基于逆加權(quán)參數(shù)估計(jì)方法的改進(jìn)型Q控制圖研究

黃 虎，柯 華，王 晶

（1.同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海200092；2.南開大學(xué)商學(xué)院，天津300071）

基于逆加權(quán)參數(shù)估計(jì)方法的改進(jìn)型Q控制圖研究

黃 虎1，柯 華1，王 晶2?

（1.同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海200092；2.南開大學(xué)商學(xué)院，天津300071）

傳統(tǒng)Q控制圖直接用樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)未知的過程參數(shù)，由于這些估計(jì)值容易受到初始階段偏移的影響，這使得其對該階段的偏移檢出力不強(qiáng).對此，本文提出了一種逆加權(quán)參數(shù)估計(jì)方法，并將其應(yīng)用到Q控制圖中，提出了逆加權(quán)Q控制圖.另外針對改進(jìn)后控制圖對小偏移檢測不靈敏的缺點(diǎn)，提出了EWMA—逆加權(quán)Q控制圖.進(jìn)而通過MATLAB仿真對傳統(tǒng)Q控制圖，逆加權(quán)Q控制圖以及EWMA—逆加權(quán)Q控制圖的ARL進(jìn)行了比較，結(jié)果表明逆加權(quán)Q控制圖和EWMA—逆加權(quán)Q控制圖的性能要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)Q控制圖.

統(tǒng)計(jì)過程控制；Q控制圖；逆加權(quán)參數(shù)估計(jì)；EWMA—逆加權(quán)Q控制圖；Monte Carlo仿真

1 引 言

控制圖是實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)過程控制（statistical process control，SPC）的重要工具，廣泛應(yīng)用于對過程質(zhì)量的監(jiān)控.傳統(tǒng)控制圖例如休哈特控制圖，CUSUM控制圖以及EWMA控制圖等均假設(shè)過程均值和方差已知.然而實(shí)際應(yīng)用中，特別是在生產(chǎn)初始階段和小批量生產(chǎn)環(huán)境下，有些參數(shù)往往是未知的.所以在構(gòu)建傳統(tǒng)控制圖時(shí)，首先需要采集受控階段的樣本對未知的過程質(zhì)量特性參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，然后用參數(shù)的估計(jì)值構(gòu)建控制圖來對第二階段進(jìn)行監(jiān)控.如果缺乏足夠的樣本，所構(gòu)建的控制圖虛發(fā)警報(bào)的概率將會大大增加［1］.另外，參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確與否，直接決定了控制圖性能的好壞，因此控制圖的參數(shù)估計(jì)問題逐漸受到人們的重視，并且越來越多的學(xué)者開始關(guān)注這個(gè)領(lǐng)域［2-6］.

自啟動(dòng)控制圖是解決這個(gè)問題最好的方式.Hawkins［7］最早提出了用移動(dòng)平均值來估計(jì)過程均值的控制圖.Quesenberry［8-10］在上世紀(jì)九十年代提出了Q控制圖，它只需要很少的樣本就能實(shí)現(xiàn)監(jiān)控，但其對初始階段偏移檢測不靈敏的缺陷，大大限制了它的應(yīng)用.因此，Castillo等［11］提出了基于EWMA控制圖的EWMA-Q控制圖和自適應(yīng)卡爾曼濾波法的Q控制圖，提升了Q控制圖檢測小偏移的靈敏度.Zantek［12］用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法對Q控制圖在檢測不同偏移的平均運(yùn)行鏈長（ARL）的分布進(jìn)行了研究.后來，Wu［13］，Li［14，15］等人將Q控制圖與CUSUM控制圖結(jié)合提出了自適應(yīng)CUSUM-Q控制圖，一定程度上優(yōu)化了Q控制圖檢測小偏移量的性能.另外Celano［16］，Kazemzadeh等［17］在EWMA控制圖和Q控制圖的基礎(chǔ)上，提出了EWMA-t控制圖.在國內(nèi)，李韶華等［18］將可變抽樣區(qū)間的均值控制圖（VSI control chart）與Q控制圖相結(jié)合構(gòu)建了VSIQ控制圖，使得即使在缺乏樣本數(shù)據(jù)情況下也能對生產(chǎn)過程進(jìn)行監(jiān)控，而且還能快速檢測出生產(chǎn)過程中的異常.崔敬巍等［19］提出了基于貝葉斯預(yù)測理論的改進(jìn)型單值Q控制圖.以上改進(jìn)都通過將Q控制圖與其他方法結(jié)合的方式來提高Q控制圖檢測小偏移量的能力，很少涉及Q控制圖本身.朱令嫻等［20］提出基于差分遞減權(quán)系數(shù)的加權(quán)Q控制圖，首次對Q控制圖的參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行改造，并取得了很好的效果.

