基于PH分布的兩部件并聯(lián)系統(tǒng)可靠性模型分析

尹東亮，黎 放，陳 童

（海軍工程大學(xué)管理工程系，湖北武漢　430033）

基于PH分布的兩部件并聯(lián)系統(tǒng)可靠性模型分析

尹東亮，黎 放，陳 童

（海軍工程大學(xué)管理工程系，湖北武漢430033）

在系統(tǒng)可靠性建模過程中，通常假設(shè)部件壽命和維修時間等服從指數(shù)分布等典型分布，這樣做會導(dǎo)致模型的約束條件過于嚴格，縮小了所研究模型的適用范圍.采用Phase-type（PH）分布來構(gòu)建模型，研究了包含2個不同部件的并聯(lián)系統(tǒng)，考慮系統(tǒng)具有單一維修臺，假設(shè)部件壽命和維修時間分別服從不同的PH分布，構(gòu)建了描述能力更強的系統(tǒng)可靠性模型，得出了明確的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度、首次故障前平均工作時間、穩(wěn)態(tài)故障頻度等一系列相關(guān)可靠性參數(shù)的解析式.最后，通過算例分析證明了該方法的正確性和適用性.

并聯(lián)系統(tǒng)；可靠性；Phase-type分布

含有2個不同部件的并聯(lián)系統(tǒng)作為一種常用結(jié)構(gòu)，其可靠性模型已經(jīng)被深入研究［1-2］.該類系統(tǒng)在艦艇中應(yīng)用廣泛，比如艦艇聯(lián)合動力裝置等，而在對該類系統(tǒng)的建模過程中，通常假設(shè)系統(tǒng)各部件的壽命和維修時間服從指數(shù)分布、威布爾分布等典型分布.曹晉華、程侃［3］利用指數(shù)分布對并聯(lián)可修系統(tǒng)進行了研究，得出了一系列相關(guān)可靠性指標(biāo)；Rakesh等［4］針對各部件維修時間分別服從指數(shù)分布和Lindley分布的包含兩部件的并聯(lián)系統(tǒng)進行了研究，系統(tǒng)具有兩維修臺，對系統(tǒng)可靠性進行了分析；Ram等［5］研究了維修時間服從威布爾分布的兩部件并聯(lián)系統(tǒng)，利用貝葉斯決策理論對系統(tǒng)可靠性特點進行了分析.在實際應(yīng)用中，這些可靠性模型中的隨機變量比如維修時間是不具備無后效性的，一般卻假設(shè)其服從指數(shù)分布，這樣顯然是不夠合理的.然而為了保持模型較好的求解計算特性，假設(shè)條件往往過于嚴格，導(dǎo)致這類模型的適用范圍過窄.

為了保留這類典型分布所構(gòu)建模型易于求解的特性，同時改善模型的適用性，Erlang［6］最早利用負指數(shù)隨機變量的算術(shù)和構(gòu)造了位相型的Erlang分布.此后，很多學(xué)者對混合型分布不斷嘗試［7］，發(fā)展了超指數(shù)分布、廣義Erlang分布以及廣義Erlang分布的混合等.這些分布的描述能力較指數(shù)分布有很大提高，但失去了其易于求解的特性，直到Neuts［8］發(fā)展了PH分布的矩陣表示和解析方法，使得該類分布既保持了指數(shù)分布易于處理的優(yōu)良特性，又具有較強的描述能力，被迅速廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)可靠性模型研究中.Gururajan等［9］研究了具有單一維修臺的兩部件溫貯備系統(tǒng)，貯備部件壽命服從PH分布，建立了可靠性模型，給出了可靠度、可用度等可靠性指標(biāo)；趙丹［10］以修理工單重休假的并行可修系統(tǒng)為研究對象，假設(shè)修理時間服從PH分布，部件壽命服從指數(shù)分布，得出了系統(tǒng)可靠性模型，并給出了可靠性指標(biāo)；Montoro-Cazorla等［11］研究了具有單一維修臺的兩部件冷貯備系統(tǒng)，系統(tǒng)工作時間和維修時間均服從PH分布，得出了更換備件時間等指標(biāo).

從PH分布的數(shù)學(xué)特性中，可得出該分布具有以下優(yōu)點［12］：1）適用性強，PH分布具有很好的稠密性，可以較好地擬合可靠性模型的試驗數(shù)據(jù)，達到所需的精確度，使得其能更好地替代各類復(fù)雜分布進行建模；2）運算封閉性好，易于進行矩陣建立與解析運算，且運算結(jié)果也有相應(yīng)的PH分布表示；3）PH分布將數(shù)值參數(shù)轉(zhuǎn)換為矩陣參數(shù)，以矩陣形式包含了大量的數(shù)據(jù)，更易于通過計算機等輔助工具進行計算.

