基于PSO的6R裝配機(jī)器人手臂剛度優(yōu)化

史旭東，莊立東，郭顯鵬

(1.南京工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，南京 211167；2.江蘇理工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院， 江蘇 常州 213000；3.康尼機(jī)電股份有限公司 技術(shù)中心，南京 210013)

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基于PSO的6R裝配機(jī)器人手臂剛度優(yōu)化

史旭東1，3，莊立東2，郭顯鵬3

(1.南京工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，南京 211167；2.江蘇理工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院， 江蘇 常州 213000；3.康尼機(jī)電股份有限公司 技術(shù)中心，南京 210013)

為了提高6R裝配機(jī)器人的末端定位精度，從提高其剛度性能出發(fā)，提出一種基于PSO的機(jī)器人臂長(zhǎng)組優(yōu)化算法。首先，在裝配機(jī)器人的靜剛度模型基礎(chǔ)上，提出末端剛度矩陣的“力-線位移矩陣”在手臂工作空間內(nèi)奇異值的積分均值作為機(jī)器人末端剛度的定量評(píng)價(jià)指標(biāo)，并以其為優(yōu)化目標(biāo)，建立機(jī)器人臂長(zhǎng)組分配優(yōu)化函數(shù)，研究利用PSO尋優(yōu)算法對(duì)該優(yōu)化函數(shù)求解；最后對(duì)某公司自主開(kāi)發(fā)的KRT20-1540 裝配機(jī)器人，利用ANASYS仿真，驗(yàn)證了該方法的可行性。

6R裝配機(jī)器人；工作臂；剛度優(yōu)化

0 引言

自上世紀(jì)80年代起，隨著機(jī)器人工業(yè)化進(jìn)程的推進(jìn)，工業(yè)機(jī)器人以其高精度、高適應(yīng)性，已從汽車領(lǐng)域被推廣到各行各業(yè)當(dāng)中。6R裝配機(jī)器人即具有6個(gè)關(guān)節(jié)自由度的工業(yè)機(jī)器人，與一般的工業(yè)機(jī)器人相比，裝配機(jī)器人具有柔順性好、精度高、能配套使用等特點(diǎn)，是現(xiàn)代自動(dòng)化裝配生產(chǎn)線不可或缺的一個(gè)重要單元[1-2]。

從傳統(tǒng)的機(jī)器人靜剛度模型分析可知，機(jī)器人末端剛度可通過(guò)機(jī)器人雅可比矩陣及關(guān)節(jié)剛度矩陣表述，而雅可比矩陣又與工業(yè)機(jī)器人的工作位姿和工作臂長(zhǎng)密切關(guān)聯(lián)，因此若要提高工業(yè)機(jī)器人的剛度，一般常用的方法可采取提高關(guān)節(jié)剛度，如增加軸承、減速器、同步帶的剛度或者改變機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡，尋找最佳的工作位姿和工作臂長(zhǎng)以達(dá)到增加末端剛度的目的。由于軸承、減速器、同步帶的剛度影響因素基本是固定的，因此現(xiàn)階段國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究方向主要集中在研究機(jī)器人工作位姿與末端剛度的關(guān)系[3],而從臂長(zhǎng)優(yōu)化角度研究機(jī)器人的剛度目前還不多。本文從優(yōu)化裝配機(jī)器人的工作臂長(zhǎng)分配來(lái)考慮，利用PSO尋優(yōu)算法，提出一種新的6R工業(yè)裝配機(jī)器人臂長(zhǎng)優(yōu)化方法。

1 6R裝配機(jī)器人剛度定量分析模型

1.1 工作臂靜剛度模型

本文以某公司自主研發(fā)的20KG級(jí)工業(yè)裝配機(jī)器人(KRT20-1540)為優(yōu)化對(duì)象,其結(jié)構(gòu)如圖1主要包括腰部、肘部、大臂、小臂及末端執(zhí)行器等幾個(gè)部件，其中大臂和小臂是承載工作負(fù)載及轉(zhuǎn)矩的主要柔性連桿，大臂和小臂的剛度性能直接關(guān)系到機(jī)器人末端的定位精度。

圖1 KRT20-1540 結(jié)構(gòu)模型

依據(jù)D-H方法建立機(jī)器人連桿坐標(biāo)系，如圖2，并確定建立裝配機(jī)器人齊次坐標(biāo)矩陣的各關(guān)節(jié)連桿參數(shù)如表1所示。