基于過程建模的思想，本文提出了一種全新的逆加權(quán)參數(shù)估計(jì)方法，其大大減小了偏移對過程參數(shù)估計(jì)值的影響.并將新估計(jì)方法應(yīng)用到Q控制圖中，提出了逆加權(quán)Q控制圖和EWMA—逆加權(quán)Q控制圖，很大程度的提高了Q控制圖性能.文章首先探討了基于過程建模思想的逆加權(quán)參數(shù)估計(jì)方法，并對新提出的估計(jì)方法的無偏性和魯棒性進(jìn)行了證明.在此基礎(chǔ)上，將新的估計(jì)方法應(yīng)用到對過程均值的估計(jì)上，并給出在過程均值未知，方差已知情況下的Q統(tǒng)計(jì)量.另外針對改進(jìn)后控制圖檢測小偏移不靈敏的缺點(diǎn)，提出了EWMA—逆加權(quán)Q控制圖.進(jìn)而通過Monte Carlo仿真分析方法，對傳統(tǒng)Q控制圖以及兩種改進(jìn)型Q控制圖的ARL進(jìn)行了對比研究.

2 逆加權(quán)估值方法

在小批量生產(chǎn)環(huán)境下以及生產(chǎn)過程初始階段，很難獲得過程均值的信息，所以就需要用樣本數(shù)據(jù)對過程均值進(jìn)行估計(jì).而Q控制圖就是直接使用樣本的移動(dòng)平均值來估計(jì)過程均值，所以只需要很少的樣本就能實(shí)現(xiàn)監(jiān)控.但如果初始階段發(fā)生了偏移，作為過程均值估計(jì)的移動(dòng)平均值也會發(fā)生同方向偏移，這就造成初始階段發(fā)生的偏移很難被檢測出來，且發(fā)生偏移時(shí)間越早，越難被檢測出來.對此，本文提出了用移動(dòng)平均值的均值來作為過程均值的估計(jì)，本質(zhì)上是一種逆向加權(quán)估值方法.根據(jù)EWMA控制圖的思想，在加工過程中距今越近的觀測值反映當(dāng)前過程質(zhì)量信息越多，距今越遠(yuǎn)的觀測值代表著更多的過程本身的信息.因此，在估計(jì)過程均值時(shí)，距今越遠(yuǎn)的觀測值，其在過程參數(shù)的估計(jì)中所占的權(quán)重就應(yīng)該越大.另外，從Q控制圖ARL的分布［12］可以看出，如果一次抽樣后又連續(xù)抽樣了n次，且均未檢測出異常，n越大，就可以斷定系統(tǒng)當(dāng)時(shí)處于正常狀態(tài)的概率也就越大，因?yàn)槿绻霈F(xiàn)了異常，且連續(xù)n次還未被檢測出來的概率很小.因此，如果觀測值距今越遠(yuǎn)，且至今未被檢測出異常，說明當(dāng)時(shí)系統(tǒng)處于正常狀態(tài)的概率越大，所以在對過程均值進(jìn)行估計(jì)時(shí)，其所占的權(quán)重也應(yīng)該越大.而越靠后的觀測值，因?yàn)檫€沒有足夠的證據(jù)證明其未發(fā)生偏移，所以其權(quán)重應(yīng)該越小.同時(shí)，使用這種逆向加權(quán)的方法來估計(jì)過程均值，還可以減小過程偏移對參數(shù)估計(jì)的影響.

