帶觀測滯后多傳感器系統(tǒng)的改進協(xié)方差交叉融合Kalman濾波器

王　軍，高　媛，冉陳鍵

(黑龍江大學　電子工程學院 哈爾濱 150080)

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帶觀測滯后多傳感器系統(tǒng)的改進協(xié)方差交叉融合Kalman濾波器

王軍，高媛*，冉陳鍵

(黑龍江大學電子工程學院 哈爾濱 150080)

為了處理帶觀測滯后多傳感器系統(tǒng)的融合估計問題，引入了局部次優(yōu)遞推Kalman濾波器，利用改進的協(xié)方差交叉融合算法，提出了改進協(xié)方差交叉融合Kalman濾波算法。它可以避免由互協(xié)方差計算引起的較大計算負擔，并可以處理互協(xié)方差未知系統(tǒng)的融合問題。與傳統(tǒng)協(xié)方差交叉融合Kalman濾波器相比有更高的魯棒精度，改進的協(xié)方差交叉融合器的精度高于每個局部傳感器，并且更接近于按矩陣加權的Kalman濾波器精度，因而具有良好的性能。仿真例子驗證了其有效性、一致性，并對精度關系做出了幾何解釋。

觀測滯后；改進協(xié)方差交叉；Kalman濾波器一致性

近年來，時滯系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題受到越來越多的關注，其廣泛應用于信號處理、通訊、控制和網(wǎng)絡系統(tǒng)中[1]。在時滯系統(tǒng)的研究中，一種典型的處理方法通常是采用增廣狀態(tài)Kalman估值方法將其化為無時滯系統(tǒng)后[2]，采用標準Kalman估值器解決狀態(tài)估計問題，缺點是要求較大的計算負擔，尤其是當時滯較大時。文獻[3]提出了一種非增廣狀態(tài)方法，稱為重組新息分析方法，可解決帶時滯的多傳感器系統(tǒng)信息融合狀態(tài)估計問題，且可減小計算負擔。文獻[4]提出了一種觀測變換方法，可將帶時滯的多傳感器系統(tǒng)化為無時滯的多傳感器系統(tǒng)，避免了增廣狀態(tài)方法，進而可用Kalman估值方法統(tǒng)一解決信息融合狀態(tài)估計問題。這種方法可減小計算負擔，但需要大的存儲空間。

在多傳感器信息融合估計領域，已經(jīng)提出幾種最優(yōu)加權融合方法：分別是按矩陣[5]、對角陣[6]和標量[7]最優(yōu)加權融合準則。但是眾所周知，為了得到最優(yōu)加權狀態(tài)融合Kalman估值器，要求計算局部Kalman估值器誤差方差和互協(xié)方差[8]。對某些復雜的多傳感器系統(tǒng)，雖然可求得局部估值誤差方差，但局部估值誤差互協(xié)方差的計算公式很復雜，且要求較大的計算負擔。因此，為了克服這些缺點，尋求一種僅基于局部估值及其誤差方差信息而避免互協(xié)方差計算的新融合估值方法是必要的，這種融合估值方法就是協(xié)方差交叉融合方法。

在以往的協(xié)方差交叉融合器設計中，融合器的估計誤差方差僅由局部估計誤差方差的凸組合計算，因而具有一定的保守性。本文引入一種新的改進協(xié)方差交叉融合器，它可以給出實際估值誤差方差的較小保守的上界，克服了原有互協(xié)方差融合器的上界方差較大的保守性，提高了魯棒精度[9-10]。

基于多時滯系統(tǒng)的局部次優(yōu)遞推Kalman濾波器，本文提出的改進協(xié)方差交叉融合Kalman濾波器，利用改進的協(xié)方差交叉融合方法，不但可以處理互協(xié)方差未知的系統(tǒng)，減小計算負擔，并且其精度高于每個局部傳感器和傳統(tǒng)的協(xié)方差交叉融合器，更接近于按矩陣加權的Kalman濾波器精度。仿真例子驗證了其有效性、一致性。

1　問題的闡述

考慮如下帶多重時滯的多傳感器離散時不變線性隨機控制系統(tǒng)

(1)

(2)

假設1w(t)和v(i)(t),i=1,2,…,l是零均值、方差陣為分別為Qw>0和Qv(i)>0的不相關白噪聲。

假設2初始狀態(tài)x(k),k=0,-1,…,-d與w(t)和v(i)(t),i=1,2,…,l相互獨立，且

(3)

其中E是數(shù)學期望, 上標T是轉置符號。

2　改進的協(xié)方差交叉融合估值器

2.1局部次優(yōu)Kalman濾波器

對多時滯系統(tǒng)，即di≠0，有如下的次優(yōu)遞推Kalman濾波器。

引理1在假設1～假設3下，時滯系統(tǒng)(1)～(2)基于每個傳感器子系統(tǒng)有局部次優(yōu)遞推Kalman濾波器[10]

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

定理1在假設1～假設2下，對任意非負定矩陣P(i)(0)≥0，系統(tǒng)(1)～(2)如果是完全能控和完全能觀的，則存在一個矩陣Riccati方程

(11)

其極限總是存在

(12)

其中，極限P(i)是如下穩(wěn)態(tài)Riccati方程的唯一正定解

(13)

(14)

(15)

(16)

則有穩(wěn)態(tài)次優(yōu)Kalman濾波器

(17)

(18)

(19)

證明：將式(7)代入式(10)，可得

(20)

由式(8)-式(10)可知，Qε(i)(t+1)，P(i)(t+1|t)，P(i)(t)都是對稱陣，所以式(20)可以被寫成

(21)