基于上述分析，本文以并聯(lián)可修系統(tǒng)為研究對象，考慮系統(tǒng)具有兩不同部件和單個維修臺，假設(shè)各部件壽命和維修時間服從不同的PH分布，建立了通用性更強的可靠性模型，得出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度、首次故障前平均工作時間、穩(wěn)態(tài)故障頻度等一系列可靠性指標(biāo)的解析表達式.

1　相關(guān)基礎(chǔ)知識

定義1［13］：考慮在狀態(tài)空間上定義的一個時間連續(xù)、狀態(tài)離散馬爾科夫過程，假設(shè)狀態(tài)1，2，…，m為轉(zhuǎn)移狀態(tài)，m+1為吸收狀態(tài)，定義該馬爾科夫過程的狀態(tài)無窮小生成矩陣為其中，m階矩陣T=（Tij）滿足Tii＜0，Tij≥0，i≠j，1≤i，j≤m.Tij表示相位i至相位j的轉(zhuǎn)移率，（，…）T是非負列向量，由各瞬態(tài)分別進入吸收態(tài)的吸收率表示為矩陣T0，滿足Te+T0=0，其中e為元素均為1的m階列向量，

定義2［13］：假設(shè)一個有限狀態(tài)馬爾科夫過程以概率α從轉(zhuǎn)移狀態(tài)i開始狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移，則該馬爾科夫過程進入吸收狀態(tài)的時間分布定義為PH型（Phase-type）概率分布.其概率分布函數(shù)為

［0，+∞）上的概率分布F（·）稱為連續(xù)PH分布，α=（α1，α2，…，αm）表示過程的初始概率向量，（α，T）稱為它的m階PH表示.

定義3［13］：一個m×n階矩陣A和一個p×q階矩陣B的Kronecker積被定義為

根據(jù)式（3），可得出Kronecker積有如下性質(zhì)：

定義4［14］：一個m階矩陣A和一個n階矩陣B的Kronecker和被定義為

其中Im和In分別表示m和n階的單位矩陣.

2　問題描述與假設(shè)

設(shè)該并聯(lián)可修系統(tǒng)具有單一維修臺，包含兩不同部件.2個不同部件分別稱為部件1和部件2.下面對問題作進一步深入描述.

1）部件1的壽命服從PH分布，該分布具有m階不可約表示（α，T）.

2）部件2的壽命服從PH分布，該分布具有n階不可約表示（β，S）.

3）系統(tǒng)是單維修臺可修系統(tǒng)，按先到先維修的原則對故障件進行維修，且修復(fù)如新.其中，部件1的維修時間服從PH分布，該分布具有l(wèi)1階不可約表示（δ，U），部件2的維修時間也服從PH分布，該分布具有l(wèi)2階不可約表示（ξ，R）.

4）當(dāng)系統(tǒng)中2個部件均發(fā)生故障時，系統(tǒng)故障；待某部件維修完畢后，系統(tǒng)再次投入運轉(zhuǎn).

5）維修完畢的故障件進入系統(tǒng)開始工作的更換時間可以忽略，不進行考慮；

6）部件1、部件2的壽命和維修時間均相互獨立.

3　模型構(gòu)建

令Z（t），I（t）=｛i1（t），i2（t）｝和J=｛j1（t），j2（t）｝分別表示在某一時刻t系統(tǒng)內(nèi)故障件數(shù)量、完好部件1和完好部件2各自所處的相位以及部件1和部件2的維修工作所處相位.那么，｛Z（t），I（t），J（t）｝是多維連續(xù)時間馬爾科夫鏈.

由于兩部件是不同的，以Z（t）為狀態(tài)空間的宏狀態(tài)，則狀態(tài)空間可以表示為狀態(tài)集Ω=H0∪H1∪H2∪H3∪H4，其中：

H0=｛0，（i1（t），i2（t））｝表示系統(tǒng)完好無故障，處于工作狀態(tài)，完好部件1和完好部件2分別處于相位i1（t），i2（t），其中1≤i1（t）≤m，1≤i2（t）≤n；

H1=｛1，i1（t），j2（t）｝表示系統(tǒng)部件2發(fā)生故障，完好部件1處于狀態(tài)i1（t），維修臺維修工作處于狀態(tài)j2（t），其中1≤i1（t）≤m，1≤j2（t）≤l2；

H2=｛1，i2（t），j1（t）｝表示系統(tǒng)部件1發(fā)生故障，完好部件2處于狀態(tài)i2（t），維修臺維修工作處于狀態(tài)j1（t），其中1≤i2（t）≤n，1≤j1（t）≤l1；

H3=｛2，j1（t）｝表示系統(tǒng)故障停機，部件1在維修，部件2待修，維修臺維修工作處于狀態(tài)j1（t），其中1≤j1（t）≤l1；

H4=｛2，j2（t）｝表示系統(tǒng)故障停機，部件2在維修，部件1待修，維修臺維修工作處于狀態(tài)j2（t），其中1≤j2（t）≤l2.