傳統(tǒng)Q控制圖都用移動(dòng)平均值來估計(jì)過程均值

而本文將采用移動(dòng)均值的均值作為過程均值的估計(jì)量

假設(shè)過程均值為μ0，則有

因此新估計(jì)值是過程均值的無偏估計(jì)量.

當(dāng)過程均值發(fā)生偏移時(shí)，估計(jì)值也會發(fā)生同方向偏移.假設(shè)生產(chǎn)過程中，從開始到第m次抽樣時(shí)系統(tǒng)正常，從第m+1次抽樣開始，過程均值發(fā)生偏移量為δσ的永久性偏移，方差不變.當(dāng)發(fā)生偏移前，即當(dāng)i≤m時(shí)，

當(dāng)發(fā)生偏移后，即當(dāng)i=m+j（j=1,2,3,...）時(shí)，

則移動(dòng)均值估計(jì)量的期望值為

加權(quán)估計(jì)量的期望值為

顯然

3 Q控制圖的改進(jìn)

為了解決生產(chǎn)過程剛啟動(dòng)時(shí)以及多品種小批量生產(chǎn)環(huán)境下的質(zhì)量控制問題，Quesenberry［8-10］于上世紀(jì)九十年代提出了Q控制圖.其將服從同一總體分布的質(zhì)量特征值進(jìn)行變換，并計(jì)算相應(yīng)分布的統(tǒng)計(jì)概率，然后利用Fisher的經(jīng)典概率積分變換定理將統(tǒng)計(jì)概率值轉(zhuǎn)化成服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量，從而得到一種標(biāo)準(zhǔn)化控制圖，其中心線和控制限分別為UCL=+3,CL=0,LCL=-3.Q控制圖可分為計(jì)數(shù)Q控制圖和計(jì)量Q控制圖.計(jì)數(shù)Q控制圖又包括統(tǒng)計(jì)合格品率的二項(xiàng)分布Q控制圖和統(tǒng)計(jì)個(gè)數(shù)的泊松分布Q控制圖.計(jì)量Q控制圖中，根據(jù)過程參數(shù)μ和σ是否已知，又分為過程均值μ和σ均已知；過程均值μ未知，σ已知；過程均值μ已知，σ未知；過程均值μ和σ均未知四種情形.本文主要考慮第二種情形即過程參數(shù)μ未知，σ已知，并假設(shè)過程均值服從正態(tài)分布，即.傳統(tǒng)Q控制圖用i作為過程均值的估計(jì)，其Q統(tǒng)計(jì)量為

所以，使用新估計(jì)值后的Q統(tǒng)計(jì)量為

同時(shí)針對傳統(tǒng)Q控制圖對小偏移量檢出力不足的缺點(diǎn)，本文將EWMA控制圖的思想引入新Q控制圖中，提出了EWMA—逆加權(quán)Q控制圖.

令

則有

因?yàn)?/p>

所以，當(dāng)過程均值未知，方差為σ0，EWMA—加權(quán)Q控制圖的Q統(tǒng)計(jì)量為

在實(shí)際應(yīng)用中，一般每組抽取的樣本容量均為n，當(dāng)n=1時(shí)，為單值Q控制圖.

4 仿真實(shí)驗(yàn)

平均運(yùn)行鏈長（average run length，ARL）反映了控制圖在監(jiān)控過程中誤發(fā)和漏發(fā)警報(bào)的風(fēng)險(xiǎn)［21］.其分為受控時(shí)的ARL和失控時(shí)的ARL.受控時(shí)ARL是指控制圖從開始進(jìn)行控制直到第一次發(fā)出警報(bào)為止所經(jīng)歷的平均抽樣次數(shù).顯然，為了減少誤發(fā)警報(bào)的風(fēng)險(xiǎn)，受控ARL應(yīng)該越大越好.失控時(shí)ARL是指從生產(chǎn)過程失控開始到第一次發(fā)出警報(bào)所需要的平均抽樣次數(shù).相反，為了減小漏發(fā)警報(bào)的風(fēng)險(xiǎn)，失控時(shí)ARL應(yīng)該越小越好.因此，ARL成為了評價(jià)控制圖性能最好的指標(biāo)［22］.