把式(9)代入式(21)即可得到Riccati方程式(11)，因為觀測時滯di是有限的，把式(8)代入式(11)即可得到穩(wěn)態(tài)Riccati方程式(13)；應用完全能控和完全能觀，文獻[12]中證明對任意非負定矩陣P(i)(0)≥0，總存在一個對稱正定陣P(i)≥0使得方程式(12)成立，進而穩(wěn)態(tài)Riccati方程式(13)成立；對方程式(7)-式(9)取極限可得到方程式(14)-式(16)，所以穩(wěn)態(tài)次優(yōu)Kalman濾波器式(17)-式(19)成立。證畢。

引理2在假設1-假設3下，第i個和第j個傳感器子系統(tǒng)有次優(yōu)預報和濾波誤差互協(xié)方差陣[11]

量測更新過程為：對Pk|k-1作Cholesky分解，得到Sk|k-1，進而得到令i=1,2,…，2t，選擇容積點為權重計算量測預測：

(22)

(23)

其中，初值P(ij)(k)=Pk,k=0,-1,…-(di-1)；P(ij)(t)和P(ij)(t+1|t),i≠j分別是第i個和第j個傳感器子系統(tǒng)的濾波和預報誤差互協(xié)方差陣。

2.2改進的協(xié)方差交叉融合估值器

為了降低互協(xié)方差未知系統(tǒng)的復雜性和計算負擔，可利用僅依賴于方差P(1)和P(2)的協(xié)方差交叉融合算法。由文獻[9]，得到協(xié)方差交叉融合算法為:

(24)

其中，協(xié)方差交叉融合誤差方差陣PCI為

(25)

ω(1-ω)(P(2))-1P(21)(P(1))-1+(1-ω)2(P(2))-1P(2)(P(2))-1]PCI

(26)

(27)

(28)

對互協(xié)方差建模[9]

(29)

2.3一致性與精度分析

定理2局部估值器、協(xié)方差交叉融合估值器和改進后的協(xié)方差交叉融合估值器有如下的精度關系

(30)

(31)

證明：文獻[9]中證明式(30)成立，對式(30)取跡運算且根據(jù)文獻[13]中trPCItrPi,i=1,2的證明，所以式(31)成立。證畢。

3　仿真研究

考慮如下的帶多重時滯的兩傳感器跟蹤控制系統(tǒng)

(32)

(33)

(34)

圖1 位置s(t)和融合^scCI(t)Fig.1 Positions(t)andfusionfilter^scCI(t)圖2 速s(t)和融s^cCI(t)Fig.2 Velocits(t)andfusionfiltes^cCI(t)

由仿真，可得

(35)

由文獻[11]中的信息融合方法，可得按矩陣加權的Kalman濾波器誤差方差矩陣Pm為

(36)

局部Kalman濾波器、按矩陣加權信息融合Kalman濾波器、協(xié)方差交叉Kalman濾波器和改進后的協(xié)方差交叉Kalman濾波器的誤差方差陣的跡列于表1。

表1　局部和融合Kalman濾波器的精度比較

圖3　局部和融合濾波器的精度比較Fig.3　Accuracy comparison of local and fused filters

為了進一步說明局部和融合Kalman濾波器的精度關系，協(xié)方差橢圓的幾何解釋見圖3。

4　結　論

對帶多重時滯的多傳感器離散時不變線性隨機控制系統(tǒng)，提出一種改進的協(xié)方差交叉融合算法。它可避免局部傳感器間的互協(xié)方差的計算，用互協(xié)方差的保守估計代替真實值，減小了計算負擔，并且與傳統(tǒng)的協(xié)方差交叉融合算法相比，可以給出實際估值誤差方差的較小保守的上界，提高了魯棒精度。仿真例子也驗證了其有效性、一致性，并且其精度高于每個局部傳感器和傳統(tǒng)的協(xié)方差交叉融合器，且更接近于按矩陣加權的Kalman濾波器精度。

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Improved covariance intersection fusion Kalman filter formulti-sensor systems with multiple time delayed measurements

WANG Jun, GAO Yuan*, RAN Chen-Jian

(SchoolofElectronicEngineering,HeilongjiangUniversity,Harbin150080,China)

In order to handle the fusion estimation problem for the multi-sensor systems with multiple time delayed measurements, a local suboptimal recursive Kalman filter is introduced, and then a improved covariance intersection (CI) fusion Kalman filtering algorithm is presented, which can avoid large computational burden caused by calculation of cross-covariances and handle the fusion problem for the systems with unknown cross-covariances. Compared with the traditional covariance intersection fusion Kalman filtering algorithm, the improved instrument has a higher robustness accuracy. The accuracy of the presented improved CI fusion Kalman filter is higher than each of local estimators and is closer to that of the Kalman fuser weighted by matrices, so it has good performance. The simulation example shows the effectiveness, consistency and makes the geometric interpretation of the accuracy relation.

multiple time delayed measurements; improved covariance intersection; Kalman filter consistency

10.13524/j.2095-008x.2016.02.030

2016-05-05

國家自然科學基金資助項目(61503125)；黑龍江省自然科學基金資助項目(QC2013C062)；黑龍江大學杰出青年基金項目；黑龍江大學電子工程省高校重點實驗室開放項目

王軍(1990-)，男，江蘇連云港人，碩士研究生，研究方向：信息金融、狀態(tài)估計，E-mail:wangjun.hlju@gmail.com;*通訊作者：高媛(1978-)，女，山東臨朐人，副教授，博士，研究方向：狀態(tài)估計，信息融合，系統(tǒng)辯識，E-mail:gaoyuan_hlju@163.com。

TP274.2

A

2095-008X(2016)02-0079-06