創(chuàng)意平板折疊桌的優(yōu)化設(shè)計(jì)

王二耀，陳培軍，王欣潔，衛(wèi)慧慧

（太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原　030024）

創(chuàng)意平板折疊桌的優(yōu)化設(shè)計(jì)

王二耀，陳培軍，王欣潔，衛(wèi)慧慧

（太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原030024）

創(chuàng)意平板折疊桌方便、簡單并且極大地節(jié)約了空間，越來越受到消費(fèi)者喜愛，因此對折疊桌的研究具有現(xiàn)實(shí)意義。文章利用相對位置不變的性質(zhì)描述了鋼筋質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡，將三維轉(zhuǎn)二維平面分析得到開槽長度，在此基礎(chǔ)上求出平板折疊桌的桌腿在伸展前后旋轉(zhuǎn)的角度。其次對桌腿和鋼筋質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行受力分析，最終以桌腿開槽長度最小，木板取材最少，折疊桌穩(wěn)固性最好為目標(biāo)函數(shù)約束優(yōu)化設(shè)計(jì)并用Matlab編程求解。

質(zhì)點(diǎn)；相對位置；穩(wěn)定性；優(yōu)化；Matlab

0　引 言

如今，伸展與折疊已經(jīng)成為家具設(shè)計(jì)行業(yè)一個(gè)最佳創(chuàng)意理念。折疊桌因其空間占用面積小、并且便于操作而深受消費(fèi)者的熱捧與喜愛。因此對于既能滿足基本生活需求又能節(jié)約空間的家居產(chǎn)品的探究就具有著現(xiàn)實(shí)性的重大意義。本文主要針對2014年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模B題中平板折疊桌進(jìn)行了最優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究處理分析。折疊桌的桌腿由若干長木條組成，對稱分為2組，各用鋼筋固定，并且沿桌腿有開槽以保證桌腿滑動的自由度。通過對開槽長度以及桌角邊緣線的動態(tài)變化進(jìn)行研究，在此基礎(chǔ)上考慮折疊桌穩(wěn)定性來約束優(yōu)化。本研究旨在為折疊桌的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供更為周全的優(yōu)化思路，在簡單的考慮取材少的優(yōu)化基礎(chǔ)上，要同時(shí)保證折疊桌的穩(wěn)定性和實(shí)用性。

1　模型準(zhǔn)備

1.1符號說明

在此，給出研究中需要用到的符號說明，具體如表1所示。

表1　符號說明Tab.1 Symbol description

1）假設(shè)鋼筋為理想的不可發(fā)生形變的剛體，同時(shí)忽略鋼筋的直徑大小及重力；

2）假設(shè)所有木條緊密排列，沒有間隙并且是光滑的；

3）折疊桌高度對稱且只考慮等分的木條數(shù)為偶數(shù)的情形；

4）假設(shè)折疊桌未變形前鋼筋位于凹槽的一端，展開后位于凹槽的另一端以保證桌子成型后的最佳穩(wěn)固性。

2　模型建立

2.1研究思路

對于折疊桌的最優(yōu)化設(shè)計(jì)，首先需要確定圓形折疊桌彎折處的木條鉸鏈的位置情況。如圖1所示，為了保證折疊后桌面呈現(xiàn)圓形，必須使鉸鏈彎折點(diǎn)分布在桌面圓周上，這樣就需要確定最外側(cè)的木條鉸鏈彎折點(diǎn)。找到那些相對位置不變的點(diǎn)的關(guān)系以及關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)之間的相對運(yùn)動軌跡，從而描述折疊桌的動態(tài)變化過程。該動態(tài)變化過程可如圖2所示。通過鋼筋質(zhì)點(diǎn)相對桌面彎折點(diǎn)的運(yùn)動軌跡、每根木條與鋼筋相交位置的運(yùn)動軌跡、每根木條在折疊過程中轉(zhuǎn)動的角度等方面的分析，建立折疊桌的動態(tài)變化模型，進(jìn)而求出開槽長度，以及做出對桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。關(guān)鍵在于對折疊桌的穩(wěn)定性進(jìn)行受力分析，并以此為基礎(chǔ)求出受力表達(dá)式。折疊獲得最優(yōu)化在于木條長度最短，開槽長度最小，承受力最大，因此將這3部分組合即可得到最優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)方程。

圖1　折疊桌成品展示Fig.1 Folding table display

圖2　折疊桌腳邊緣線動態(tài)變化Fig.2 Dynamic changes of folding table base edge lines

2.2折疊桌的開槽長度

在模型運(yùn)用中，選取調(diào)節(jié)系數(shù)z=2，本文視土地綜合承載力和區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展同等重要，給待定權(quán)重賦值為ξ=ζ=0.5。因此，根據(jù)式(2)～式(3)分別測算北京、天津、河北、京津冀城市群土地綜合承載力與區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展的協(xié)調(diào)度、整體效應(yīng)、耦合協(xié)調(diào)發(fā)展度(見表6)。

