分形集上廣義凸函數(shù)的新Hermite-Hadamard型不等式及其應(yīng)用

孫文兵,劉 瓊

(邵陽學(xué)院 理學(xué)與信息科學(xué)系, 湖南 邵陽 422000)

分形集上廣義凸函數(shù)的新Hermite-Hadamard型不等式及其應(yīng)用

孫文兵,劉 瓊

(邵陽學(xué)院 理學(xué)與信息科學(xué)系, 湖南 邵陽 422000)

基于局部分?jǐn)?shù)階微積分理論,利用分形集上廣義凸函數(shù)的定義，對Hermite-Hadamard型不等式進(jìn)行一些有意義的推廣,得到了幾個(gè)分形集Rα(0<α≤1)上涉及局部分?jǐn)?shù)積分的新Hadamard型不等式. 最后, 給出了其在特殊均值和數(shù)值積分中的幾個(gè)應(yīng)用.

Hadamard型不等式; 廣義凸函數(shù); 局部分?jǐn)?shù)積分; 局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù); 分形空間

New inequalities of Hermite-Hadamard type for generalized convex functions on fractal sets and its applications. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(1):047-052

函數(shù)凸性是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要定義,很多重要的數(shù)學(xué)不等式是建立在函數(shù)凸性定義之上的，比如著名的Hermite-Hadamard不等式.

設(shè)f:I?R→R是一個(gè)凸函數(shù),若a,b∈I且a

(1)

這就是著名的Hermite-Hadamard不等式.隨著凸性定義的推廣,Hermite-Hadamard不等式也受到國內(nèi)外越來越多學(xué)者的關(guān)注[1-6].

由于分形理論的出現(xiàn)，物理和工程等領(lǐng)域的許多問題方得以合理處理和解決.近年來，隨著分形理論在科學(xué)工程領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，數(shù)學(xué)作為重要的研究工具發(fā)展迅速.一些學(xué)者通過不同的方法構(gòu)建了分形空間上的微積分理論[7-10].文獻(xiàn)[9]系統(tǒng)闡述了建立在分形空間上的局部分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)理論.文獻(xiàn)[11]提出了關(guān)于分形集上廣義凸函數(shù)的定義，研究了廣義凸函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，并證明了分形集上的廣義Hermite-Hadamard不等式:

(2)

受文獻(xiàn)[7-11]的啟發(fā)，本文基于文獻(xiàn)[9]構(gòu)建的局部分?jǐn)?shù)階微積分理論，引入文獻(xiàn)[11]關(guān)于分形集上廣義凸函數(shù)的定義，對Hermite- Hadamard型不等式進(jìn)行一些有意義的推廣，證明Hermite-Hadamard型不等式在分形空間中的幾個(gè)變式，最后提出這些不等式在求特殊均值以及求局部分?jǐn)?shù)階積分上的應(yīng)用.

1 預(yù)備知識

設(shè)Rα為分形空間上的實(shí)數(shù)集，利用GAO-YANG- KANG的方法給出局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和局部分?jǐn)?shù)階積分的定義,參見文獻(xiàn)[9-10].

若aα,bα,cα∈Rα(0<α≤1)，則

(1)aα+bα∈Rα, aαbα∈Rα，

(2)aα+bα=bα+aα=(a+b)α=(b+a)α，

(3)aα+(bα+cα)=(a+b)α+cα，

(4)aαbα=bαaα=(ab)α=(ba)α，

(5)aα(bαcα)=(aαbα)cα，

(6)aα(bα+cα)=aαbα+aαcα，

(7)aα+0α=0α+aα=aα，

且aα1α=1αaα=aα.

下面給出分形集Rα上局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和局部分?jǐn)?shù)階積分的定義.

定義1[9]設(shè)f:R→Rα,x→f(x)是一個(gè)不可微函數(shù),如果對于任意的ε>0,總存在δ>0,其中ε,δ∈R,使得當(dāng)|x-x0|<δ時(shí)有

|f(x)-f(x0)|<εα，則稱不可微函數(shù)f在x0處局部分?jǐn)?shù)階連續(xù).f(x)在區(qū)間(a,b)上局部分?jǐn)?shù)階連續(xù)，記為f(x)∈Cα(a,b).

定義2[9]若

定義3[9]設(shè)

則稱之為f(x)的α階局部分?jǐn)?shù)階積分.

定義4[11]設(shè)f:I?R→Rα，對任意x1,x2∈I且λ∈[0,1]，如果以下不等式成立：

f(λx1+(1-λ)x2)≤λαf(x1)+(1-λ)αf(x2)，

則稱f為定義在I上的廣義凸函數(shù).

