變更與甄選主元

劉　冰

(黑龍江省哈爾濱師范大學附屬中學,150080)

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變更與甄選主元

劉冰

(黑龍江省哈爾濱師范大學附屬中學,150080)

主元法,是指在含有兩個或兩個以上變元的問題的解決過程中,選擇其中一個變元作為研究的主要對象,視為主元,而將其余各變元視為參數或常量的一種思想方法.主元法將問題轉化為關于該主元的式子、方程或函數,可將問題難度大大降低,使問題獲得巧解,化難為易.在多變量問題的解題中,一旦選對了主元,等于在戰(zhàn)斗中選擇了正確的方向.

筆者認為高考中主元法的應用主要分為以下兩種:變更主元法與甄選主元法.

一、變更主元法——巧解含參問題

含參問題是高考的必考題型.主元法是處理多元問題的一種重要方法.當參數與主元存在確定函數關系時，變更主元不失為降低問題處理難度的有效途徑.

例1(2016年全國高考題)

解(1)f(x)的定義域為

(-∞,-2)∪(-2,+∞).

當且僅當x=0時，f ′(x)=0,所以f(x)在(-∞,-2),(-2,+∞)單調遞增.

因此，當x∈(0,+∞)時，

f(x)>f(0)=-1,

所以(x-2)ex>-(x+2),

即(x-2)ex+x+2>0.

由(1)知,f(x)+a單調遞增,對任意a∈[0,1),有

①

當0

當x>t時，f(x)+a>0,有g′(x)>0，g(x)單調遞增.

將①代入，得

其中t∈(0,2].

二、甄選主元法——巧解多元問題

例2(2016年全國高考題)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍;

(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:

x1+x2<2.

解(1)f ′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)

=(x-1)(ex+2a).

(i)若a=0,則f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一個零點.

(iii)若a<0,由f ′(x)=0，得x=1或x=ln(-2a).

綜上,a的取值范圍為(0,+∞).

(2)不妨設x1

由(1)知，x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1).又因f(x)在(-∞,1)內單調遞減，所以x1+x2<2,即f(x1)>f(2-x2),即證f(2-x2)<0.

因為f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,

又f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,

故f(2-x2)==-x2e2-x2-(x2-2)ex2,

x2∈(1,+∞).

設g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,x∈(1,+∞),則g′(x)=(x-1)(e2-x-ex).

當x>1時，g′(x)<0,而g(1)=0,故當x>1時，g(x)<0，從而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.

評注問題(2)中x1,x2沒有相互約束關系，要注意問題的串聯(lián),借助第(1)問的結論來證明.由單調性可知x1+x2<2等價于f(x1)>f(2-x2),由此甄選主元x2，即證f(2-x2)<0,實現二元問題化歸為一元問題,利用函數思想加以解決,降低試題難度.