帕斯卡《思想錄》的理性精神與數(shù)學成就

劉宗寶，吳維煊

(江蘇省宿遷經(jīng)貿(mào)高等職業(yè)技術學校， 江蘇 宿遷 223600)

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帕斯卡《思想錄》的理性精神與數(shù)學成就

劉宗寶，吳維煊*

(江蘇省宿遷經(jīng)貿(mào)高等職業(yè)技術學校， 江蘇 宿遷 223600)

帕斯卡的數(shù)學成就是其幾何學精神、敏感性精神與理性精神的有機結合的產(chǎn)物.帕斯卡對幾何有著濃厚的興趣，有著基于敏感與理性的嚴謹.帕斯卡的《思想錄》是世界上最偉大的隨筆經(jīng)典，該書集中體現(xiàn)了作者以“幾何精神”為主體的思想理論.帕斯卡以笛卡爾的理性主義思想為基礎，不僅繼承與發(fā)揚了理性主義傳統(tǒng)，以理性來批判一切,同時又在繼承的基礎上指出理性本身存在的內(nèi)在矛盾，展現(xiàn)其特有的揭示矛盾的方法，因而在數(shù)學發(fā)展史上寫下濃墨重彩的一筆.

帕斯卡;思想錄；幾何精神；數(shù)學成就

0　引言

布萊士·帕斯卡(Blaise Pascal，1623-1662)生活在17世紀的法國，是著名的哲學家、思想家和科學家，他的思想理論集中地表現(xiàn)在他的《思想錄》一書中，該書以其論戰(zhàn)的鋒芒、深邃的思想以及流暢的文筆闡述了“人的全部尊嚴就在于其思想”這一哲學觀點.《思想錄》這一哲學著作是世界思想文化史上的經(jīng)典著作，對后世產(chǎn)生了深遠影響，被認為是法國古典散文的奠基之作.《思想錄》一書集中體現(xiàn)了作者以“幾何精神”為主體的思想理論，帕斯卡以笛卡爾的理性主義思想為基礎，不僅繼承與發(fā)揚了理性主義傳統(tǒng)，以理性來批判一切；同時又在繼承的基礎上指出理性本身的內(nèi)在矛盾，展現(xiàn)其特有的揭示矛盾的方法，即“帕斯卡方法”.

1　發(fā)現(xiàn)幾何圖形的性質——敏感精神與幾何精神的結合

帕斯卡由于體弱多病，父親不準他學習數(shù)學.禁止他學習數(shù)學，反而引起他對數(shù)學的好奇心，并請求他的家庭教師給他講幾何學.教師告訴他，這是對準確的圖形和圖形的各個部分性質的研究.他從教師對這門學科的描述和父親反對這門學科的禁令得到了鼓勵和探索的欲望.他放棄了自己的游戲時間，為了不讓父親失望，他只能秘密地從事這門學科的研究，沒靠任何幫助，發(fā)現(xiàn)了幾何圖形的許多性質.在幾何學中，原則都是顯然可見的，很多人由于缺乏運用習慣，很少能敏感地關注到幾何問題，也就無法將注意力放到這上面來.而帕斯卡有對幾何學的直覺和敏感，在幾何圖形性質的發(fā)現(xiàn)過程中，將幾何學精神與敏感性精神有機結合，加之以潛心研究，就會發(fā)現(xiàn)很多幾何圖形的性質[1].

三角形內(nèi)角和等于平角這個定理是帕斯卡發(fā)現(xiàn)的.在對這個定理的探索中，他采用的是較為直觀的折紙三角形的辦法，也就是把三角形的頂點折到其內(nèi)切圓的圓心上，如圖1所示；或者把頂點折到垂足處，如圖2所示.

帕斯卡的數(shù)學成就中，較為突出的是提出著名的帕斯卡定理，即： 如果一個六邊形內(nèi)接于圓錐曲線，則其三對對邊的交點共線，并且逆命題也成立.

