基于3σ準(zhǔn)則的分段擬合及其GARCH修正模型

林靜+唐國(guó)強(qiáng)+覃良文

摘 要 在金融時(shí)間序列中，一組金融序列可被視為由不同時(shí)間段的分段函數(shù)擬合連接而成.利用3σ準(zhǔn)則確定分段函數(shù)的臨界點(diǎn)，并根據(jù)AIC準(zhǔn)則及調(diào)整后R2對(duì)分段點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證，從而分段點(diǎn)把數(shù)據(jù)分割成兩部分.對(duì)兩序列分別用合適的函數(shù)進(jìn)行擬合，并用ARMA-GARCH模型對(duì)殘差序列進(jìn)行修正.由上證綜合指數(shù)數(shù)據(jù)的實(shí)證分析結(jié)果表明：3σ準(zhǔn)則能很好地檢索出臨界點(diǎn)，同時(shí)建立的分段函數(shù)模型預(yù)測(cè)效果要優(yōu)于ARMA與EGARCH模型，以及ARMA-GARCH模型的引入對(duì)模型的精確度有所提高.所介紹的方法簡(jiǎn)單易懂、便于操作、精度高，為金融投資者和學(xué)者提供參考價(jià)值.

關(guān)鍵詞 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)；分段擬合；拉依達(dá)準(zhǔn)則；GARCH模型；臨界點(diǎn)

中圖分類號(hào) F224 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Abstract In the financial time series， a group of financial sequence can be used as a function， in which piecewise fitting connection is made in different time periods. The Pauta criterion was exploited to determine the critical point of piecewise functions， according to AIC guidelines and coefficient of determination after adjustment to test breaking point， thus the staging point split the data into two parts. Two sequences were fitted with the appropriate function， and ARMA-GARCH model was used to amend the residual sequence. The empirical results of Shanghai composite index show that the 3 σ guidelines can retrieve critical point commendably. At the same time， the forecasting efficiency of piecewise function model is better than ARMA model and EGARCH model. Also， the precision of the model is improved by the introduction of ARMA-GARCH model. Moreover， the method is simple， easy to understand and operate， and accurate， which provides reference value for financial investors and scholars.

Key words Application of statistical； Sub-fitting； Pauta criterion； GARCH model； Critical point

1 引 言

從金融數(shù)據(jù)產(chǎn)生至今，對(duì)金融數(shù)據(jù)的分析一直是金融研究領(lǐng)域中一個(gè)倍受關(guān)注的焦點(diǎn)[1].運(yùn)用科學(xué)的預(yù)測(cè)方法對(duì)金融序列進(jìn)行預(yù)測(cè)具有十分重要的意義.從序列趨勢(shì)波動(dòng)的視角分析，序列的走勢(shì)往往會(huì)呈現(xiàn)短期的上升或下降.在分析金融序列波動(dòng)的趨勢(shì)的基礎(chǔ)上，提出了建立分段函數(shù)來(lái)對(duì)序列進(jìn)行擬合.以分段函數(shù)的分段點(diǎn)作為突破點(diǎn)，在不同的時(shí)間區(qū)域中擬合合適的函數(shù).

在分析較為復(fù)雜的數(shù)據(jù)時(shí)，往往采用分段曲線在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行擬合逼近.趙麗坤和劉陽(yáng)（2010）[2]指出分段函數(shù)是指自變量在不同范圍取值時(shí)，有著不同的對(duì)應(yīng)法則的一種函數(shù)，即用幾個(gè)或無(wú)窮個(gè)解析式來(lái)近似表示曲線的函數(shù).在實(shí)際生活中，很多問(wèn)題都是多方面的，要考慮全面時(shí)常離不開分類討論的思想，此時(shí)在解決日常生活中的問(wèn)題（如，移動(dòng)通話收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)、個(gè)人應(yīng)納稅所得稅額、購(gòu)物等）通常需要用到分段函數(shù)的模型函數(shù).張興元 （2007） [3]為了克服分段曲線擬合方法中存在不連續(xù)性與不可導(dǎo)性的缺陷，提出了一種分段函數(shù)的光滑算法，該方法在凸輪實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分段曲線擬合中得到了很好的擬合效果；劉麗坤和劉陽(yáng)（2010） [4]采用系統(tǒng)工程的方法，并建立分段函數(shù)模型，和結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)的復(fù)合方法對(duì)風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目各階段做出動(dòng)態(tài)的決策.對(duì)于分段函數(shù)研究，很多學(xué)者是側(cè)重于理論上對(duì)分段函數(shù)的求導(dǎo)與連續(xù)性來(lái)確定分段點(diǎn)的某個(gè)角度的定性認(rèn)識(shí)，缺乏一定的說(shuō)服力，而在文章中從定量的角度上確定分段點(diǎn)，引入拉依達(dá)準(zhǔn)則進(jìn)行確認(rèn)分段點(diǎn)，使得分段函數(shù)模型更具有有效性與說(shuō)服力.對(duì)于拉依達(dá)準(zhǔn)則的研究，往往被應(yīng)用于異常值的確定.陳俊等（2007） [5]在研究捕食模型的高精度參數(shù)估計(jì)中，針對(duì)時(shí)間變量出現(xiàn)的誤差，采用了拉依達(dá)準(zhǔn)則進(jìn)行篩選，最終提出了一種較為簡(jiǎn)單的參數(shù)分段的動(dòng)態(tài)估計(jì)算法.最近30年來(lái)，GARCH模型的應(yīng)用在金融領(lǐng)域中發(fā)揮了較好的作用.劉青 （2015） [6]對(duì)上證綜合指數(shù)收益率建立GARCH族模型進(jìn)行比較，結(jié)果表明指數(shù)GARCH（EGARCH）模型可更好的預(yù)測(cè)資產(chǎn)收益率的波動(dòng)過(guò)程.