通過蒙特卡洛仿真的方法，用MATLAB來模擬生產(chǎn)初始階段過程均值發(fā)生不同偏移的情形，然后計(jì)算各種情形下改進(jìn)Q控制圖，傳統(tǒng)Q控制圖以及參數(shù)已知的Q控制圖的ARL.

實(shí)驗(yàn)步驟：

步驟1假設(shè)生產(chǎn)過程開始后從第m+1次抽樣開始發(fā)生偏移量為δσ的永久性偏移，本次實(shí)驗(yàn)每次抽樣樣本量n=5，偏移發(fā)生時(shí)段m=｛5,10,20,30｝，偏移量δ=｛0,0.5,0.8,1,1.2,1.5,1.8,2,2.5,3｝.

步驟2用MATLAB模擬各種情形下的生產(chǎn)過程，然后分別使用三種控制圖對生產(chǎn)過程進(jìn)行監(jiān)控，并記錄每種控制圖的運(yùn)行鏈長.

步驟3為了能夠準(zhǔn)確估計(jì)各種情況下每個(gè)控制圖的ARL.每一組參數(shù)（m,）進(jìn)行5 000次試驗(yàn)，然后計(jì)算各種控制圖的ARL.本次實(shí)驗(yàn)取EWMA-Q控制圖的加權(quán)系數(shù)λ=0.1.

為了方便比較，令各種控制圖漏發(fā)警報(bào)的概率相等且均為0.27%，此時(shí)受控時(shí)ARL=370.運(yùn)行結(jié)果如表1.

從運(yùn)行結(jié)果可以看出，在虛發(fā)警報(bào)風(fēng)險(xiǎn)相同的情況下，對于過程初期出現(xiàn)的偏移，特別出現(xiàn)在m=5,10時(shí)，兩種逆加權(quán)Q控制圖的檢出速度要顯著優(yōu)于傳統(tǒng)Q控制圖.對于一些偏移量在1.5σ0以下的微小偏移，EWMA—逆加權(quán)Q控制圖的性能要顯著優(yōu)于另外兩種控制圖，其檢出速度要比傳統(tǒng)Q控制圖提升了幾倍甚至幾十倍.例如對于從第5次抽樣后出現(xiàn)的1σ0的偏移，傳統(tǒng)控制圖平均需要207組樣本才能檢測出來，逆加權(quán)Q控制圖平均也需要近75組，而EWMA—逆加權(quán)Q控制圖平均只需要近7組，檢出速度提升了幾十倍；對于從第10次抽樣后出現(xiàn)的1.2σ0的偏移，傳統(tǒng)控制圖平均需要46組樣本才能檢測出來，逆加權(quán)Q控制圖平均也需要6組左右的樣本，而EWMA—逆加權(quán)Q控制圖平均只需要3組左右的樣本.

由于EWMA—逆加權(quán)Q控制圖中當(dāng)前權(quán)重λ+（1-λ）i會隨著抽樣次數(shù)增多而逐漸減小，而參數(shù)估計(jì)值會逐漸趨于穩(wěn)定，所以對于后期發(fā)生的較大的偏移，其檢測靈敏度反而會下降.所以造成運(yùn)行結(jié)果中在m=30后發(fā)生較大偏移時(shí)的ARL均大于對應(yīng)的m=20時(shí)的ARL.但隨著樣本的增大，（1-λ）i會逐漸趨于零，EWMA—逆加權(quán)Q控制圖會逐漸趨近于傳統(tǒng)EWMA控制圖.

表1 三種控制圖的ARL對比表Table 1 ARL values for the three control charts

雖然對于后期發(fā)生的較大偏移，傳統(tǒng)控制圖和逆加權(quán)Q控制圖要優(yōu)于EWMA—逆加權(quán)Q控制圖，綜合來看，EWMA—逆加權(quán)Q控制圖在過程初期的性能要優(yōu)于逆加權(quán)Q控制圖和傳統(tǒng)Q控制圖.