由上述劃分可見，對于整個系統(tǒng)而言，W=H0∪H1∪H2是運行狀態(tài)，E=H3∪H4是停機狀態(tài).

下面對狀態(tài)轉(zhuǎn)移進行分析.

1）H0內(nèi)部轉(zhuǎn)移：Z（t）=0時，表示系統(tǒng)完好，該狀態(tài)轉(zhuǎn)移包括部件1和部件2的各自相位轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)移矩陣可以表示為T⊕S；

2）H1內(nèi)部轉(zhuǎn)移：Z（t）=1時，表示部件2故障、部件1工作.在同一時刻，完好部件1與維修工作不可能同時進行相位轉(zhuǎn)移，故轉(zhuǎn)移矩陣可以表示為T⊕R；

3）H2內(nèi)部轉(zhuǎn)移：Z（t）=1時，表示部件1故障、部件2工作.在同一時刻，完好部件2與維修工作不可能同時進行相位轉(zhuǎn)移，故轉(zhuǎn)移矩陣可以表示為U⊕S；

4）H3內(nèi)部轉(zhuǎn)移：Z（t）=2時，表示部件1正在修理、部件2等待，系統(tǒng)故障.這時只有部件1維修工作狀態(tài)的內(nèi)部轉(zhuǎn)移，可以表示為U；

5）H4內(nèi)部轉(zhuǎn)移：Z（t）=2時，表示部件2正在修理、部件1等待，系統(tǒng)故障.這時只有部件2維修工作狀態(tài)的內(nèi)部轉(zhuǎn)移，可以表示為R.

同理，可以得到宏狀態(tài)k向k+1，k-1轉(zhuǎn)移的表達式（k=0，1，2）.系統(tǒng)各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移如圖1所示.

圖1　系統(tǒng)狀態(tài)空間轉(zhuǎn)移示意圖Fig.1 Schematic diagram of state transition of system

根據(jù)上述分析，可以給出該馬式鏈的無窮小生成元Q為

上述矩陣Q中，各元素分別表示為：A0，0=T⊕S，C0，1=I?S0ξ，C0，2=T0δ?I，B1，0=I?R0β，A1，1=T⊕R，C1，4=T0?I，B2，0=U0α?I，A2，2=U⊕S，C2，3=I?S0，B3，1=U0α?ξ，A3，3=U，B4，2=δ?R0β，A4，4=R.

其中：T0，S0表示部件1和部件2由工作狀態(tài)中各瞬態(tài)轉(zhuǎn)移至其相應(yīng)吸收態(tài)的吸收率；U0，R0表示部件1和部件2由維修狀態(tài)中各瞬態(tài)轉(zhuǎn)移至其相應(yīng)吸收態(tài)的吸收率.

4　系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率向量

系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時，其無窮小生成元矩陣中各狀態(tài)所對應(yīng)的概率構(gòu)成穩(wěn)態(tài)概率向量π，與系統(tǒng)狀態(tài)空間Ω=H0∪H1∪H2∪H3∪H4相對應(yīng)可表示為π=（π0，π1，π2，π3，π4），且滿足下列條件：

根據(jù)上述展開式（9）至（14）即可求出穩(wěn)態(tài)概率向量π，下面介紹具體求解方法.

由上述計算解析式（14）、（15）、（16）、（23）、（24）即可計算出π的各元素，即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率向量.由于計算過程和計算式過于復(fù)雜，這里不再一一列出.

5　系統(tǒng)可靠性指標(biāo)

5.1系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度

已知系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率向量，則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度O可直接用系統(tǒng)處于狀態(tài)空間W=H0∪H1∪H2的穩(wěn)態(tài)概率之和來表示：

5.2系統(tǒng)首次故障前工作時間

系統(tǒng)t0=0時開始運行，在運行過程中首次由工作狀態(tài)W=H0∪H1∪H2進入故障狀態(tài)E=H3∪H4的時刻點t為系統(tǒng)首次故障前工作時間［15］.

