數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中的兩點(diǎn)體會

張艷

（南通大學(xué) 理學(xué)院，江蘇南通226000）

數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中的兩點(diǎn)體會

張艷

（南通大學(xué) 理學(xué)院，江蘇南通226000）

對數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)的現(xiàn)狀與未來發(fā)展趨勢的研究，是從事其課程教學(xué)的教師們一直關(guān)注的問題，文章結(jié)合教學(xué)實(shí)踐和探索實(shí)踐，闡述了在教學(xué)過程中對教學(xué)觀念，教學(xué)方法和教學(xué)模式等方面的體會和進(jìn)行改革的思考。

數(shù)學(xué)分析；教學(xué)改革；思考

以微積分為主要教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)分析課程，是一門非常重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程。它既是中學(xué)數(shù)學(xué)知識的深入與延續(xù)，又為后繼專業(yè)課，如常微分方程，復(fù)變函數(shù)，實(shí)變函數(shù)和泛函分析等分析類課程的學(xué)習(xí)提供必要的理論基礎(chǔ)。對于數(shù)學(xué)師范專業(yè)來說，數(shù)學(xué)分析還承擔(dān)著發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察和處理問題能力，鍛煉學(xué)生養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣，培養(yǎng)他們用數(shù)學(xué)分析的有關(guān)理論和知識居高臨下地分析和處理中學(xué)教材的任務(wù)。

文章結(jié)合數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)實(shí)踐，以及我校數(shù)學(xué)師范專業(yè)教學(xué)改革的探索實(shí)踐，談?wù)勗跀?shù)學(xué)分析教學(xué)過程中的兩點(diǎn)體會。

一、上好數(shù)學(xué)分析導(dǎo)論課，做好入門教育

對于剛進(jìn)入大學(xué)的一年級新生而言，數(shù)學(xué)分析課程的抽象程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于中學(xué)數(shù)學(xué)課程。它使用了大量的抽象符號和數(shù)學(xué)語言，其中絕大部分對于大學(xué)新生們來講是完全陌生并難以理解的。為了讓學(xué)生更好地接受數(shù)學(xué)分析課程，而不是從一開始就因?yàn)槔щy而排斥，必須做好入門教育。這不僅關(guān)系到這門課的整個(gè)教學(xué)，也關(guān)系到學(xué)生們的后繼學(xué)習(xí)。做好入門教育的關(guān)鍵就是上好導(dǎo)論課。

數(shù)學(xué)分析導(dǎo)論課要解決“為何學(xué)”，“學(xué)什么”，“如何學(xué)”這三大問題。首先，對“為何學(xué)”的討論是要讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)分析課程的重要性。通過對數(shù)學(xué)分析課程與數(shù)學(xué)專業(yè)其他主要課程之間聯(lián)系的分析（見圖1），讓學(xué)生明確學(xué)好數(shù)學(xué)分析的必要性。

圖1　數(shù)學(xué)分析與數(shù)學(xué)專業(yè)主要課程的聯(lián)系

圖2　數(shù)學(xué)分析課程主要內(nèi)容

其次，“學(xué)什么”自然是要讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)分析的主要內(nèi)容（見圖2）。用一句話來概括的話，數(shù)學(xué)分析應(yīng)該是以實(shí)數(shù)的連續(xù)性為基礎(chǔ)，以極限為工具，以無窮小分析為主要方法來研究函數(shù)分析性質(zhì)（連續(xù)性、可微性、可積性）的一門學(xué)科。

至于“如何學(xué)”則是要對剛步入大學(xué)校門的新生們作學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)。對他們而言，抽象層次的驟然提高，相比中學(xué)更快的課堂節(jié)奏，對課后自學(xué)能力的更高要求，都將成為他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析過程中面臨的巨大挑戰(zhàn)。因此，對如何在預(yù)習(xí)中找出問題、帶著問題去聽課、適時(shí)做好課堂筆記、經(jīng)過思考提出問題、獨(dú)立做題、歸納與提高等作一定的指導(dǎo)，是很有必要的。

此外在數(shù)學(xué)分析導(dǎo)論課教學(xué)中，應(yīng)給學(xué)生提供必要的參考書目，指導(dǎo)學(xué)生通過閱讀與數(shù)學(xué)分析課程相關(guān)的文獻(xiàn)資料進(jìn)行課后自學(xué)。這樣可引導(dǎo)學(xué)生逐漸養(yǎng)成利用各種資源查閱資料的習(xí)慣，幫助他們開闊視野，同時(shí)還有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和科研能力，為日后撰寫科研論文打下基礎(chǔ)。

上好數(shù)學(xué)分析導(dǎo)論課，不僅能很好地激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣，而且能使學(xué)生大致明了今后的學(xué)習(xí)任務(wù)和目標(biāo)，了解數(shù)學(xué)分析課程的學(xué)習(xí)方法和思維方式，為日后更好地學(xué)習(xí)該課程開個(gè)好頭。

二、注重基本概念、定理教學(xué)，打下扎實(shí)基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)分析課程的顯著特點(diǎn)是概念多、定理多、證明多、關(guān)聯(lián)性強(qiáng)。李大潛教授曾指出:數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅要學(xué)到許多重要的數(shù)學(xué)概念、方法和結(jié)論，更要領(lǐng)會到數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)和思想方法［1］。在這樣的理論指導(dǎo)下，我們以兩個(gè)基本概念定理的教學(xué)方案為例，討論如何在進(jìn)行基本概念和重要定理的教學(xué)過程中，有意識地加強(qiáng)對學(xué)生科學(xué)思維方法的訓(xùn)練，以及解決問題的能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