該定理被后人稱之為帕斯卡神秘六線形定理，用這個定理能夠推演出許多我們知道的有關圓錐截線的知識.此外，用投影的概念(由G·迪沙格發(fā)展)帕斯卡說明了除圓以外其他圓錐截線定理.

內(nèi)接于任意圓錐截線的六邊形，當它的延長線成直線AB、BC、CD、DE、EF、FA時，則三組對邊的交點P、Q和R總是共線(圖3).

該定理的證明：

圖4所示，如果1、2、3、4、5、6六個點在一條圓錐曲線上，則56和23,16和34,12和45這三對直線的交點共線.

令α=0，β=0，γ=0，α′=0，β′=0，γ′=0為直線12,34,56,45,61,23的方程，考慮三次曲線αβγ+kα′β′γ′=0

不管k的值是什么，此三次方程過1、2、3、4、5、6、P、Q、R九個點，取圓錐曲線上另一個點7，并如此確定k，讓該三次曲線也過點7.然而，一條三次曲線和一條二次曲線至多交于3×2=6個點，除非該二次曲線是該三次曲線的一部分，而余下的部分是某直線，并且余下的三個點P、Q、R必定處于一條直線上.

帕斯卡給出該定理之后近200年，產(chǎn)生了該定理的對偶定理：

一個六邊形的六條邊切一條圓錐曲線，當且僅當，連接其三對頂點的直線交于一點.

帕斯卡提出六線形定理，并推導出400多條推論，對這個構型所做的探討，幾乎多到了讓人難以置信的地步.帕斯卡六線形定理的發(fā)現(xiàn)及眾多推論的得出，是帕斯卡精確性精神與幾何精神有機結合的產(chǎn)物，他能夠敏銳地、深刻地鉆研種種原則的結論，這就是精確性的精神；他能夠理解大量的原則而從不混淆，這就是《思想錄》中提到的幾何學精神.

2　探討幾何規(guī)律——由特殊到一般的理性精神

在帕斯卡的數(shù)學成就中，廣為人們熟知的是帕斯卡三角形.人們常把三角形數(shù)與數(shù)學家帕斯卡的名字結合起來，成了眾所周知的帕斯卡

三角形.帕斯卡最早在他的書《論算術三角形》中寫到如下的數(shù)字三角陣(圖5)：

(a+b)0=11(a+b)1=1a+1b1 1(a+b)2=1a2+2ab+1b21 2 1(a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b31 3 3 1……………………………………圖5

當我們想要論證一件一般事物時，就必須遵循由特殊到一般的原則，先給出一個個案的特殊規(guī)律，由特殊規(guī)律揭示一般規(guī)律.但是如果我們想要論證一個特殊的個案時，我們又必須遵循由一般到特殊的原則，從一般的規(guī)律著手揭示其特殊規(guī)律.雖然帕斯卡不是算術三角形的創(chuàng)始者，但是，帕斯卡運用由特殊到一般的理性精神，發(fā)現(xiàn)并證明了算術三角形的一些新的性質.

圖6

一些表面上毫無相關的數(shù)學內(nèi)容，實質上有著深刻的聯(lián)系，斐波那契數(shù)列、牛頓二項展開式和帕斯卡三角形就是一個典型的例子.在這三者之間，存在著相互的聯(lián)系.圖6說明了它們之間的親密關系：沿著帕斯卡三角形斜向點劃線的數(shù)累加，便產(chǎn)生斐波那契數(shù)列，帕斯卡三角形的每一行，則代表二項式(a+b)某個特定乘方展開式的系數(shù).

圖6中，帕斯卡研究得出：在帕斯卡三角形中，對角線(圖中虛線)上部分數(shù)的和等于最后一個數(shù)的下面一行左下方位置上的那個數(shù).例如：從1到36的三角形數(shù)的和，等于最后一個數(shù)36的下面一行左下方位置上的那個數(shù)120(圖上打圈的數(shù))[3].