定理1：系統(tǒng)首次故障前工作時間服從PH分布，有（mn+ml2+nl1）階的表示（γ，G），其中

證明：根據(jù)系統(tǒng)首次故障前工作時間的定義，令H3，H4合并為E=H3∪H4，由于系統(tǒng)首次停機，系統(tǒng)停機狀態(tài)可根據(jù)PH分布定義表示為系統(tǒng)首次故障前工作時間的吸收態(tài)，則此時系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可表示為

將該矩陣Q＊去除第4行與第4列可得矩陣G，其中由系統(tǒng)首次故障前的工作狀態(tài)中各瞬態(tài)轉(zhuǎn)移至吸收態(tài)的吸收率G0=-Ge=（0，C1，4，C2，3）T.

由PH分布的定義和其良好的運算封閉性，可以得出系統(tǒng)首次故障前工作時間服從PH分布，有（mn+ml2+nl1）階的PH表示（γ，G）.

推論1：當(dāng)給定系統(tǒng)初始狀態(tài)概率向量γ，系統(tǒng)首次故障前平均工作時間（mean time to first failure，MTTFF）為

5.3系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度

由于系統(tǒng)可修，則系統(tǒng)運行始終是系統(tǒng)工作狀態(tài)和停機狀態(tài)不斷來回出現(xiàn)的過程.

定理2：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度用以描述系統(tǒng)在（0，t］時間內(nèi)停機的頻率，可表示為

其中e1，e2分別表示與π1C1，4，π2C2，3同階的元素為1的列向量.

推論2：在系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后，系統(tǒng)平均開工時間（mean up-time，MUT）、平均停工時間（mean downtime，MDT）和平均周期（mean cycle time，MCT）分別為：

6　算 例

本文算例由兩方面的驗證組成：1）假設(shè)部件1、部件2壽命和維修時間分別服從不同的指數(shù)分布，構(gòu)建模型，得出相應(yīng)結(jié)果，與文獻［3］中的結(jié)果進行對比，驗證模型的正確性；2）假設(shè)部件1、部件2壽命和維修時間分別服從不同的PH分布，驗證模型對復(fù)雜分布的適用性.

6.1 模型正確性驗證

假設(shè)有某包含2個部件的并聯(lián)可修系統(tǒng)，部件i的壽命分布為1-e-λit，維修時間分布為1-e-μit，其中t≥0，λi＞0，μi＞0，i=1，2.

根據(jù)本文中模型構(gòu)建的條件，T，S，U，R可分別表示為-λ1，-λ2，-μ1，-μ2，α=β=δ=ξ=1.由式（7）可得Q表示如下：

該式即為系統(tǒng)的無窮小生成元.假設(shè)運行過程中處于各狀態(tài)的瞬時概率分別為P0（t），P1（t），P2（t），P3（t），P4（t），則其狀態(tài)轉(zhuǎn)移的微分方程組表示如下：

當(dāng)系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)，即方程組（31）中t→∞時，可得其穩(wěn)態(tài)概率方程組如下：

將上述狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（30）代入方程（8）所得結(jié)果與方程（32）相同，故本文模型計算所得的穩(wěn)態(tài)概率必然與文獻［3］相同，充分驗證了當(dāng)系統(tǒng)部件壽命和維修時間分別服從不同的指數(shù)分布時該模型的正確性.利用文獻［3］中模型參數(shù)數(shù)值，令λ1=0.5，λ2=0.8，μ1=10，μ2=12，采用PH分布的解析方法求解，得出以下相同結(jié)果：

6.2模型適用性驗證

假設(shè)有某包含2個部件的并聯(lián)可修系統(tǒng)，則：

1）部件1壽命分布，

對模型進行求解，可以得出：O=0.996 3，MTTFF=29.272 7，k=0.033 4，MUT=29.857 1，MDT=0.110 9，MCT=29.967 9.

通過對該算例結(jié)果進行分析，所得結(jié)果均符合系統(tǒng)可靠性模型相關(guān)指標(biāo)要求，驗證了模型對各種類型分布的適用性，且具有優(yōu)良的解析計算性.

7　結(jié)束語

本文將PH分布應(yīng)用于包含2個不同部件的并聯(lián)可修系統(tǒng)中，考慮系統(tǒng)具有單一維修臺，建立了適用性更強的可靠性模型，得出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度、首次故障前工作時間、穩(wěn)態(tài)故障頻度等一系列可靠性指標(biāo)的解析式，較好地彌補了指數(shù)分布等典型分布所建模型的不足，可操作性更強.同時，利用算例分析驗證了PH分布的正確性和較好的適用性，較傳統(tǒng)典型分布有更高的實際應(yīng)用價值.