圖2 KRT20-1540連桿坐標(biāo)系

連桿號(hào)參數(shù)連桿扭角度αi/(°)連桿長(zhǎng)度αi/mm連桿距離di/mm變量范圍/(°)190150130±1802-906250+65/-145301500+175/-75400792±180590 00±1356-9000±360

由于雅可比矩陣描述的是手臂線位移與角位移的映射關(guān)系，即

dx= J·dθ

(1)

式中： dx—關(guān)節(jié)微小線位移 ；

dθ—關(guān)節(jié)微小角位移。

根據(jù)表1中所列D-H連桿參數(shù)，利用微分變換的方法即可求得裝配機(jī)器人的雅可比矩陣 J[4]。

為了求解裝配機(jī)器人的靜剛度模型，還需對(duì)裝配機(jī)器人各關(guān)節(jié)剛度Kti(i表示所對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)序號(hào))進(jìn)行分析，求得其關(guān)節(jié)剛度矩陣Kt，則

Kt=diag(Kt1，Kt2，…，Kt6)

(2)

由于裝配機(jī)器人各關(guān)節(jié)剛度為定值，可根據(jù)裝配機(jī)器人傳動(dòng)結(jié)構(gòu)及各主要零部件的扭轉(zhuǎn)剛度的經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行推導(dǎo)，Kt與電機(jī)扭轉(zhuǎn)剛度kd和齒輪扭轉(zhuǎn)剛度有關(guān)，其中：

(1)電機(jī)的扭轉(zhuǎn)剛度為[5]：

kd= 4π2t2·J

(3)

式中：t為機(jī)械時(shí)間常數(shù)；J為電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

(2)齒輪的扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算[6]：

kc=Cgbr2

(4)

式中：b為齒寬；r為齒輪半徑；對(duì)鋼材Cg=1.34×1010 N/m2

裝配機(jī)器人末端剛度矩陣Q為：

Q=J-T KtJ-1

(5)

此即該裝配機(jī)器人的靜剛度模型[7]。由式(2)可知，裝配機(jī)器人的末端剛度與關(guān)節(jié)剛度矩陣和雅可比矩陣有關(guān)，而關(guān)節(jié)剛度為定值，則最終影響到機(jī)器人末端剛度的主要因素為裝配機(jī)器人雅可比矩陣。由前式(1)分析，雅可比矩陣 J描述的是機(jī)器人工作臂線位移和角位移的映射關(guān)系，線位移和角位移又與裝配機(jī)器人的工作位姿和工作臂長(zhǎng)密切相關(guān)，因此本文著重研究的是KRT20-1540裝配機(jī)器人工作臂空間運(yùn)動(dòng)中臂長(zhǎng)的最優(yōu)解。

1.2 機(jī)器人末端剛度定量分析

上文分析了裝配機(jī)器人的靜剛度模型，但由于靜剛度模型只能定性的描述裝配機(jī)器人末端剛度的影響因素，并不能對(duì)裝配機(jī)器人末端剛度進(jìn)行直觀的評(píng)價(jià)，為此還需提出一種對(duì)裝配機(jī)器人剛度定量評(píng)價(jià)的方法。

可將裝配機(jī)器人抵抗外力變形的能力定義為該裝配機(jī)器人的末端剛度。按照胡克定律，則裝配機(jī)器人空間受力F和變形D表示為：

F=Q·D

(6)

而按照量綱的不同，可將靜剛度矩陣Q劃分為4塊，即：

Q=KfdKndKfqKnq

(7)

其中： Kfd為力-線位移矩陣；Knd為力矩-線位移矩陣；Kfq為力-角位移矩陣；Knq為力矩-角位移矩陣。

為此可將式(6)分解為：

dq=KfdKndKfqKnqfn

(8)