5 結(jié)束語

本文首先探討了基于過程建模思想的逆加權(quán)參數(shù)估值方法，對新提出的參數(shù)估值方法的無偏性以及魯棒性進(jìn)行了證明.并將新的均值參數(shù)估計(jì)方法應(yīng)用到Q控制圖上，提出了逆加權(quán)Q控制圖.并針對改進(jìn)后逆加權(quán)Q控制圖對初期小偏移量檢出力不強(qiáng)的缺點(diǎn)，提出了EWMA-逆加權(quán)Q控制圖，進(jìn)而通過Monte Carlo仿真分析方法，對傳統(tǒng)Q控制圖，逆加權(quán)Q控制圖和EWMA—逆加權(quán)Q控制圖在各種狀況下的平均運(yùn)行鏈長（ARL）進(jìn)行了對比分析，結(jié)果表明采用新參數(shù)估計(jì)方法的逆加權(quán)Q控制圖和EWMA—逆加權(quán)Q控制圖對異常的檢出速度要優(yōu)于傳統(tǒng)Q控制圖.

但是，由于關(guān)于逆加權(quán)Q控制圖的研究還處于起步階段，仍然存在很多的不足，未來可以從以下方面做進(jìn)一步研究和完善.首先，雖然仿真實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證明了逆加權(quán)方法的可行性和有效性，但關(guān)于權(quán)重選擇的理論依據(jù)以及是否存在更好的逆加權(quán)方法等還需要進(jìn)一步研究.其次，可以將前人對Q控制圖的改進(jìn)應(yīng)用到新Q控制圖上，例如與CUSUM控制圖，可變抽樣區(qū)間等思想結(jié)合，從而進(jìn)一步提升控制圖的性能.

［1］Bischak D P，Trietsch D.The rate of false signals in X control charts with estimated limits.Journal of Quality Technology，2007，39（1）：54—65.

［2］Jensen W A，Jones-Farmer L A，Champ C W，et al.Effects of parameter estimation on control chart properties：A literature review. Journal of Quality Technology，2006，38（4）：349—364.

［3］Zhang Y，Castagliola P，Wu Z，et al.The syntheticchart with estimated parameters.IIE Transactions，2011，43（9）：676—687.

［4］Lee J，Wang N，Xu L，et al.The effect of parameter estimation on upper-sided Bernoulli cumulative sum charts.Quality and Reliability Engineering International，2013，29（5）：639—651.

［5］Saleh N A，Mahmoud M A，Abdel-Salam A S G.The performance of the adaptive exponentially weighted moving average control chart with estimated parameters.Quality and Reliability Engineering International，2013，29（4）：595—606.

［6］Zhang M，Megahed F M，Woodall W H.Exponential CUSUM charts with estimated control limits.Quality and Reliability Engineering International，2014，30（2）：275—286.

［7］Hawkins D M.Self-starting CUSUM charts for location and scale.The Statistician，1987，36（4）：299—316.

［8］Quesenberry C P.SPC Q charts for start-up processes and short or long runs.Journal of Quality Technology，1991，23（3）：213—224.

［9］Quesenberry C P.SPC Q-charts for a binomial parameterp：Short or long runs.Journal of Quality Technology，1991，23（3）：239—246.

［10］Quesenberry C P.SPC Q-charts for a Poisson parameterx：Short or long runs.Journal of Quality Technology，1991，23（4）：296—303.

［11］Castillo E D，Montgomery D C.Short-run statistical process control：Q-chart enhancements and alternative methods.Quality and Reliability Engineering International，1994，10（2）：87—97.

［12］Zantek P F.Run-length distributions of Q-chart schemes.IIE Transactions，2005，37（11）：1037—1045.

［13］Wu Z，Jiao J，Yang M，et al.An enhanced adaptive CUSUM control chart.IIE transactions，2009，41（7）：642—653.

［14］Li Z，Luo Y，Wang Z.Cusum of Q chart with variable sampling intervals for monitoring the process mean.International Journal of Production Research，2010，48（16）：4861—4876.