［1］BAYRAMOGLU I.Reliability and mean residual life of complex systems with two dependent components per el-ement［J］.IEEE Transactions on Reliability，2013，62（1）：276-285.

［2］LIU Y，LI X Z，DU Z P.Reliability analysis of a random fuzzy repairable parallel system with two non-identical components［J］.Journal of Intelligent and Fuzzy Systems，2014，27（6）：2775-2784.

［3］曹晉華，程侃.可靠性數(shù)學(xué)引論［M］.北京：高等教育出版社，2006：222-224.

CAO Jing-hua，CHEN Kan.An introduction to mathematical of reliability［M］.Beijing：Higher Education Press，2006：222-224.

［4］RAKESH G，SWATI K，MADHU M.A two dissimilar unit parallel system with two phase repair by skilled and ordinary repairmen［J］.International Journal of System Assurance Engineering and Management，2014，5（4）：554-561.

［5］RAM K，DIVYA J.Classical and Bayesian analysis of reliability characteristics of a two-unit parallel system with Weibull failure and repair laws［J］.International Journal of System Assurance Engineering and Management，2014，5（3）：252-261.

［6］ERLANG A K.Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in automatic telephone exchanges［J］.The Post Office Electrical Engineers Journal，1917，1（10）：189-197.

［7］EDWARD K.An introduction to stochastic processes［M］.Beijing：China Machine Press，2006：264-273.

［8］NEUTS M F，MEIER K S.On the use of phase type distributions in reliability modelling of systems with two components［J］.OR Spektrum，1981，2（2）：227-234.

［9］GRURUAJAN M，SRINIVASAN B.A complex two-unit system with random breakdown of repair facility［J］. Microelectronics Reliability，1995，35（2）：299-302.

［10］趙丹.壽命及修理時間服從Phase-Type分布的可修系統(tǒng)的可靠性分析［D］.河北：燕山大學(xué)理學(xué)院，2012：23-31.

ZHAO Dan.Reliability analysis of repairable system with Phase-Type life or phase type repairs［D］.Hebei：The University of Yanshan，Science Faculty，2012：23-31.

［11］MONTORO-CAZORLA D，PEREZOCON R.A deteriorating two-system with two repair modes and sojourn times Phase-Type distributed［J］.Reliability Engineering &System Safety，2006，91：1-9.

［12］OSOGAMI T，HARCHOL M.Closed form solutions for mapping general distributions to quasi minimal PH distributions［J］.Performance Evaluation，2006，63（6）：524-552.

［13］QI M H.Fundamentals of matrix-analytic methods［M］.London：Springer，2013：10-22.

［14］YONIT B，ESTHER F，BENNY L.Analysis of R out of N systems with several repairmen and exponential life times and phase type repair times［J］.European Journal of Operational Research，2006，169：202-225.

［15］董兵.具有指數(shù)分布、PH分布型修理兩部件系統(tǒng)的可靠性研究［D］.四川：電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，2007：4-6.

DONG Bing.Study of repairable system with two units based on exponential distribution and PH distribution［D］.Sichuan：University of Electronic Science and Technology of China，School of Mathematical Sciences，2007：4-6.

Analysis of parallel system reliability model withtwo unitsbased on Phase-type distribution

YIN Dong-liang，LI Fang，CHEN Tong
（Department of Management Science，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China）

In the modeling of system reliability，the lifetime and repair time of units are usually assumed to follow exponential distribution or other typical distributions.These models have many constraint conditions，and the applicability of models is not extensive.Therefore，Phase-type distribution was utilized to modeling，parallel repairable system consisting of two dissimilar units and a single repair facility in which the lifetime and repair time of units were assumed to obey different PH distributions was investigated.An analytic reliability model that was more appropriate to characterize the real situation was provided.Some important reliability features，such as the system stationary availability，mean time to first failure and stationary fault frequency，were obtained for certain.Finally，the validity and applicability of the model were verified by numerical applications.

parallel system；reliability；Phase-type distribution

F 253.4

A

1006-754X（2016）02-0130-06

10.3785/j.issn.1006-754X.2016.02.005

2015-09-29.本刊網(wǎng)址·在線期刊：http：//www.journals.zju.edu.cn/gcsjxb

國家自然科學(xué)基金資助項目（71501183）.

尹東亮（1992—），男，河南駐馬店人，碩士生，從事系統(tǒng)可靠性和艦船裝備綜合保障研究，E-mail：zeronavy@163. com.http：//orcid.org/0000-0002-8848-3582

黎放，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail：lifang600@126.com.