該方法對所有的對角線——自然數(shù)對角線、三角形數(shù)對角線、四面體數(shù)對角線、四維空間四面體數(shù)對角線，等等，都保持正確.

3　得分問題的解決——將敏感的現(xiàn)實問題轉化為幾何原則

帕斯卡在研究了帕斯卡三角形的性質之后，將其應用到多個領域，其中最為重要的應用是關于得分問題.所謂得分問題又稱賭金分配問題，這是一個敏感的現(xiàn)實問題.任何一個社會，博弈都是一個與人類活動相伴的客觀存在，如何讓博弈相對公平？例如，在兩個被給定有相等技巧的博弈者之間，在一個中斷的博弈中，已知兩個博弈者在中斷時的得分以及在賭博中獲勝所需要的分數(shù)，那么相應于已得的分數(shù)應如何分配賭金？帕斯卡將現(xiàn)實問題轉化為幾何原則，用算術三角陣對這個問題推出許多結論.

對于一般情況，A需要m分獲勝，B需要n分獲勝，選擇帕斯卡算術陣的第(m+n)條對角線，然后，求此對角線的前n個數(shù)的和α和此對角線的最后m個數(shù)的和β，于是，賭金應依α∶β的比例劃分.

帕斯卡解決了一般問題后，又用算術三角陣推出了很多結論.

例如，當博弈者超過兩個時，或兩個博弈者的技巧參差不齊時，其賭金分配問題.帕斯卡通過對這些得分問題的探討，不僅讓幾何與現(xiàn)實聯(lián)系更加密切，也為概率論的產(chǎn)生打下了基礎.

很多人對現(xiàn)實事物有敏感的發(fā)現(xiàn)力，也具有探索規(guī)律的執(zhí)著精神，具備成為幾何研究者的性格特征，但這些人中的大部分卻不能成為幾何學家，其根本原因在于他們未能將敏感的現(xiàn)實問題轉到幾何學的原則方面來；而成為幾何學家的人，就在于他們能看到自己身邊的現(xiàn)實問題，并對問題產(chǎn)生探索的興趣，并用幾何學的簡潔原則，解決問題并進行推論.

圖7

4　三角陣算術——清晰的洞見力與嚴密推理的結合

帕斯卡構造的三角陣算術(圖7)任一元素(在第二行或隨后的行中)，是上一行中正好在它上面的元素及其左邊的元素的和.如在第4行中35=15+10+6+3+1這種三角陣(不管是多少階的)，如圖所示那樣畫對角線就得到了，這條對角線上的數(shù)正是二項展開式中的逐次系數(shù).又如第五條對角線上的數(shù)，即1、4、6、4、1是(a+b)4的展開式中的逐次系數(shù).

我們能容易地證明：“算術三角形”的第五條對角線上的數(shù)分別為

帕斯卡不是算術三角形的創(chuàng)始者，但他發(fā)現(xiàn)并證明了算術三角形的一些新的性質.涉及算術三角陣的下列關系式，就是帕斯卡推導出來的.

1)算術三角陣的任一元素(不在第一行和第一列的)等于正好在它上面的元素和正好在它左邊的元素的和；

2)算術三角陣的任一給定元素減去1，等于這行上面包括給定元素的列的左邊的所有元素的和；

4)在第m行、第n列的元素等于在第n行、第m列的元素；

5)任一對角線上的元素和是上一對角線上的元素和的二倍；

6)第n條對角線上的元素和為2n-1.

帕斯卡推導出這些關系式，需要有異常清晰的洞見力和嚴密的推理，只有具備了這些理性精神才不至于根據(jù)這些已知的原則進行謬誤的推理.

