具有有界二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的分?jǐn)?shù)階不等式

時(shí)統(tǒng)業(yè)，夏　琦，王　斌

(1.海軍指揮學(xué)院 信息系， 江蘇 南京 211800;2.海軍蚌埠士官學(xué)校 航海系， 安徽 蚌埠 233012)

?

具有有界二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的分?jǐn)?shù)階不等式

時(shí)統(tǒng)業(yè)1，夏琦1，王斌2

(1.海軍指揮學(xué)院 信息系， 江蘇 南京 211800;2.海軍蚌埠士官學(xué)校 航海系， 安徽 蚌埠 233012)

建立了一個(gè)分?jǐn)?shù)階積分的恒等式，利用它得到具有有界二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的一些不等式．

二階導(dǎo)數(shù)；分?jǐn)?shù)階積分；積分不等式.

0　引言

定義1[1]設(shè)f(x)在區(qū)間I上有定義，f(x)在I上稱為是凸(凹)函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：對任意x1，x2∈I，λ∈(0，1)，有f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2)．

設(shè)f(x)是[a，b]上的凸(凹)函數(shù)，則有

(1)

Dragomir S S和Agarwal P在文獻(xiàn)[2]中證明了h(a，y)、H(a，y)在[a，b]上關(guān)于y單調(diào)增加．

王良成在文獻(xiàn)[3]中給出式(1)的如下推廣：

定理1[3]設(shè)f是[a，b]上的連續(xù)凸函數(shù)，p∈(0，1)，ξ=pa+(1-p)b，則

(2)

由式(2)可生成兩個(gè)二元函數(shù)，即對任意x，y∈[a，b]，x≤y，t∈(0，1)，定義

與式(2)有關(guān)的文獻(xiàn)可見文獻(xiàn)[4-9]，其中，王良成在文獻(xiàn)[4-5]中證明了h(x，b)、H(x，b)、h(t；x，b)和H(t；x，b)在[a，b]上關(guān)于x單調(diào)減少，h(t；a，y)和H(t；a，y)在[a，b]上關(guān)于y單調(diào)增加．文獻(xiàn)[6]證明了h(t；x，y)和H(t；x，y)的準(zhǔn)線性，文獻(xiàn)[7]在一階導(dǎo)數(shù)有界的情況下給出h(t；x，y)的上界．

關(guān)于Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的性質(zhì)及應(yīng)用可參閱文[10-14]及其引用文獻(xiàn)．文獻(xiàn)[15]首先建立了涉及Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的Hermite-Hadamard型不等式：

定理2[15]設(shè)f是[a，b][0，∞)上的正值函數(shù)且在[a，b]上勒貝格可積．α>0.若f是[a，b]上的凸函數(shù)，則有

(3)

當(dāng)α=1時(shí)由式(3)可得式(1)．文獻(xiàn)[16]考慮由式(3)的兩端生成差的界，給出下面結(jié)果：

定理3[16]設(shè)f是[a，b]上的正的二階可微的函數(shù)，且在[a，b]上勒貝格可積．若f″在[a，b]上有界，則有

其中α>0，m=inft∈[a,b]f″(t)，M=supt∈[a,b]f″(t)．

本文的目的是首先將不等式(2)推廣到Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分，然后在二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下考慮生成差的界．為方便起見，引入下面記號：

1　引理

(4)

其中

證明利用分部積分法得

將上面兩式相加即得式(4)．

引理2設(shè)f在[a，b]上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，t∈(0，1)，c1，c2，d1，d2是常數(shù)，α>0，則

(5)

其中

g1(x)=(ξ-x)α-1+(x-a)α-1，g2(x)=(b-x)α-1+(x-ξ)α-1．

由式(4)得到式(5)．

2　主要結(jié)果

定理4設(shè)f是[a，b]上的正值函數(shù)，t∈(0，1)，ξ=ta+(1-t)b，α>0．若f是[a，b]上的凸函數(shù)，則有

(6)

證明因?yàn)閒是[a，b]上的凸函數(shù)，所以對于任意x∈[a，b]，有

(7)