式中：f為末端力矢量；n為末端力矩矢量；d為末端線位移；q為末端角位移。

考慮到裝配機(jī)器人在裝配作業(yè)中定位及壓緊的受力方式，可從力-線位移剛度矩陣角度來(lái)衡量機(jī)器人的末端剛度。由文獻(xiàn)[8]，可選“力-線剛度橢球 ”最小半軸長(zhǎng)即 Kfd的最小奇異值ξ作為衡量裝配機(jī)器人剛度性能的指標(biāo)，ξ值越大，則相應(yīng)的裝配機(jī)器人剛度性能越好，然而根據(jù)雅可比矩陣的特性，ξ只能描述裝配機(jī)器人在某特定工作位姿下的剛度性能，因此還需進(jìn)一步分析其綜合剛度 Σζ，參照文獻(xiàn)[9]，對(duì)Kfd的奇異值ξ在整個(gè)機(jī)器人工作空間內(nèi)進(jìn)行積分并求出其平均值Σζ，即：

(9)

式中：W為機(jī)器人可達(dá)空間；φ為機(jī)器人關(guān)節(jié)空間；θi為機(jī)器人關(guān)節(jié)角(i=1、2、3，…，n)。

因此，最終可用 Σζ 來(lái)描述裝配機(jī)器人整體剛度性能的好壞， Σζ 越大，則末端剛度越大，優(yōu)化模型以求解 Σζ的最大值建立目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)。

2 剛度優(yōu)化

2.1 優(yōu)化模型的建立

對(duì)于本次設(shè)計(jì)優(yōu)化的6R裝配機(jī)器人，由于機(jī)器人后3個(gè)自由度主要集中在小臂旋轉(zhuǎn)及腕部定位，其對(duì)機(jī)器人整體的空間剛度影響較小，因而可將該機(jī)器人的剛度問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，分析裝配機(jī)器人大臂、小臂在滿足工作半徑前提下的最優(yōu)臂長(zhǎng)分配。此時(shí)問(wèn)題就轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)多元函數(shù)在既定約束條件下最優(yōu)解的數(shù)學(xué)問(wèn)題。該優(yōu)化模型可描述為：

maxΣζ st.Limin ≤Li≤LimaxL1+L2+…+Ln=L

(10)

2.2 PSO粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization,PSO)是1995年由艾伯哈特(Eberhart)和肯尼迪(kennedy)2位學(xué)者通過(guò)研究鳥(niǎo)群捕食行為所提出的一種新的進(jìn)化算法。PSO算法的基本原理是利用群體中的個(gè)體對(duì)信息的共享使整個(gè)群體的運(yùn)動(dòng)在問(wèn)題求解空間中產(chǎn)生從無(wú)序到有序的演化過(guò)程，從而獲得最優(yōu)解，但與遺傳算法相比，其迭代公式更加簡(jiǎn)單，且具有高魯棒性、高收斂速度的優(yōu)點(diǎn)，使其在工業(yè)設(shè)計(jì)中展現(xiàn)出非常高的應(yīng)用價(jià)值，并得到學(xué)術(shù)界的廣泛重視[10]。

對(duì)本文6R裝配機(jī)器人手臂剛度優(yōu)化設(shè)計(jì)，定義手臂Li(i=1、2、3…n)的解為空間搜索粒子，這群隨機(jī)搜索粒子在空間中按速度v進(jìn)行隨機(jī)飛行搜索，在搜索過(guò)程中不斷比較粒子當(dāng)前位置與本身最好位置以及整個(gè)粒子群中所發(fā)現(xiàn)的最后位置，并根據(jù)式(10)中確定的適應(yīng)度值f以及利用式(11)進(jìn)行迭代計(jì)算：

vik+1=ωvik+c1 μ pik-xik+c2 η[ pgk-xik]

xik+1= xik+vik

(11)

其中：ω為慣性權(quán)重；c1 、c2為粒子學(xué)習(xí)因子；μ、η為在[0,1]之間的均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)； xi為粒子當(dāng)前位置； vi為該粒子當(dāng)前速度；pi為該粒子最好位置； pg為群體內(nèi)所有粒子最好位置。經(jīng)過(guò)迭代，最終可求出裝配機(jī)器人Li的最優(yōu)解組合。

3 應(yīng)用實(shí)例

3.1 機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度計(jì)算

本次KRT20-1540裝配機(jī)器人主要從優(yōu)化機(jī)器人工作臂長(zhǎng)的角度來(lái)提高其末端剛度，為了方便計(jì)算，將后3個(gè)自由度簡(jiǎn)化，與小臂扭轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)合并，其傳動(dòng)鏈及傳動(dòng)原理如下表2和圖3所示。