轉(zhuǎn)動過程的與鋼筋質(zhì)點(diǎn)G的相對位置示意如圖3所示。

圖3　相對位置示意圖Fig.3 A schematic view of the relative position

由此可得第i根木條相對于鋼筋的運(yùn)動軌跡即為開槽的長度，記為lSi， 則

將第i根木條轉(zhuǎn)動的角度記為θi，由圖3可得：

而在△OP1Pi中利用余弦定理

即可求出∠PiOP1，故可得：

2.3折疊桌取材長度

折疊桌的構(gòu)成材料主要是長木板，長木板在折疊桌成型后取材最小表示為折疊桌的桌腿長度最短。

在折疊桌的最優(yōu)化設(shè)計(jì)分析中，因?yàn)檎郫B桌的高度對稱，在此僅以長木條的一半以及平板的四分之一去研究問題，即：

其中，ri表示構(gòu)成桌面的第i根木條的一半；li表示第i根桌腿的長度。

2.4折疊桌穩(wěn)定性分析

結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性是指結(jié)構(gòu)在載荷作用下維持其平衡形式的能力。要使得折疊桌具有良好穩(wěn)定性，就必須分析折疊桌桌腿以及鋼筋質(zhì)點(diǎn)的受力關(guān)系。折疊桌折疊后，就可以直觀看到在所有的桌腿中處于最外側(cè)的4根桌腿承受著來自桌子和桌子上所放物品的重力之和G，而除此之外的桌腿承擔(dān)著沿桌腿方向的拉力并且通過力的傳遞最后還是由最外側(cè)的桌腿來承擔(dān)所有的重力。受力分析如圖4所示。

圖4　受力分析Fig.4 Mechanical analysis

2.5建立目標(biāo)函數(shù)

折疊桌的最優(yōu)化設(shè)計(jì)要使得長方形材料的取材長度最小、木條的開槽長度最小和桌子的穩(wěn)定性最好，即桌腿能夠承受的壓力最大，在此簡化為第1根桌腿承受的來自桌子及重物的壓力。綜合以上約束條件可以得到：

目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：

3　模型求解

編寫Matlab程序，設(shè)置值L=70，h=3，W=2.5，R= 40，r1=5，求出對于桌高70 cm，規(guī)格直徑80 cm的情形，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)平板長度至少為162 cm，即尺寸為162 cm、80 cm、3 cm的平板通過切割可以折疊成所需尺寸的圓桌。具體設(shè)計(jì)參數(shù)如下：以平板左下角長度方向?yàn)閤軸，寬度方向?yàn)閥軸建立坐標(biāo)系，則桌腿上4個(gè)鋼筋固定點(diǎn)的坐標(biāo)為（38，0），（38，80），（124，0），（124，80），每根桌腳長度、木條的開槽長度、桌腿旋轉(zhuǎn)角度如表2～表4所示。由于對稱性，這里只顯示一半的加工參數(shù)，其他值由此推算。

表2　桌腿的長度（單位：厘米）Tab.2 Length of legs（Units：cm）

表3　木條的開槽長度（單位：厘米）Tab.3 Slot length of wood（Units：cm）

4　結(jié)束語

本文在折疊桌最優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)中加入開槽長度以及穩(wěn)定性的分析，使得折疊桌的設(shè)計(jì)更趨于合理化，這一設(shè)計(jì)理論與實(shí)際相結(jié)合，通過MATLAB將該方案部署實(shí)施編程，后期只需要輸入已知參數(shù)智能程序就可以得到相應(yīng)設(shè)計(jì)參數(shù)。在家具設(shè)計(jì)行業(yè)將這一方案運(yùn)用實(shí)際，那么所設(shè)計(jì)的折疊桌就不僅僅滿足客戶任意設(shè)定的折疊桌高度和桌面形狀，而且仍可以具有優(yōu)質(zhì)的承重能力，也更加符合桌子該有的實(shí)用性。

［1］韓佳成，EMBRICQS R V.平板折疊邊桌［J］.設(shè)計(jì)，2012（8）：24.

［2］蘇金明，阮沈勇.MATLAB實(shí)用教程［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2005.

［3］劉金春.結(jié)構(gòu)力學(xué)［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2008.

［4］王沫然.MATLAB與科學(xué)計(jì)算［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2003.

［5］侍冰雪，朱家明，朱韶東，等.創(chuàng)意平板折疊桌優(yōu)化設(shè)計(jì)方案［J］.浙江科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，26（6）：429-435.

The optimization design of flat pembroke table of innovative idea

WANG Eryao，CHEN Peijun，WANG Xinjie，WEI Huihui
（College of Applied Science，Taiyuan University Of Science and Technology，Taiyuan 030024，China）

Flat pembroke table of innovative idea is simple and has saved space immensely，and it becomes more and more popular，therefore it has practical significance to the pembroke table research.The article makes use of the invariant character of relative location to describe the trajectory of reinforced bar particle.Revolution of 3-D to two-dimensional flat surface gets the slotting length，asking table angle border to count space coordinate out and then getting the table angle border line on the basis of equation changes.And table leg and reinforced bar particle are analysed by the force.Therefore，the paper proposes target function constraint optimization design in which centering on result stability，the length is minimal，and materials are drawn with slotting to be short most.Furthermore，the paper gives out the solution with Matlab.

particle；relative location；stability；maiorization；Matlab

TP312

A

2095-2163（2016）03-0068-04

2016-04-23

國家級UIT項(xiàng)目（G2015269）。

王二耀（1994-），女，本科生，主要研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)；陳培軍（1978-），男，博士，副教授，主要研究方向：圖像處理、組合優(yōu)化、智能計(jì)算；王欣潔（1981-），女，碩士，講師，主要研究方向：數(shù)值計(jì)算、最優(yōu)化方法；衛(wèi)慧慧（1994-），女，本科生，主要研究方向：信息與計(jì)算。