5　旋輪線的發(fā)現(xiàn)——數(shù)學與物理的有機結合

圖8

帕斯卡的最后一部數(shù)學著作是關于旋輪線(此線用于拱橋)的，這條曲線是一個圓的圓周上一點，當該圓沿著直線滾動時的軌跡(圖8).這條有很豐富的數(shù)學性質和物理性質的曲線，在微積分方法的早期發(fā)展中起到重要作用，并引導數(shù)學家們考慮：旋輪線繞各種不同的線轉動得到的回轉曲線和回轉體，以及其他涉及所形成的圖形的形心的問題，帕斯卡用微積分的不可分元法(該法等價于今天的定積分方法)解決了.旋輪線有許多引人注目的性質，被稱作“幾何學中的美人”和“爭吵的禍根[4].

獨輪手推車的發(fā)明應歸功于帕斯卡.

《思想錄》是世界上最偉大的隨筆經(jīng)典，400年來暢銷，被譯成幾乎所有文字.《思想錄》第一編關于精神和文風的思想，帕斯卡認為：凡是幾何學家只要能有良好的洞見力，就都會是敏感的，因為他們是不會根據(jù)他們已知的原則做出謬誤的推理的；而敏感的精神若能把自己的洞見力運用到那些自己不熟悉的幾何學原則上去，也會成為幾何學家的. 在《思想錄》中，帕斯卡認為：大自然是把它自己的影子以及它的創(chuàng)造主的影子銘刻在一切事物上面的，天才地揭示了人因思想而偉大這一動人主題.帕斯卡的許多數(shù)學成就，是在前人基礎上憑借幾何學家的理性精神的進一步探索，推廣數(shù)學概念就像超出我們能夠想象的空間那樣，在理性的前提下，在跟事物的現(xiàn)實比較中，將探索走向深入，因而在數(shù)學發(fā)展史上寫下濃墨重彩的一筆.

[1] (美)霍華德·伊夫斯，數(shù)學史概論[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2009:315.

[2] 吳維煊，中西方數(shù)學知識體系間的相互影響與融合[J]，牡丹江大學學報，2012(12):122-130.

[3] 吳維煊，由楊輝三角形構建的數(shù)學聯(lián)系[J].數(shù)學教學研究,2010(2)：54-57.

[4] (美) 帕帕斯T.數(shù)學趣聞集錦(上冊)[M].上海：上海教育出版社，2001：190-523.

The Rational Spirit and Mathematics Achievement ofPenseesby Blaise Pascal

LIU Zong-bao， WU Wei-xuan*

(Senior Vocational School of Economy and Trade, Suqian, Jiangsu, 223600, P.R.China)

The combined action of the spirits of geometry, sensibility and reason lead to the mathematics achievement. Pascal had keen interests in geometry and preciseness owning to sensibility and reason.Penseeswritten by Pascal reflected his thoughts and ranked one of the greatest essays in the world. Pascal contributed to the mathematics development by promoting the rationalism thoughts founded by Decare. On the one hand, Pascal carried on and forwarded the traditional rationalism, criticizing everything on the guidance of rationalism. On the other hand, Pascal showed his unique way to solve problems after realizing the immanent contradiction of rationalism.

Pascal;Pensees; spirits of geometry; mathematics achievement

2016-06-30

江蘇省“十二五”規(guī)劃2015年度立項課題：職校區(qū)域傳統(tǒng)文化教育實踐的研究——以宿遷為例(B-b/2015/03/061)作者簡介：劉宗寶，男，江蘇漣水人，江蘇省宿遷經(jīng)貿(mào)高等職業(yè)技術學校校長，副教授，江蘇省特級教師，宿遷市名校長,江蘇省優(yōu)秀教育工作者，全國優(yōu)秀教師，中國數(shù)學學會會員；

吳維煊,女,江蘇連云港人，江蘇省宿遷經(jīng)貿(mào)高等職業(yè)技術學校教授,江蘇省有突出貢獻的中青年專家，宿遷市數(shù)學專業(yè)學科帶頭人,宿遷市數(shù)學學科領軍人物,宿遷市職教數(shù)學中心組副組長.

O11

A

2095-3798(2016)05-0056-05