網(wǎng)孔電流方程的改進和廣義網(wǎng)孔電流方程的建立

彭愛蓮

(商丘師范學(xué)院 電子電氣工程學(xué)院，河南 商丘 476000)

在分析復(fù)雜的線性時不變的平面電路時，網(wǎng)孔電流法是一種普適的方法，尤其對于支路數(shù)較多而網(wǎng)孔較少的電路，運用網(wǎng)孔法求解電路最方便和快捷.網(wǎng)孔電流法是以網(wǎng)孔電流為變量，依據(jù)基爾霍夫電壓定律(Kirchhoff′s voltage law，KVL)列出每個網(wǎng)孔的電流方程，通過方程組求得各網(wǎng)孔電流，進而得到電路中每條支路的電壓、電流和功率[1].

在含有多個無伴電流源的電路中，為了避免引入網(wǎng)孔電流以外的變量，通常把含有公共電流源支路的、相毗鄰的網(wǎng)孔所構(gòu)成的回路看作一個廣義網(wǎng)孔，廣義網(wǎng)孔的電流方程目前沒有統(tǒng)一的公式[2-4].本文中，在對網(wǎng)孔分類的基礎(chǔ)上，對普通的網(wǎng)孔電流方程進行改進，并對廣義網(wǎng)孔的KVL方程進行分析，總結(jié)出廣義網(wǎng)孔電流方程的一般表達式.本文中，網(wǎng)孔的繞行方向和網(wǎng)孔電流的方向均取順時針方向，用imk表示第k個網(wǎng)孔的電流.

1 普通網(wǎng)孔電流方程的改進

具有m個網(wǎng)孔的平面電路，網(wǎng)孔k的電流方程的一般形式為[1]：

Rk1im1+Rk2im2++Rkkimk+Rkmimm=uskk

(1)

如果對電路中的網(wǎng)孔進行分類，依據(jù)與網(wǎng)孔k的關(guān)系，可分成三類，第一類是不與k毗鄰的網(wǎng)孔；第二類是與k毗鄰的網(wǎng)孔；第三類是k自身.第一類網(wǎng)孔與k之間的互電組均為0，因此，公式(1)中相應(yīng)的項可以去除.如果將第二類網(wǎng)孔記為i，公式(1)可以改寫為：

(2)

公式(2)表明，在列寫網(wǎng)孔k的電流方程時，主要是觀察電路中與k毗鄰的網(wǎng)孔和k自身，計算出互電阻和自電阻.電路中不與k毗鄰的網(wǎng)孔，其網(wǎng)孔電流和相應(yīng)的互電阻可以不列在方程的表達式中，公式(2)是對公式(1)的精簡，是普通網(wǎng)孔電流方程的改進.

用圖1示例比較公式(1)，(2)的不同.圖1中，從左向右共4個網(wǎng)孔，依次記為網(wǎng)孔1，2，3和4，其網(wǎng)孔電流依次為im1，im2，im3和im4.以網(wǎng)孔1和2為例，應(yīng)用公式(1)，電流方程分別為：

R11im1+R12im2+R13im3+R14im4=us11

(3)

R21im1+R22im2+R23im3+R24im4=us22

(4)

利用改進后的方程(2)，網(wǎng)孔1和2的電流方程可寫為：

R12im2+R11im1=us11

(5)

R21im1+R23im3+R22im2=us22

(6)

公式(3)和(4)中，共需要計算10項，而公式(5)和(6)中，共需要計算7項.因此，利用改進后的公式，計算量有效降低，對于含有更多網(wǎng)孔的電路中，計算量的降低會更加明顯.

圖1 比較公式(1)和(2)的電路圖

圖2 具有公共無伴電流源支路的電路

2 廣義網(wǎng)孔電流方程的建立

在含有多個無伴電流源的電路中，若某無伴電流源所在的支路是兩個網(wǎng)孔的公共支路，如圖2中的is1.

依據(jù)公式(1)或公式(2)列寫網(wǎng)孔1和2列電流方程時，都必須引入電流源is1的兩端電壓作為電路變量，方程的難度增大.如果將回路abcdefa作為一個廣義網(wǎng)孔，記為網(wǎng)孔A.A的KVL方程為R1(im1-im4)+R2(im2-im4)+R3(im2-im3)+us2-us1=0，整理可得：

-R3im3-(R1+R2)im4+R1im1+(R2+R3)im2=us1-us2

(7)