借鑒以上研究中的一些基本成果，建立合理的預(yù)測(cè)模型，并與文獻(xiàn)[6]推薦建立的EGARCH模型作對(duì)比，結(jié)果表明修正后的模型精度優(yōu)于修正前的模型和EGARCH模型.文中的創(chuàng)新點(diǎn)在于運(yùn)用拉依達(dá)準(zhǔn)則確定分段函數(shù)的分段點(diǎn)和運(yùn)用ARMA-GARCH模型修正殘差序列.對(duì)分段點(diǎn)的確定實(shí)際上是逐步擬合合適的模型，找出異常的殘差值.異常的殘差對(duì)應(yīng)的樣本值是嚴(yán)重地偏離預(yù)測(cè)值，表明該樣本點(diǎn)不宜于在該曲線上或者是不宜于用該曲線去擬合該樣本點(diǎn).異常值的判斷，往往可以采用拉依達(dá)準(zhǔn)則來(lái)確定.endprint

3 基于3σ準(zhǔn)則的分段擬合

及模型修正的建模分析

3.1 數(shù)據(jù)的選取

在文章中，把上證綜合指數(shù)作為研究對(duì)象進(jìn)行說(shuō)明文章的思想.上證綜合指數(shù)是由上海證券交易所編制，用于體現(xiàn)上海證券市場(chǎng)層次豐富及行業(yè)拓展的市場(chǎng)結(jié)構(gòu)和變化特征，同時(shí)是國(guó)際資本市場(chǎng)的一個(gè)重要參考數(shù)字[9].為了驗(yàn)證3σ準(zhǔn)則用于分段擬合與ARMA-GARCH的修正模型的有效性，文中數(shù)據(jù)來(lái)源于同花順金融網(wǎng)（數(shù)據(jù)來(lái)源路徑：http：//q.10jqka.com.cn/stock/zs/szzs/）.利用收集到2014年6月3日到2016年4月30日的上證綜合指數(shù)收盤價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析，總計(jì)469個(gè)數(shù)據(jù)（記為序列X，作為訓(xùn)練集，見(jiàn)圖1所示）.而2016年5月3日至2016年5月30日的上證綜合指數(shù)數(shù)據(jù)為樣本外檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，共20個(gè)數(shù)據(jù).利用計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析軟件Eviews6.0和RStudio軟件完成上證綜合指數(shù)的建模過(guò)程.3.2 分段函數(shù)臨界點(diǎn)的確定（3σ準(zhǔn)則）

從圖1中，可觀察序列X前面一部分?jǐn)?shù)據(jù)與后面一部分?jǐn)?shù)據(jù)的波動(dòng)情況不一致，總體上是先上升后下降，則采取分段函數(shù)的方法把數(shù)據(jù)分成兩部分進(jìn)行建模.但是，對(duì)于分段函數(shù)的臨界點(diǎn)的確定成為了文章的關(guān)鍵.

