平面電路中的約束條件與電路方程的獨(dú)立性分析

◆李福新

平面電路中的約束條件與電路方程的獨(dú)立性分析

◆李福新

利用數(shù)學(xué)歸納法證明僅含有兩端元件的平面電路中支路、結(jié)點(diǎn)、網(wǎng)孔之間的關(guān)系，并由此得出平面電路中方程的獨(dú)立性原則，該原則是支路電流分析法的理論基礎(chǔ)。

平面電路；基爾霍夫定律；數(shù)學(xué)歸納法

10.3969/j.issn.1671-489X.2016.03.156

1　序言

在直流電阻電路的分析計(jì)算方法中，支路電流法是以支路電流為求解變量的電路分析方法［1］。支路電流法是根據(jù)各個(gè)元件上的VAR（元件約束）和電路各結(jié)點(diǎn)的KCL、網(wǎng)孔的KVL（拓?fù)浼s束）關(guān)系，以電路中各條支路上的電流為未知量，建立數(shù)目足夠且相互獨(dú)立的方程組，通過求網(wǎng)孔電壓KVL和結(jié)點(diǎn)的KCL結(jié)合列出足夠且相互獨(dú)立的方程組，并求解的過程。方法指出，可以根據(jù)電路中的結(jié)點(diǎn)數(shù)n，列出n-1個(gè)獨(dú)立的電流方程；根據(jù)電路中的網(wǎng)孔個(gè)數(shù)m，列出m個(gè)獨(dú)立的電壓方程。這樣，總的方程數(shù)（n-1）+m正好可以求解出電路中全部b條支路中的電路，即b=（n-1）+m。

考慮到拓?fù)浼s束證明的數(shù)學(xué)內(nèi)容并非機(jī)電類工科學(xué)生的必修內(nèi)容，且比較難掌握，在教學(xué)中通常只是讓學(xué)生記住此結(jié)論，而并不加以證明。有學(xué)生對(duì)此提出疑問：“電路的支路條數(shù)b、網(wǎng)孔數(shù)m和結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n肯定滿足以上關(guān)系嗎？如果有特例，豈不是無法正確求解？”

為了解答學(xué)生的疑問，筆者首先用數(shù)學(xué)方法證明以上結(jié)論的正確性，并在此基礎(chǔ)上討論平面電路方程的獨(dú)立性問題。

2　電路中的常用名詞

先明確電路中的幾個(gè)常用名詞的概念，這一點(diǎn)很重要。因?yàn)樵诓煌囊罁?jù)中，某些名詞概念的含義是不同的，特別是支路、結(jié)點(diǎn)的概念。本文中的支路是按照電路中同一電流習(xí)慣給出的，有別與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浞治鲋械亩x［2］。

1）平面電路：對(duì)于任意扭動(dòng)電路的分支，將之鋪在一個(gè)平面上，若可以避免相交叉而又不連接的現(xiàn)象發(fā)生，則稱該電路為平面電路。換言之，平面電路就是可以畫在一個(gè)平面上而不使任何電路分支交叉的電路。本文中只討論僅含有兩端元件的平面電路，如圖1平面電路所示。

圖1　平面電路

2）支路（branch）：電路中同一電流流過的分支電路全部。圖1電路中共有六個(gè)電流i1、i2、i3、i4、i5、i6，故此有六條支路。

3）結(jié)點(diǎn)（node）：電路中三條或三條以上支路的公共連接點(diǎn)。圖1電路中有四個(gè)結(jié)點(diǎn)，分別是a、b、c和d，而e、f、g不是結(jié)點(diǎn)。

4）網(wǎng)孔（mesh）：平面電路中的一個(gè)內(nèi)部無任何支路的閉合回路。圖1電路中有三個(gè)網(wǎng)孔，分別是回路a→b→d→e→a、b→c→f→d→b、a→g→c→b→a。

5）基爾霍夫電流定律（KCL）：靜態(tài)電路中，流經(jīng)電路中任一結(jié)點(diǎn)的電流代數(shù)和恒等于0。

6）基爾霍夫電壓定律（KVL）：任意時(shí)刻，沿電路任一回路繞行一周，回路中各個(gè)元件上的電壓的代數(shù)和恒等于0。

3　數(shù)學(xué)歸納法（Mathematical Induction）

數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的重要方法。一般的，證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題P（n），有如下步驟：

1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立，n0取0或1，或指定的某一具體數(shù)；

2）假設(shè)n=k（k≥n0，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立；

3）綜合前兩步，對(duì)一切自然數(shù)n（n≥n0）都成立。

數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)步驟中，第一步是證明的奠基，第二步是遞推的依據(jù)，這兩個(gè)步驟都非常重要，缺一不可。