觀察圖2可知，公式(7)中的網(wǎng)孔電流分為兩類，一類是與A毗鄰網(wǎng)孔的電流，即im3和im4，其系數(shù)分別是A與網(wǎng)孔3、4公共支路上的電組的負值，因此可令：RA3=-R3，RA4=-(R1+R2)，分別稱為A與網(wǎng)孔3、4的互電阻.另一類是A內(nèi)部網(wǎng)孔的電流，即im1和im2，其系數(shù)分別是各自網(wǎng)孔上的電阻之和，因此可令：R11=R1，R22=R2+R3，分別稱為網(wǎng)孔1、2的自電阻.等號右邊是A邊沿支路上的電源電壓的代數(shù)和，令：usAA=uS1-uS2，公式(7)可寫為：

RA3im3+RA4im4+R11im1+R22im2=usAA

(8)

依據(jù)各網(wǎng)孔與A的關(guān)系，公式(8)可看作由三部分組成，第一部分是與A毗鄰網(wǎng)孔的電流項，即RA3im3+RA4im4；第二部分是A內(nèi)部網(wǎng)孔的電流項，即R11im1+R22im2；第三部分是usAA.依據(jù)此結(jié)構(gòu)特點，可以將公式進行推廣，若電路中與A毗鄰的網(wǎng)孔記為i，A內(nèi)部的網(wǎng)孔記為j，則廣義網(wǎng)孔A電流方程的一般表達可書寫如下：

(9)

公式(9)表明，在列寫A的電流方程時，主要是觀察電路中與A毗鄰的網(wǎng)孔和A自身，計算出互電阻RAi和自電阻Rjj.電路中不與A毗鄰的網(wǎng)孔，如圖2中的網(wǎng)孔5，與A的互電阻為零，其網(wǎng)孔電流im5不列在方程的表達式中，該特征與改進的普通網(wǎng)孔電流方程的特征相同[5].

特殊情況下，若A中的網(wǎng)孔只有一個，則廣義網(wǎng)孔變成一個普通的網(wǎng)孔.若設(shè)A只包含一個網(wǎng)孔k，則網(wǎng)孔j也等于網(wǎng)孔k，則有如下公式：

(10)

公式(10)和公式(2)表達形式完全相同，即公式(9)不僅適用于以無伴電流源為公共支路的廣義網(wǎng)孔，也適用于普通網(wǎng)孔.

3 廣義網(wǎng)孔電流方程的推廣應(yīng)用

圖3 含有多個相連的無伴電流源的電路

當(dāng)電路中存在多個相連的無伴電流源時，可把以這些電流源為公共支路的所有網(wǎng)孔所構(gòu)成的回路看作一個廣義網(wǎng)孔.如圖3所示，把回路abcda作為一個廣義網(wǎng)孔，記為網(wǎng)孔B.對B列KVL方程：R1(im1-im5)+R4(im4-im8)+R3(im3-im7)+R2(im2-im6)+us2-us1=0，整理可得：

-R1im5-R2im6-R3im7-R4im8+R1im1+R2im2+R3im3+R4im4=us1-us2

(11)

觀察圖3可知，公式(11)的組成也是分為三部分，公式的前4項屬于與B毗鄰的網(wǎng)孔電流項；公式的第5、6、7、8項屬于B內(nèi)部的網(wǎng)孔電流項；等號右邊是B邊沿支路上的電源電壓的代數(shù)和.若與B毗鄰的網(wǎng)孔記為i，B內(nèi)部的網(wǎng)孔記為j，則公式(11)可分寫為：

其中RBi是B與網(wǎng)孔i的互電阻，Rjj是網(wǎng)孔j的自電阻，usBB是B邊沿支路上的電源電壓的代數(shù)和，則公式(11)可重新寫為：

(12)

公式(12)與公式(9)在形式上是完全一致的，以此推斷，公式(9)也適用于以多個相連的無伴電流源為公共支路的廣義網(wǎng)孔[6-8].

4 結(jié) 論

電路中不與網(wǎng)孔k毗鄰的網(wǎng)孔，與k之間的互電阻均為0，普通網(wǎng)孔電流方程中相應(yīng)的項可以去除，方程的表達式得到精簡.以無伴電流源為公共支路的、相毗鄰的網(wǎng)孔所構(gòu)成的廣義網(wǎng)孔，其KVL方程可以劃分為三個組成部分，第一部分是與廣義網(wǎng)孔毗鄰的網(wǎng)孔電流項；第二部分是廣義網(wǎng)孔內(nèi)部的網(wǎng)孔電流項；第三部分是廣義網(wǎng)孔邊沿支路上的電源電壓的代數(shù)和.依據(jù)此結(jié)構(gòu)特點，總結(jié)出廣義網(wǎng)孔電流方程的一般表達式.分析證明，公式(9)不僅適用于以單個或多個相連的無伴電流源為公共支路的廣義網(wǎng)孔，也同樣適用于普通的單個網(wǎng)孔，屬于更廣泛意義上的網(wǎng)孔電流方程.