數(shù)列極限的“ε-N”定義一直是數(shù)學(xué)分析入門教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)?！唉?N”語言使很多學(xué)生感到數(shù)學(xué)分析深不可測，從而對該課程望而卻步。為了行之有效地講好“ε-N”語言，我們可以遵循從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律。先從實(shí)例中抽象出較易被學(xué)生接受的數(shù)列極限描述性定義：隨著下標(biāo)n的無限增大，數(shù)列的通項(xiàng)an會與某個(gè)常數(shù)a無限接近。隨即嘗試用精確的數(shù)學(xué)語言對描述性定義中的兩個(gè)“無限”進(jìn)行進(jìn)一步解讀:接近程度可以用| an-a|來表示，所謂“無限接近”就是指|an-a|可以“無限小”；所謂| an-a|可以“無限小”，究竟小到什么程度呢？這個(gè)程度可以由我們自己來決定。也就是可以小于事先任意給定的，無論多小的正數(shù)……這樣由定性到定量，逐漸增加其定量的成份，一步一步引導(dǎo)學(xué)生自行歸納總結(jié)出數(shù)列極限的“ε-N”定義：liman=a?對對?ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，有|an-a|＜ε。為了讓學(xué)生對定義有更直觀的認(rèn)識，我們給出定義的另一種表述，即其幾何解釋：任給ε＞0，若在U（a；ε）之外，數(shù)列｛an｝中的項(xiàng)至多只有有限項(xiàng)，則稱數(shù)列｛an｝收斂于極限a。

隨后的教學(xué)難點(diǎn)就是如何應(yīng)用定義解決問題，即如何運(yùn)用“ε-N”語言來證明一些極限結(jié)論。在此過程中，“適當(dāng)放大法”的正確使用尤為關(guān)鍵。所謂“適當(dāng)放大法”，一般分兩步:第一步，先找出n的一個(gè)函數(shù)（fn），滿足limf（ n）=0，使得|ana|＜（n），此為“放大”。第二步，對任意ε＞0，證明存在N＞0，使得當(dāng)n＞N時(shí)成立（fn）＜ε。授課時(shí)，要提醒學(xué)生注意，初學(xué)者易犯的錯(cuò)誤是數(shù)列｛（fn）｝不滿足limf（ n）=0，即不等式放大過頭了。據(jù)上述的“適當(dāng)放大法”，在用“ε-N”語言驗(yàn)證liman=a時(shí)，對任意ε＞0，將|an-a|適當(dāng)放大后化為

圖3　二分法算法實(shí)現(xiàn)

而由（fn）＜ε易求出N，當(dāng)n＞N時(shí)（fn）＜ε，即有|an-a|＜ε。

對“ε-N”定義的教學(xué)并未就此結(jié)束，我們應(yīng)該繼續(xù)討論定義的延伸——對偶法則：如何刻畫liman≠a？對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)符號語言的訓(xùn)練，是數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中的必要環(huán)節(jié)。

定義否命題的正面敘述遵循對偶法則。

數(shù)學(xué)分析中的一些概念和定理，學(xué)生被動接受時(shí)感到很枯燥，為激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，可以考慮采取理論與實(shí)踐相結(jié)合的手段［2］。比如在連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理（根的存在定理）教學(xué)中，在定理延伸部分，介紹求解方程f（x）=0的近似方法——二分法時(shí)，可以鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)（見圖3）。

上述兩點(diǎn)體會僅為作者在教學(xué)實(shí)踐中的粗淺認(rèn)識。基礎(chǔ)教育課程改革在很多方面對數(shù)學(xué)教師提出了新的要求。高校數(shù)學(xué)師范專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)是為國家基礎(chǔ)教育事業(yè)的發(fā)展培養(yǎng)德才兼?zhèn)涞母咚刭|(zhì)的一流數(shù)學(xué)師資。因此，數(shù)學(xué)分析教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)，就是必須使學(xué)生掌握對中學(xué)教材具有居高臨下處理能力。教好數(shù)學(xué)分析這一基礎(chǔ)課程對培養(yǎng)和提高學(xué)生的這種能力起著不可低估的作用，積極推進(jìn)數(shù)學(xué)分析的教學(xué)革新，探索更科學(xué)的教學(xué)處理方法任重道遠(yuǎn)［3］。

［1］李大潛.數(shù)學(xué)科學(xué)與數(shù)學(xué)教育芻議［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2004，20（4）：1-8.

［2］杜其奎，陳金如.“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)的改革與實(shí)踐［J］.中國科技縱橫，2010（23）：95-96.

［3］張艷，沈亞良.師范專業(yè)數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革的思考［J］.高師理科學(xué)刊，2014，34（1）：29.

［4］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京:高等教育出版社（第四版），2010.

The study of the state and future development about Mathematical Analysis attracts flocks of teachers. This paper discusses the experience during the teaching process of Mathematical Analysis.

Mathematical Analysis；transformation of education；thought

G642

A

2096-000X（2016）21-0121-02

張艷，南通大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系講師，現(xiàn)主要從事數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)和偏微分方程方面的研究。