4　利用數(shù)學(xué)歸納法證明平面電路中的數(shù)學(xué)關(guān)系

根據(jù)以上所介紹的平面電路的基本概念及數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，若想證明b=（n-1）+m關(guān)系式對(duì)于任意平面電路都成立，不妨從m=1開始，電路如圖2所示。此電路中n=0，b=1，顯然滿足關(guān)系式b=（n-1）+m。

圖2　平面電路m=1

圖2電路是通過增加一條新支路的方法，得到兩個(gè)網(wǎng)孔的電路，即m=2。如圖3電路所示，此電路中支路條數(shù)b=3，結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n=2，很明顯也滿足b=（n-1）+m。

圖3　平面電路m=2

依然通過增加新支路的方法，得到三個(gè)網(wǎng)孔電路，即m=3，將會(huì)出現(xiàn)三種不同的電路，分別如圖4（a）（b）（c）所示。其中，圖4（a）中電路的結(jié)點(diǎn)數(shù)不變，即新增的支路是由原電路中的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間接入，即n=2，此時(shí)支路數(shù)變?yōu)閎=3+1=4；圖4（b）中電路的結(jié)點(diǎn)數(shù)n=3，即新增的支路是由原電路中的一個(gè)結(jié)點(diǎn)和增加一個(gè)新的結(jié)點(diǎn)（可以理解為原電路中的某一條支路上的一個(gè)點(diǎn)變?yōu)榻Y(jié)點(diǎn)）之間接入，此時(shí)新電路的支路數(shù)b=3+1+2-1=5；圖4（c）中電路的結(jié)點(diǎn)數(shù)n=4，是由增加的連個(gè)新結(jié)點(diǎn)之間引入一條支路，則新電路支路數(shù)b=3+1+4-2=6。

圖4　兩個(gè)網(wǎng)孔的平面電路

通過計(jì)算可以得出結(jié)論：三種情況中，均滿足關(guān)系式b=（n-1）+m。

現(xiàn)在假設(shè)某平面電路中的網(wǎng)孔數(shù)滿足m=μ（μ≥3，μ為自然數(shù)），結(jié)點(diǎn)數(shù)n=ν（ν為自然數(shù)）時(shí)，電路中支路條數(shù)b=（n-1）+m=（ν-1）+μ關(guān)系式成立，則通過增加一條新支路的方法使得網(wǎng)孔數(shù)增加1，即m=μ+1。如前所述分析可知，新電路會(huì)有三種情況出現(xiàn)：圖5（a）電路中n=ν，b=（ν-1）+ μ+1=（n-1）+m；圖5（b）電路中n=ν+1，b=（ν-1）+μ+1+2-1=（n-1）+m；圖5（c）電路中n=ν+2，b=（ν-1）+μ+1+4-2=（n-1）+m。

可見，對(duì)與網(wǎng)孔數(shù)為m=μ+1的平面電路，上述關(guān)系式依然成立。由以上分析，可知結(jié)論b=（n-1）+m對(duì)所有平面電阻電路均適用。

圖5　兩個(gè)網(wǎng)孔的平面電路

5　平面電阻電路中方程的獨(dú)立性

所謂的獨(dú)立方程，即任意一個(gè)方程都不能由所列的其他方程組合得到［4］。事實(shí)上，在一般情況下，對(duì)于有n個(gè)結(jié)點(diǎn)、b條支路的平面電路，可以列出n-1個(gè)獨(dú)立的KCL方程，這是因?yàn)閷?duì)于n個(gè)結(jié)點(diǎn)中的前n-1個(gè)，可以分別列出獨(dú)立的KCL方程，而對(duì)于第n個(gè)結(jié)點(diǎn)，流入的電流其實(shí)可以表示為其他所有結(jié)點(diǎn)流出電流之和，流出的電流可以表示為其他所有結(jié)點(diǎn)流入電流之和，故此并非獨(dú)立方程；而在所列的各KVL方程中，可以確定的是以m個(gè)網(wǎng)孔為回路所列的KVL方程一定是相互獨(dú)立的，即b-（n-1）=m個(gè)，其他非網(wǎng)孔的回路所列的KVL方程可以由這m的獨(dú)立方程相加得到。因此，通過KCL和KVL所列的（n-1）+m個(gè)獨(dú)立方程，再加上VAR元件約束條件，可以求解出來任一平面電阻電路中全部b條支路上的電流。

［1］陸國和.電路與電工技術(shù)［M］.3版.北京：高等教育出版社，2010.

［2］陳自力，劉學(xué)軍.克希霍夫獨(dú)立方程數(shù)定理的證明［J］.電工教育，1995（3）.

G 712

B

1671-489X（2016）03-0156-02

作者：李福新，天津中德職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課部講師（300350）。