(8)

將式(7)和(8)分別乘以(ξ-x)α-1+(x-a)α-1、(b-x)α-1+(x-ξ)α-1，然后分別在[a，ξ]和[ξ，b]上對x積分得

(9)

(10)

(11)

(12)

定理5設(shè)f在[a，b]上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，t∈(0，1)，α>0，則有

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

其中

m=inft∈[a,b]f″(t)，M=supt∈[a,b]f″(t)．

其中

式(13)的右端得證，同理可證式(13)的左端，因此式(13)得證．

推論1設(shè)f在[a，b]上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，t∈(0，1)，則有

證明在定理2中取α=1即可得證．

[1] 裴禮文．?dāng)?shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M]．2版．北京：高等教育出版社，2006：268.

[2]DRAGOMIRSS，AGARWALP．TwonewmappingsassociatedwithHadamard’sinequalitiesforconvexfunctions[J]．ApplMathLett，1998，11(3)：33-38．

[3] 王良成．凸函數(shù)的Hadamard不等式的若干推廣[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2002，32(6)：1027-1030．

[4]WANGLiangcheng．OnextensionsoftwomappingsassociatedwithHermite-Hadamardinequalitiesforconvexfunctions[J]．PublikacijeElektrotehnickogFakulteta-Serija：Matematika，2006，17：8-17．

[5]WANGLiangcheng．SomerefinementsofHermite-Hadamardinequalitiesforconvexfunctions[J]．PublikacijeElektrotehnickogFakulteta-Serija：Matematika，2004，15：39-44．

[6] 郭鳳云．淺析凸函數(shù)的Jensen不等式的應(yīng)用[J]．中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2011，26：95-96．[7] 趙偉珍，李愛軍．凸函數(shù)的一個(gè)Hadamard型不等式[J]．安徽廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2007(1)：123-124．

[8] 于永證，劉證．另一個(gè)新的與Hadamad不等式相關(guān)的映射[J]．純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2008，24(3)：547-550．[9] 鄧志穎，劉祥清，沈世云．GA-凸函數(shù)的Hadamard型不等式的改進(jìn)和應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2012，42(20)：201-207．

[10] GORENFLO R, MAINARDI F. Fractional calculus, integral and differential equations of fractional order[M]. Wien：Springer，1997.

[11] 武女則．分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、積分的性質(zhì)及幾何意義[J]．哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，29(1)：19-22．[12] 武女則．分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和積分的奇偶性及周期性[J]．山東理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，27(3)：51-54．

[13] 楊小軍，高峰，鐘衛(wèi)平，等．分?jǐn)?shù)階定積分學(xué)[J]．世界科技研究與發(fā)展，2008，30(5)：636-638．

[14] 祝奔石．分?jǐn)?shù)階微積分及其應(yīng)用[J]．黃岡師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，31(6)：1-3．

[15] SARIKAYA M Z，SET E，YALDIZ H，et al．Hermite-Hadamard’s inequalities for fractional integrals and related fractional inequalities[J]．Mathematical and Computer Modelling，2013，57(9-10)：2403-2407．

[16] CHEN feixiang．Extensions of the Hermite-Hadamard inequality for convex functions via fractional integrals[J]．Journal of Mathematical Inequalities，2016,10(1)：75-81．

Fractional Integral Inequalities for Functions with Second Derivatives Bounded

SHI Tong-ye1, XIA Qi1, WANG Bin2

(1. Department of Information, PLA Naval Command College, Nanjing, Jiangsu, 211800, P.R.China; 2. Department of Navigation, PLA Bengbu Naval Petty Officer Academy, Bengbu, Anhui, 233012, P.R.China)

A general identity for fractional integrals is derived. Using this identity, some integral inequalities for functions whose second derivatives are bounded are established.

second derivative; fractional integral; integral inequality

2015-12-09

時(shí)統(tǒng)業(yè)，男，河北張家口人，海軍指揮學(xué)院信息系副教授.

O178

A

2095-3798(2016)05-0043-06