引理1[9](1)設(shè)f(x)=g(α)(x)∈Cα[a,b],則

(2)設(shè)f(x),g(x)∈Dα[a,b],且f(α)(x),g(α)(x)∈Cα[a,b]，則

2 主要結(jié)果和證明

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

將式(4)(5)(6)(7)相加，并由第1節(jié)中分形空間Rα上的運(yùn)算性質(zhì)第(2)條，可知結(jié)論成立.

利用引理4，可以得到以下結(jié)論:

(8)

(9)

由引理2，可知

(10)

(11)

(12)

(13)

并且

(14)

定理得證.

(15)

由定理1的式(8)可得結(jié)論成立.

推論2 在推論1的結(jié)論中取x=a，可得

(16)

(17)

(18)

同理可得

(19)

(20)

(21)

根據(jù)定理1的證明，將式(10)和式(18)～(21)代入式(9)，可得不等式(17)，定理得證.

3 應(yīng)用舉例

3.1 在特殊均值中的應(yīng)用

考慮如下廣義均值:

n∈Z{-1,0},a,b∈R,a≠b.

(22)

證明 在推論2中，取

f(x)=xnα,x∈R,n∈Z,n≥2，則

結(jié)論得證.

3.2 在求積分中的應(yīng)用

下面考慮前面涉及局部分?jǐn)?shù)積分的不等式在局部分?jǐn)?shù)積分的求積方法中的應(yīng)用.

考慮區(qū)間[a,b](0

(23)

定義逼近積分的梯形公式

命題2 設(shè)I?R是一個(gè)區(qū)間，f:Io?R→Rα(Io是I的內(nèi)部)使得f∈Dα(Io)且f(α)∈Cα[a,b]，其中a,b∈Io,a

(24)

證明 由推論2，在分劃In的每一個(gè)子區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,…,n-1)上，有

對i從0到n-1對上式兩邊求和，由三角不等式得

[1] LATIF M A. Inequalities of Hermite-Hadamard type for functions whose derivatives in absolute value are convex with applications[J]. Arab J Math Sci， 2015,21(1): 84-97.

[2] ALOMARI M W, DARUS M, KIRMACI U S. Some inequalities of Hermite-Hadamard type for s-convex functions[J]. Acta Mathematica Scientia：Ser B,2011,31(4):1643-1652.

[3] BAKULA M K, ?ZDEMIR M E, PECARI J E. Hadamard-type-inequalities form-convex and (α,m)-convex functions[J]. Hrvatska Znanstvena Bibliografija I MZOS-Svibor, 2012,59(1):117-123.

[4] LATIF M, SHOAIB M. Hermite-Hadamard type integral inequalities for differentiable m-preinvex and (α,m)-preinvex functions[J]. Journal of the Egyptian Mathematical Society, 2015, 23:236-241.[5] OZDEMIR M E, AVCI M, KAVURMACI H. Hermite-Hadamard type inequalities via (α,m)-convexity[J]. Comput Math Appl, 2011, 61: 2614-2620.

[6] OZDEMIR M E, YILDIZ C, AKDEMIR A O, et al. On some inequalities fors-convex functions and applications[J]. Journal of Inequalities and Applications, 2013, 333:1-11.

[7] BABAKHANI A, DAFTARDAR-GEIJI V. On calculus of local fractional derivatives[J]. J Math Anal Appl,2002,270(1):66-79.

[8] ZHAO Y, CHENG D F, YANG X J. Approximation solutions for local fractional Schrodinger equation in the one-dimensional Cantorian system[J]. Adv Math Phys,2013:1-5. Article ID291386.

[9] YANG X J. Advanced Local Fractional Calculus and Its Applications[M]. New York: World Science Publisher, 2012.

[10] YANG Y J, BALEANU D, YANG X J. Analysis of fractal wave equations by local fractional Fourier series method[J]. Adv Math Phys,2013,2013:377-384.Article ID632309.

[11] MO H X, SUI X, YU D Y. Generalized convex functions on fractal sets and two related inequalities[J]. Abstract and Applied Analysis,2014,2014(1):1-7. Article ID636751.

SUN Wenbing, LIU Qiong

(DepartmentofScienceandInformationScience,ShaoyangUniversity,Shaoyang422000,HunanProvince,China)

On the basis of local fractional calculus theory, inequalities of Hermite-Hadamard type are extended following the definition of generalized convex function on fractal sets. Some new Hadamard-type inequalities involving local fractional integrals on fractal setsRα(0<α≤1) are established. Finally, some applications of the new inequalities in special means and numerical integration are provided.

Hadamard-type inequalities; generalized convex function; local fractional integral; local fractional derivative; fractal space

2016-03-22.

邵陽市科技計(jì)劃項(xiàng)目(2015NC43);湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(12JJ3008).

孫文兵(1978-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-5673-4519,男，碩士，講師，主要從事解析不等式、智能算法研究，E-mail:swb0520@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.01.007

O 178

A

1008-9497(2017)01-047-06