基于控制點(diǎn)插值的扭曲葉片頂端磨損曲面延拓算法

吳海東

（廣東輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院 汽車系，廣東 廣州　510300）

基于控制點(diǎn)插值的扭曲葉片頂端磨損曲面延拓算法

吳海東

（廣東輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院 汽車系，廣東 廣州510300）

針對(duì)扭曲葉片頂端磨損區(qū)域的曲面精密修復(fù)問題，提出一種扭曲葉片頂端磨損域曲面延拓算法。

扭曲葉片；曲面延拓；基函數(shù)極值參數(shù)化

1　問題描述

扭曲葉片的頂端部分容易斷裂或者磨損，文章針對(duì)扭曲葉片頂端磨損缺陷進(jìn)行分析。由于只需延拓葉片縱向葉高方向，為簡(jiǎn)化問題，故對(duì)于任一葉高縱向方向，可定義B樣條曲線：

其中，p為曲線次數(shù)，Ni，p（u）由節(jié)點(diǎn)矢量u∈［u0，L，up，up+1，L，un，un+1，L，un+p+1］所確定的B樣條曲線基函數(shù)，且u0=L up=0，un+1=L un+p+1=1；曲線控制點(diǎn)為；j為任意一條葉高縱向B樣條曲線，且j∈（0，1，2，Λ，m）。給定的控制點(diǎn)為扭曲葉片下端葉身部分的四層控制點(diǎn)，；未知控制點(diǎn)是需要延拓計(jì)算的葉片頂端磨損域的控制點(diǎn)，為

2　算法實(shí)現(xiàn)

（1）根據(jù)扭曲葉片的磨損程度確定延拓長(zhǎng)度L。當(dāng)頂端磨損時(shí)，考慮到扭曲葉片的制造精度要求高，將鄰近葉片頂端磨損域的葉片未磨損區(qū)域的縱向高度選取為3～5mm，并將延拓的縱向高度L暫定為1mm，為避免選取縱向距離過大引起的誤差。

（2）確定各縱向控制點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)矢量。為保證延拓精度，首先要保證縱向控制點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，在此基礎(chǔ)上通過哈德利——賈德方法計(jì)算各縱向控制點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)適量。考慮延拓距離情況下的各縱向節(jié)點(diǎn)矢量的節(jié)點(diǎn)值，其中u0=u1=u2=u3=0，u5=u6=u7=u8=1；而u4由控制點(diǎn)多邊形的弦長(zhǎng)lt（t=1，2，3）以及確定的延拓長(zhǎng)度L來計(jì)算，即：

（4）用m條縱向曲線Dj（j=0，1，Λ，m）分別擬合控制頂點(diǎn)Pj

i。曲線Dj（j=0，1，Λ，m）所采用的模型為包含4個(gè)控制頂點(diǎn)的B樣條曲線，次數(shù)為P=3，并記其中某一個(gè)曲線Dj（j=0，1，Λ，m）的基函數(shù)為，將計(jì)算得出的u=（j=0，1，2， Λ，m；i=0，1，2，3）作為控制頂點(diǎn)的參數(shù)值，列出線性方程組求解曲線Dj（j=0，1，Λ，m）的控制頂點(diǎn)，即：

（5）根據(jù)求得的曲線Dj（j=0，1，Λ，m）的控制點(diǎn)，可以得到式（1）所示的三次B樣條曲線中某一條曲線的參數(shù)方程。將扭曲葉片頂端未知控制點(diǎn)的極值參數(shù)值uj4代入式（1），即可求得曲線D（jj=0，1，Λ，m）的未知型值點(diǎn)，即要得到的扭曲葉片頂端的控制點(diǎn)。

3　實(shí)例驗(yàn)證

（1）按曲率半徑選取測(cè)量點(diǎn)延拓結(jié)果。為精確擬合葉片下端非磨損區(qū)域，在選取測(cè)量點(diǎn)時(shí)根據(jù)葉片截面線的曲率來進(jìn)行。測(cè)量點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為85、85、86、86。由此求得葉片葉身四層控制點(diǎn)如圖1所示。

圖1　葉身四層控制點(diǎn)（左）

圖2　葉片最上層延拓曲線（右）

圖3　延拓得到的頂端最上層控制點(diǎn)圖（左）

圖4　葉片頂端曲線局部放大圖（右）

圖5　扭曲葉片縱向B-spline曲線圖（左）

圖6　縱向B-spline曲線局部放大圖（右）

圖2中下方四條曲線為葉身四層控制點(diǎn)擬合得到的葉片截面曲線，最上層的紅色曲線是由延拓得到的葉片頂端控制點(diǎn)擬合得到。由圖4可以看到，圖3圈出來的部分出現(xiàn)了圖形線條交叉，其原因是因?yàn)檠油乜刂泣c(diǎn)由葉片葉身控制點(diǎn)決定的，這四層控制點(diǎn)是先將四層數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行分段和排序，滿足一一對(duì)應(yīng)條件后再進(jìn)行迭代，從而導(dǎo)致縱向B-spline曲線發(fā)生扭曲。如圖5所示為各縱向B-spline曲線，可以看到圖中圈出的部分縱向B-spline曲線延拓到頂端時(shí)發(fā)生了交叉（放大圖如圖6所示）。

