ中的任意位置,因此x2可表達(dá)為

(15)

(16)

(17)

因此,ε必須滿足

(18)

(19)

通過將ε取足夠大以滿足上述的不等式:

(20)

同時(shí)式(11)描述的控制律必須是可以實(shí)現(xiàn)的,必須滿足如下條件:

(21)

(22)

(23)

為了消除式(23)滑?？刂频亩墩駟栴},引入飽和函數(shù)sat(s)代替理想滑動模態(tài)的符號函數(shù)sgn(s),即

(24)

式(24)說明:在邊界層外,采用切換控制,在邊界層內(nèi),采用線性化反饋控制。

修正的控制律可表述如下:

(25)

2.2一類特殊的情況

(26)

因此,隨著系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡逐漸向目標(biāo)點(diǎn)移動,不等式(18)將不成立。

(27)

(28)

2.3備份控制

這里,提出一種具有線性滑模面的滑模控制作為備份控制。

將偏離邊界層的狀態(tài)點(diǎn)記為:[x1_esc,x2_esc]T,并稱之為逃逸點(diǎn)(escaping points)。圖3線性滑模面可表達(dá)為

(29)

式中,c=| x2_esc/x1_esc |。

圖3　由逃逸點(diǎn)構(gòu)造的線性滑模面Fig.3　Linear sliding surfaces constructed from escaping points

定義:

(30)

提出的控制律可表達(dá)為

(31)

式中,γ定義為

(32)

η是一個嚴(yán)格正的常數(shù)。μ可以表達(dá)為

(33)

可以證明在控制律式(31)的作用下,可以保證系統(tǒng)在式(29)描述的線性滑模面上運(yùn)動的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性證明如下。

考慮乘積:

(34)

將式(4),式(29)～式(33)代入式(34),可得

(35)

式(35)證明了滑模運(yùn)動的穩(wěn)定性。

綜上,提出的控制器的結(jié)構(gòu)原理圖如圖4所示。

圖4　魯棒近時(shí)間控制器的原理圖Fig.4　Block diagram of the proposed controller

控制器的控制律可表述為

(36)

3　數(shù)值仿真

仿真結(jié)果如下:圖5為系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡圖,圖6為圖5的終端區(qū)域局部放大圖,圖7為控制律的變化圖。

表1　仿真參數(shù)

圖5　系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡Fig.5　The state trajectories

圖6　在終端附近狀態(tài)軌跡的放大圖Fig.6　State trajectories near the origin

圖7　3種情況控制律變化曲線Fig.7　Time-suboptimal control law with close-ups

根據(jù)圖6(a)、圖6(b)可以觀察到,由于參數(shù)的變化,特別是當(dāng)辨識的參數(shù)與真值有較大的誤差時(shí),在終端區(qū)域附近,系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡可能會偏離邊界層并進(jìn)入?yún)^(qū)域I,此時(shí)控制器將會執(zhí)行具有線性滑模面的滑?？刂?系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡被調(diào)節(jié)在線性滑模面上移動。在圖6(c)中,系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡一直位于邊界層內(nèi)部,因此備份控制并未執(zhí)行。

通過對上述仿真結(jié)果的分析可知,在參數(shù)變化的干擾下,設(shè)計(jì)的魯棒近時(shí)間最優(yōu)控制器不僅可以消除理論的時(shí)間最優(yōu)控制器的抖振現(xiàn)象,而且相對于理論的時(shí)間最優(yōu)控制器,在時(shí)間指標(biāo)上,可以實(shí)現(xiàn)近時(shí)間最優(yōu)控制。

4　結(jié)　論

本文將陀螺尋北儀的快速限幅問題轉(zhuǎn)化為時(shí)間最優(yōu)控制問題,并設(shè)計(jì)了一種魯棒近時(shí)間最優(yōu)控制器?？刂破饔蓚鹘y(tǒng)的bang-bang控制,滑?？刂埔约皞浞菘刂平M成,本文采用具有線性滑模面的滑?？刂谱鳛閭浞菘刂?。該控制器的設(shè)計(jì)方法具有一定的普適性,可以應(yīng)用到類似的小阻尼項(xiàng)的二階系統(tǒng)中。

下一步的工作是將設(shè)計(jì)的魯棒近時(shí)間最優(yōu)控制器的初始條件拓展到整個相平面。

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Robust,time-suboptimal controller for damping systems of gyroscopes

CHEN Zhi-xiang1,TAN Li-long1,CHEN Li-hua2

(1.Armament Launch Theory and Technology Key Discipline Laboratory of China,Rocket Force University of Engineering,Xi’an 710025; 2.Department of Automatic Control, Rocket Force University of Engineering,Xi’an 710025)

A robust,time-suboptimal controller is proposed for damping systems of gyroscopes.The technique involves the combination of traditional “bang-bang” control with sliding-mode control and an alternating control.It incorporates the time optimal control idea into the sliding mode control design and the sliding mode control is established by Lyapunov function approach.A special situation about the instability problem near the origin is analyzed.To solve this problem,another sliding mode control with linear sliding surface,is proposed as an alternating control.Numerical simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed controller,reducing chattering significantly while performing nearly as well as the theoretical controller.This technique can be also applied to other similar second-order systems,which can neglect the damping term practically.

gyroscopes; limiting systems; time-optimal control; sliding mode control

2015-08-06；

2016-05-31；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2016-06-22。

國家自然科學(xué)基金(41174162)資助課題

TN 384

ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.11.25

陳志翔(1991-),男,博士研究生,主要研究方向?yàn)閷?dǎo)彈發(fā)射理論與技術(shù)、電磁彈射(EMLS)、最優(yōu)控制、滑?？刂啤⑼勇輰け?。

E-mail:czx91154@163.com

譚立龍(1973-),男,副教授,博士,主要研究方向?yàn)閷?dǎo)彈發(fā)射理論、慣性導(dǎo)航、自動控制技術(shù)。

E-mail:15349227983@189.cn

陳勵華(1976-),女,副教授,博士,主要研究方向?yàn)橄冗M(jìn)控制理論與應(yīng)用、地磁導(dǎo)航。

E-mail:clhhxl@163.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160622.1136.008.html