表2 各關(guān)節(jié)的傳動(dòng)路線

圖3 傳動(dòng)關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)圖

J1腰部回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)選用的是日本山洋R2AA13200DCPW0交流伺服電機(jī)，該電機(jī)的扭轉(zhuǎn)剛度kd可按式計(jì)算，從山洋伺服電機(jī)樣本中可查得t=0.83 ms，J=12.2×104N·mm ，由式(3)最終得電機(jī)扭轉(zhuǎn)剛度kd1=5.81×108N·mm/rad ；電機(jī)輸入齒輪的齒寬b=20mm，齒寬半徑r=18mm ，由式(4)可得其扭轉(zhuǎn)剛度kc1=8.68×104N·mm/rad；J1關(guān)節(jié)中減速器選用的是日本帝人RV-100C-36，該減速器的扭轉(zhuǎn)剛度kr可從帝人減速器樣本中查得，kr1=3.06×107N·mm/rad

為了計(jì)算J1關(guān)節(jié)的總剛度，還需把傳動(dòng)系統(tǒng)中各機(jī)械部件的剛度一一折算到輸出軸上，計(jì)算等效剛度。在此，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可將傳動(dòng)系統(tǒng)各部件簡(jiǎn)化成由幾個(gè)彈性部件串聯(lián)組成的系統(tǒng)，并按折算前后系統(tǒng)動(dòng)能或勢(shì)能保持不變的原則進(jìn)行折算。折算后電機(jī)等效剛度kd1′=kd1·i2，齒輪等效剛度為kc1′=kc1·i2 ，RV減速器的等效剛度為kr1′=kr1，其中i為RV減速器的減速比，則J1關(guān)節(jié)綜合扭轉(zhuǎn)剛度k1為:

1k1=1kd1′+1kc1′+1kr1′

(12)

最終計(jì)算得腰部回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)剛度k1=7.06×107 N·mm/rad，同樣的方法可求得k2= 6.23×108N·mm/rad；k3=3.12×107 N·mm/rad ；Kt=diag(7.06×107， 6.23×108，7.23×107)

3.2 機(jī)器人臂長(zhǎng)優(yōu)化

根據(jù)上文的分析，KRT20-1540裝配機(jī)器人在對(duì)工作臂進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)為了方便計(jì)算，將后3個(gè)自由度簡(jiǎn)化，故其雅克比矩陣Jk較傳統(tǒng)6R機(jī)器人有所不同，可令:

Jk=[ J1， J2 ，J3，J4]

(13)

其中 ：

J1=d4s23-a2c2-a3c23a2c1+a3c13-

d4s23a2c2-a3c23-d4s231

J2=a3c6 -d4c4-a2a3 -d4c4+a2a2-a3-d41

J3=d4+a3d4-a3d4c4+a20

J4= 0001

式中：c1=cosθ1，s1=sinθ1，s23=sin(θ2+θ3)并依此類推，將表1中KRT20-1540裝配機(jī)器人的D-H連桿參數(shù)帶入，結(jié)合式(5)、 (8)最終可解得本機(jī)器人“力-線位移矩陣”

Kfd=-L1sinθ2-L2sin(θ2+θ3-L2sin(θ2+θ300L1cos(θ2)+

L2cos((θ2+θ3)L2cos((θ2+θ3)0000-101101

(14)

式中：L1為大臂臂長(zhǎng)；L2為小臂臂長(zhǎng)；θ2、θ3為大臂、小臂工作轉(zhuǎn)角。由于受到工作范圍的限制，故大臂、小臂關(guān)節(jié)角的約束條件設(shè)定為θ2∈[ 1.13，-2.53 ]，θ3∈[ 3.05，-1.31](單位弧度)，同時(shí)還需保證KRT20-1540裝配機(jī)器人的最大工作半徑為1540，故該優(yōu)化模型可表示為：

maxΣζ (L1，L2)st.θ2∈ [ 1.13，-2.53 ]

θ3∈[ 3.05，-1.31 ]L1+L2=1540

(15)

該優(yōu)化問(wèn)題可利用PSO粒子群算法求解。在此借助Matlab粒子群工具箱(PSOt)，并指定慣性因子、約定各維變量的取值范圍等即可，其具體的調(diào)用函數(shù)為：

pso_Trelea_vectorized(functname, D, mv, VarRange , minmax, PSOparams, plotfcn, PSOseedValue)