對(duì)前面50%數(shù)據(jù)（1-235）進(jìn)行指數(shù)、二次函數(shù)、線性函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)進(jìn)行擬合，結(jié)果發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的擬合效果最好，求出預(yù)測(cè)值，并算出前面235個(gè)樣本殘差序列的3σ區(qū)間（-411.495，413.352），以及全部數(shù)據(jù)的殘差.由表1可知，在第一擬合時(shí)，發(fā)現(xiàn)第259號(hào)殘差的值不介于殘差序列的3σ區(qū)間，則緊接著對(duì)前面258個(gè)樣本重新擬合；從而得到前面258個(gè)樣本殘差序列的3σ區(qū)間為（-424.447，427.146），但是第259號(hào)殘差值開始就不介于該區(qū)間內(nèi)，則擬合結(jié)束，臨界點(diǎn)為t=259.

方差方程中的ARCH和GARCH項(xiàng)的系數(shù)都是統(tǒng)計(jì)顯著的，并且AIC和SIC值均變小，R方達(dá)到0.16.用以上ARMA（2，2）-GARCH（1，1）模型作殘差序列的修正模型，擬合效果是比較理想的，走勢(shì)基本一致，兩曲線基本是重合的（見(jiàn)圖2）.因此引入ARMA-GARCH模型作修正模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)，有助于提高模型的精度.

3.5 預(yù)測(cè)模型的有效性比較

綜合式（3，4，5），可得出文章的最終模型，與對(duì)上證綜合指數(shù)建立的ARMA模型做對(duì)比，并對(duì)樣本外的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果見(jiàn)下圖3.

從圖3可知，修正后的模型預(yù)測(cè)值以及走勢(shì)最接近于上證綜合指數(shù)收盤價(jià)實(shí)際值，而修正前的模型預(yù)測(cè)值和ARIMA（4，1，4）模型的預(yù)測(cè)值較為接近，EGARCH模型偏離實(shí)際值較大，均不如文中介紹的修正前與修正后的模型接近.經(jīng)過(guò)計(jì)算2016年5月份20期四種模型的殘余誤差絕對(duì)值的和∑20i=1εi，其值依次分別為1 205.18，1 876.51，1 879.02，2 617.32.

由此可見(jiàn)，修正后模型的誤差值最小，其次為修正前的模型，再者為ARIMA模型.在四種模型的比較中，修正后的模型對(duì)實(shí)際收盤價(jià)的預(yù)測(cè)性能要優(yōu)于常規(guī)建立的ARIMA模型、EGARCH模型和修正前的模型；而修正前的分段函數(shù)模型的預(yù)測(cè)效果稍微比ARIMA模型要好，但是效果不是很明顯.從方法的角度出發(fā)，引入ARMA-GARCH模型對(duì)分段函數(shù)模型殘差做修正模型的預(yù)測(cè)效果有所提高；同時(shí)，用3σ準(zhǔn)則確定臨界點(diǎn)來(lái)建立的分段函數(shù)也可以提高模型的精度.四種模型所預(yù)測(cè)的二十期的預(yù)測(cè)值及其95%置信度區(qū)間如表6所示：

4 結(jié) 論

針對(duì)文章提出的模型修正以及樣本區(qū)間確定的問(wèn)題，采取了3σ準(zhǔn)則確定樣本區(qū)間的選擇，并運(yùn)用ARMA-GARCH模型對(duì)殘差進(jìn)行擬合，從而起到了模型修正的作用，有效地降低了誤差值.根據(jù)上證綜合指數(shù)的走勢(shì)以及波動(dòng)情況，從觀察的視角出發(fā)，建立分段函數(shù)模型可能會(huì)比其他模型更有說(shuō)服力.通過(guò)基于拉依達(dá)準(zhǔn)則對(duì)上證綜合指數(shù)建立分段函數(shù)，然后運(yùn)用ARMA-GARCH模型對(duì)殘差序列擬合，并與殘差修正前模型、ARMA模型和EGARCH模型作對(duì)比，得出以下結(jié)論：

1）對(duì)于分段函數(shù)的分段點(diǎn)的確定是十分困難的，而文中提出引入3σ準(zhǔn)則的方法恰好可以克服了這個(gè)問(wèn)題，為文章后面分段擬合做鋪墊，可以提高模型的精度，同時(shí)也為投資者提供了一種較為簡(jiǎn)單的分段函數(shù)方法.

2）分段函數(shù)的殘差序列存在顯著的ARCH效應(yīng)，建立ARMA-GARCH模型可以提高模型的精度；從模型比較的角度出發(fā)，修正后的模型的擬合效果和預(yù)測(cè)效果均優(yōu)于其他三種模型.通過(guò)修正前與修正后的模型對(duì)比，結(jié)果顯示引入ARMA-GARCH模型對(duì)殘差序列進(jìn)行修正可以提高模型的精度，降低模型的誤差，該修正方法可以給廣大學(xué)者作參考.

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