（2）按等參數(shù)法重選取初始測(cè)量點(diǎn)延拓結(jié)果。由于按曲率選取數(shù)據(jù)點(diǎn)延拓得到的葉片頂端曲線會(huì)出現(xiàn)交叉，故在選取原始測(cè)量點(diǎn)時(shí)按等參數(shù)法選取。令各截面線的初始數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)相等均為150，得到的延拓結(jié)果如圖7所示。圖8中下方四條曲線為葉身四層控制點(diǎn)擬合得到的葉片截面曲線，上方的一條曲線是由延拓后得到的葉片頂端控制點(diǎn)擬合得到。由圖8、圖9和圖10可以看到，延拓得到的葉片頂端控制點(diǎn)擬合的B-spline曲線并沒有出現(xiàn)圖4中的交叉現(xiàn)象。

圖7　等參數(shù)選取測(cè)量點(diǎn)得到的葉片葉身控制點(diǎn)圖（左）

圖8　葉片頂端截面線圖（右）

圖9　葉片頂端截面線控制點(diǎn)圖（左）

圖10　控制點(diǎn)縱向延伸圖（右）

圖11　誤差分析結(jié)果圖（左）

圖12　葉片兩端誤差顯示放大效果圖（右）

為了更好地驗(yàn)證葉片延拓的效果，需要將延拓得到的曲線與原始葉片進(jìn)行誤差對(duì)比，但由于延拓得到的葉片頂端控制點(diǎn)并不是在同一個(gè)平面上，每個(gè)控制點(diǎn)的Z坐標(biāo)值都有細(xì)微的差別，故將所有的控制點(diǎn)都投影到了Z坐標(biāo)值為所有點(diǎn)Z坐標(biāo)值的平均值的平面上，在此平面上進(jìn)行B樣條曲線擬合的到一條新的葉片截面曲線，再將此截面曲線原始的葉片截面曲線進(jìn)行了誤差分析，誤差最大值為0.0994mm，主要集中在葉片的前緣和后緣。結(jié)果表明，最大誤差產(chǎn)生于葉片截面曲率變化較大的地方。

4　延拓結(jié)果分析

為進(jìn)一步分析算法的實(shí)用性，分別對(duì)不同類型的扭曲葉片進(jìn)行的延拓驗(yàn)證，其中包括直葉片、扭曲度大的扭曲葉片和扭曲度小的扭曲葉片。

首先，分別在這三種葉片鄰近葉片頂端磨損區(qū)域選取間距相等且都為1mm的四層原始數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證，延拓長(zhǎng)度均取為1mm，這樣得到的誤差結(jié)果如表1所示。

表1　不同類型葉片延拓誤差比較

對(duì)比實(shí)驗(yàn)中，對(duì)同一個(gè)扭曲葉片模型取同一組數(shù)據(jù)，但延拓長(zhǎng)度不同，其結(jié)果如表2（左）所示，延拓距離越大，誤差越大。對(duì)同一個(gè)扭曲葉片模型，分別取間距不同的原始截面線，相同的延拓距離進(jìn)行驗(yàn)證，得到的結(jié)果如表2（右）所示，原始截面線間距越大，延拓誤差越大。

表2　同一個(gè)扭曲葉片延拓和原始截面線誤差結(jié)果

由上述幾組對(duì)比數(shù)據(jù)的驗(yàn)證，可以得出如下結(jié)論：①由于葉片在使用過程產(chǎn)生扭曲變形，葉片一旦產(chǎn)生磨損，客觀上沒有可供對(duì)比的幾何模型，因此這類葉片的修復(fù)必須重新構(gòu)建其曲面模型，在葉片磨損域進(jìn)行激光熔覆或材料堆焊后，用于精密生成器數(shù)控加工路徑；②葉片的扭曲度越大，延拓誤差越大；③延拓距離越大，延拓誤差越大；④所選取的葉片頂端鄰近的未磨損域的截面線上測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)的間距越大，延拓誤差越大，甚至不能完成磨損域的曲面再生。⑤所選取的葉片未磨損域的截面線間的間距越大，延拓誤差越大。

5　結(jié)語

文章提出了一種基于控制點(diǎn)插值的扭曲葉片頂端磨損域曲面延拓再生算法，算法中利用扭曲葉片未磨損域的曲面模型，采用B樣條曲線基函數(shù)極值參數(shù)化方法再生葉片頂端磨損域的曲面模型。最后用三種扭曲葉片驗(yàn)證算法的可行性和有效性，并分析延拓誤差產(chǎn)生的原因。

［1］Yilmaz，O.，Noble D.，Gindy，N.，and Gao J.，2005，A Study of Turbomachinery Component Machining and Repairing Methodologies，International Journal Aircraft Engineering and Aerospace Technology 77/6：455-466.

［2］B，Stimper，and Munich，Using Laser Power Cladding to Build Up Worn Compressor Bladetips，http：//www.mtu.de/en/technologies/engineering_news/production/11766.pdf.

W ear Surface Continuation Algorithm Based on Control Point Interpolation of Tw isted Blade

WU Hai-dong
（Guangdong Light Industry Vocational and Technical College，Guangzhou，Guangdong 510300，China）

This paper puts forward wear surface continuation algorithm to solve the problem of precision fixation at twisted blade wear area at the top of the curved surface.

twisted turbine blade；curved surface extension；extremum parametrization of primary function

V232.4

A

2095-980X（2016）09-0034-02

2016-08-06

本文系國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（No.51175093）、廣東省重大科技項(xiàng)目（No.2010A080401003）和廣東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（No.2015A030310383）的資助。

吳海東（1969-），男，湖北蘄春人，博士，工程師，主要研究方向：復(fù)雜曲面修復(fù)。