其中，對(duì)于本次優(yōu)化問(wèn)題，其調(diào)用函數(shù)為:

test_func = max Σζ (L1，L2)

L1_range=[-2,2]；

L2_range=[-2,2]；

range=[L1_range; L2_range]；

Max_V=0.2* (range(:,2) - range(:,1))；(最大速度取范圍的 10%～ 20%)

n=2(粒子維數(shù) )

PSOparams = [10 1000 50 2 2 0.9 0.4 1500 1e-25 250 NaN 0 0] (個(gè)體數(shù)目 50 ，進(jìn)化次數(shù)1000)

PSO_Trelea_vectorized('test_func',n, Max_V, range, 1, PSOparams)

最終解得最優(yōu)臂長(zhǎng)解為L(zhǎng)1*= 625.6， L2*= 792.8,具體設(shè)計(jì)時(shí)取整L1*= 626，L2*=793。

3.3 優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證

本次優(yōu)化設(shè)計(jì)的裝配機(jī)器人KRT20-1540，其負(fù)載為20kg，在ANASYS仿真軟件中將其模型簡(jiǎn)化并在末端施加200N的作用力，規(guī)定好約束并對(duì)整個(gè)模型網(wǎng)格劃分后進(jìn)行應(yīng)力應(yīng)變分析；同時(shí)給出另外2組臂桿長(zhǎng)度在相同位姿下與優(yōu)化臂長(zhǎng)組對(duì)比其應(yīng)力應(yīng)變量，仿真結(jié)果如圖4。

圖4 臂桿優(yōu)化仿真對(duì)比

工 況形變量(mm)臂桿組A大臂小臂576mm843mm0.744e-03臂桿組B大臂小臂676mm743mm0.723e-03最優(yōu)結(jié)果大臂小臂626mm793mm0.647e-03

由上表4仿真結(jié)果可知，該優(yōu)化方法是切實(shí)可行的。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以某公司自主研發(fā)的6R裝配機(jī)器人為例，研究分析了其剛度模型，并提出了基于PSO的機(jī)器人工作臂長(zhǎng)組優(yōu)化，為提高機(jī)器人末端剛度提出了一種新的思路。

本文靜剛度模型中以“力-線位移矩陣”奇異值在工作空間內(nèi)的積分均值作為定量分析指標(biāo)，簡(jiǎn)化分析了后3個(gè)自由度對(duì)剛度的影響，后期考慮到優(yōu)化模型的精確性，在計(jì)算剛度模型時(shí)可將其帶入計(jì)算；同時(shí)，機(jī)器人的工作位姿也是決定末端剛度性能的一個(gè)重要影響因素，空間積分均值并不能完全表達(dá)，因此有必要進(jìn)一步探討位姿與工作臂長(zhǎng)相結(jié)合的剛度優(yōu)化方法，對(duì)提高機(jī)器人精度具有更加重大的意義。

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(編輯 李秀敏)

Arm Stiffness Optimization of a 6-DOF Assembly Robot Based on PSO

SHI Xu-dong1，3，ZHUANG Li-dong2，GUO Xian-peng3

(1.School of Mechanical Engineering,Nanjing Institute of Technology,Nanjing 211167,China; 2.School of Mechanical Engineering, Jiangsu Institute of Technology，Changzhou Jiangsu 213000,China)

To increase the repeat location accuracy of a 6-dof assembly robot , a method of optimization of its link length is proposed based on PSO through improving the stiffness performance. The integral mean value of singular-value of force-displacement matrix on link work space is used as the quantitative index to measure the link stiffness. With the aim of its optimization, the optimization function of link length is set up and solved based on PSO. Finally, on the company independently developed KRT20-1540 assembly robot, the feasibility of the method is verified through ANASYS simulation.

6-dof assembly robot;link length; stiffness optimization

1001-2265(2016)10-0043-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.10.011

2015-11-10；

2015-12-15

史旭東(1968—)，男，江蘇溧陽(yáng)人，南京工程學(xué)院高級(jí)工程師，研究方向?yàn)闄C(jī)械加工工藝與自動(dòng)化設(shè)備，(E-mail)shixudong@live.cn。

TH166;TG659

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