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    分部積分法在非連續(xù)函數(shù)中的應(yīng)用

    2015-06-10 09:45:25孟彥廷孟渝重慶交通大學(xué)重慶工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院
    科學(xué)中國人 2015年9期
    關(guān)鍵詞:積分法分部導(dǎo)數(shù)

    孟彥廷,孟渝.重慶交通大學(xué);.重慶工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院

    分部積分法在非連續(xù)函數(shù)中的應(yīng)用

    孟彥廷1,孟渝2
    1.重慶交通大學(xué);2.重慶工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院

    近年來,對于積分區(qū)間上不連續(xù)的函數(shù)應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式求定積分的探討很多。實(shí)際上,對于條件更加嚴(yán)苛的定積分的分部積分法也可以進(jìn)行更深入分析和研究。本文通過對幾種不滿足定積分分部積分法條件的情況進(jìn)行探討和分析,并得出相應(yīng)的結(jié)論,從而擴(kuò)大了該公式的應(yīng)用范圍,并且這些結(jié)論在像傅里葉級數(shù)和變換的運(yùn)算等方面能發(fā)揮實(shí)際的作用。

    分部積分法;非連續(xù);第一類間斷點(diǎn),其中為任意常數(shù)。證明:根據(jù)可積性理論,g(x)在[a,b]上可積,那么∫axg(t)dt就在[a,b]上連續(xù)(文獻(xiàn)1),但注意到由條件②并非[a,b]上g(x)是連續(xù)函數(shù),實(shí)際上G(x)在[a,b]上不一定處處可導(dǎo),為了證明簡便,假設(shè)g(x)在[a,b]上只有唯一一個(gè)第一類間斷點(diǎn)x0,即

    由條件②則

    定積分的計(jì)算是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容,而這部分所依賴的唯一理論工具是牛頓-萊布尼茲公式,而該公式的條件要求非常嚴(yán)苛,要求被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)[1]。在現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際應(yīng)用中,這些要求幾乎很難達(dá)到,所以近年來很多文獻(xiàn)[2-5]對積分區(qū)間上非連續(xù)函數(shù)的對牛頓-萊布尼茲公式的應(yīng)用的一些探討和研究,主要總結(jié)一系列非連續(xù)函數(shù)的定積分計(jì)算方法,這些討論總體來說只是對分段連續(xù)函數(shù)對牛頓-萊布尼茲公式的適應(yīng)性的分析,總而擴(kuò)大該公式的應(yīng)用范圍。但是,對于建立在該公式上,并且條件更加嚴(yán)苛的定積分分部積分法公式未作更深入的探討。本文將從這方面入手,分幾種情況進(jìn)行討論,通過分析證明出這個(gè)公式的更廣泛的應(yīng)用形式。

    定義:如果函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義,且只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),則稱f(x)在[a,b]上分段連續(xù)。

    定理一

    設(shè)①F(x)在[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)值,記為f(x),②g(x)[a,b]上分段連續(xù),則均存在,不妨記為t1和t2,定義g1(x0)=t1,g2(x0)=t2,這時(shí)g1(x)和g2(x)分別在[a,x0]、[x0,b]上連續(xù),那么若t1≠t2時(shí),G(x)在x0點(diǎn)不可導(dǎo),但在[a,x0]和[x0,b]均可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)都為g(x)。由條件①和②得知,F(xiàn)(x)g(x)、f(x)G(x)均在[a,x0]和[x0,b]上可積。應(yīng)用定積分分部積分法公式,則有

    考慮到F(x)與G(x)的連續(xù)性,F(xiàn)(x)G(x)在[a,b]上連續(xù),則其中Fˉ(x)=∫axf(t)dt+C。

    證明:類似定理一,假設(shè)f(x)只有一個(gè)第一類間斷點(diǎn)x0,在[a,x0]和[x0,b]上f(x)分別為f1(x)和f2(x)。由條件

    故上述定理得證。

    定理二

    設(shè)①F(x)在[a,b]上連續(xù)且有分段連續(xù)的導(dǎo)數(shù),記為f(x);②g(x)在[a,b]上連續(xù)且G′(x)=g(x)。均存在,記為t1和t2,定義f1(x0)=t1,f2(x0)=t2,則f1(x)、 f2(x)分別在[a,x0]、[x0,b]上連續(xù),那么F′(x)在除x0以外的點(diǎn)與-F′(x)相等,由條件①②F(x)g(x)、f(x)G(x)在[a,b]上可積,考慮到

    Fˉ(x)的連續(xù)性以及Fˉ′(x)(F(x))在[a,x0]、[x0,b]上連續(xù)性。故

    例1:設(shè)f(x)在[-l,l]上分段連續(xù),且:

    由于f(x)只有第一類間斷點(diǎn),則F(x)在[-l,l]要么存在有限導(dǎo)數(shù),要么存在有限的單側(cè)導(dǎo)數(shù),則

    實(shí)際上,以上三個(gè)定理也可以推廣到無限區(qū)間的廣義(反常)積分上去。

    例2:求f′(x)的傅里葉變換,設(shè)f(x)在(-∞,+∞)分段連續(xù),f(x)存在且只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)且

    [1]歐陽光中,朱學(xué)炎,金福臨,等.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2007:251-352(上冊),50-70(下冊)

    [2]陳明升.分段函數(shù)積分時(shí)應(yīng)注意的幾個(gè)問題.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)(現(xiàn)高等數(shù)學(xué)研究)[J].1994,12(4):19-23

    [3]劉厚德.一類在積分區(qū)間上不連續(xù)函數(shù)的積分法.科技信息(學(xué)術(shù)研究)[J].2008(23):93-94

    [4]何曉娜.關(guān)于分段函數(shù)的積分運(yùn)算.廣西教育學(xué)院學(xué)報(bào)[J]. 2011(1):150-151,168

    [5]葛喜芳.分段函數(shù)的幾個(gè)積分問題的計(jì)算方法.漯河職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)[J].2012,11(5)

    孟彥廷(1993-),女,重慶人,2013年在“第一屆重慶市大學(xué)生物理創(chuàng)新競賽”中榮獲論文類二等獎,2014年在第六屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中榮獲重慶賽區(qū)一等獎,在2014年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中榮獲重慶市二等獎。

    孟渝(1963-),男,遼寧鐵嶺人,碩士,講師,從事高等數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究。

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