［15］Li Z，Wang Z.Adaptive CUSUM of the Q chart.International Journal of Production Research，2010，48（5）：1287—1301.

［16］Celano G，Castagliola P，Trovato E，et al.Shewhart and EWMA t control charts for short production runs.Quality and Reliability Engineering International，2011，27（3）：313—326.

［17］Kazemzadeh R B，Karbasian M，Babakhani M A.An EWMA t chart with variable sampling intervals for monitoring the process mean.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2013，66（1-4）：125—139.

［18］李韶華，何 楨.VSI Q控制圖應(yīng)用研究.工業(yè)工程，2006，9（2）：64—66. Li S H，He Z.Application of VSI Q Control Charts.Industrial Engneering Journal，2006，9（2）：64—66.（in Chinese）

［19］崔敬巍，謝里陽.Q控制圖初始性能的改進(jìn).工程設(shè)計(jì)學(xué)報(bào)，2006，13（5）：286—290. Cui J W，Xie L Y.Improvement of initial performance of Q control chart.Journal of Engineering Design，2006，13（5）：286—290.（in Chinese）

［20］朱令嫻，周伯生，羅文劼.基于差分遞減權(quán)系數(shù)的加權(quán)Q控制圖.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，36（7）：871—874. Zhu L X，Zhou B S，Luo W J.Weighted Q control chart based on difference-declining weight parameters.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2010，36（7）：871—874.（in Chinese）

［21］馬義中，田 甜，劉利平.自相關(guān)過程協(xié)方差陣的殘差MEWMA控制圖.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，2012，27（2）：279—286. Ma Y Z，Tian T，Liu L P.Residual-based MEWMA control chart for the covariance matrix of autocorrelated processes.Journal of systems Engineering，2012，27（2）：279—286.（in Chinese）

［22］俞 磊，劉 飛.EWMA控制圖在MSA穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，2008，23（3）：381—384. Yu L，Liu F.Application of EWMA control chart in stability analysis of MSA.Journal of Systems Engineering，2008，23（3）：381—384.（in Chinese）

Improved Q chart based on inverse weighted parameter estimation

Huang Hu1，Ke Hua1，Wang Jing2?
（1.School of Economics and Management，Tongji University，Shanghai 200092，China；2.Business School，Nankai University，Tianjin 300071，China）

Traditional Q charts estimate the unknown parameters through the process samples directly. The estimated parameters，however，are often susceptible to the initial shift.Such impacts make Q charts insensitive to the shift in the initial stage.Thus，in this paper，a novel inverse weighted parameter estimation method is proposed.Meanwhile，the unbiasedness and robustness of this new method is proved.Moreover，an inverse weighted Q chart and an EWMA-inverse weighted Q chart are presented based on the new method.A comparison among the traditional Q Chart，the inverse weighted Q Chart and the EWMA-inverse weighted Q Chart is conducted by MATLAB simulation.The results demonstrate that the performance of the modified Q charts is superior to the traditional one.

statistical process control；Q chart；inverse-weighted parameter estimation；EWMA-inverse weighted Q Chart；Monte Carlo simulation

TP273

A

1000-5781（2016）04-0568-07

10.13383/j.cnki.jse.2016.04.014

黃 虎（1990—），男，湖北恩施人，碩士生，研究方向：統(tǒng)計(jì)過程控制，質(zhì)量管理，智能算法，不確定多層規(guī)劃等，Email：huanghu0213@163.com；

柯 華（1979—），男，浙江臺州人，博士，副教授，研究方向：隨機(jī)過程，不確定規(guī)劃，智能算法，不確定多層規(guī)劃，項(xiàng)目進(jìn)度優(yōu)化與管理等，Email：hke@#edu.cn；

王 晶（1982—），女，河北石家莊人，博士，講師，研究方向：質(zhì)量管理，統(tǒng)計(jì)過程控制，響應(yīng)曲面，穩(wěn)健性設(shè)計(jì)等，Email：wangjingteda@nankai.edu.cn.

2014-01-18；

2014-09-04.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71371141；71001080；71302016）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（NKZXB1164）.

*通訊作者