非均勻圓環(huán)形薄膜的徑向格林函數(shù)計(jì)算

何　敏，王其申

(安慶師范大學(xué) 物理與電氣工程學(xué)院，安徽 安慶 246133)

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非均勻圓環(huán)形薄膜的徑向格林函數(shù)計(jì)算

何敏，王其申

(安慶師范大學(xué) 物理與電氣工程學(xué)院，安徽 安慶 246133)

格林函數(shù)在線性振動(dòng)的定性研究中有重要應(yīng)用，在質(zhì)量軸對(duì)稱分布的圓膜的格林函數(shù)基礎(chǔ)上，計(jì)算了質(zhì)量面密度是半徑的單值函數(shù)時(shí)的圓環(huán)形薄膜的徑向格林函數(shù)。

軸對(duì)稱；圓環(huán)形薄膜；徑向格林函數(shù)

1　膜的橫振動(dòng)方程和邊界條件

對(duì)于一般的二維彈性薄膜，其質(zhì)量面密度為ρ(x,y)，張力T視為常數(shù)，占有二維域Ω，并以?Ω為邊界，它作橫向微振動(dòng)時(shí)的模態(tài)方程為[3]T(uxx+uyy)+λρ(x,y)u(x,y)=0，(x,y)∈Ω

(1)式中u(x,y)是點(diǎn)(x,y)的位移振型函數(shù)，λ=ω2代表特征值，ω代表固有圓頻率，ρ(x,y)是Ω上的正值性函數(shù)。一般的邊界條件寫為

(2)

式中n是區(qū)域外法向單位矢量，h代表邊界處支承彈簧的剛度。若h→+∞，有u(x,y)=0，則膜的周邊是固定的；而h=0對(duì)應(yīng)膜的周邊是自由的。

(3)

hu(a,θ)=0,0≤θ≤2π

(4)式中，k,h是位于圓環(huán)形薄膜內(nèi)外邊界彈簧的彈性系數(shù)，k,h≥0；當(dāng)k(或h)為0時(shí)，圓環(huán)形薄膜的內(nèi)(外)邊界自由；當(dāng)k(或h)→+∞時(shí)，圓環(huán)形薄膜的內(nèi)(外)邊界固定。采用分離變數(shù)法[3]，u(r,θ)=R(r)Φ(θ)，有

(5)

Φ″(θ)+m2Φ(θ)=0

(6)

(6)式與均勻圓膜的同一方程的解完全相同[4]。(5)式已不是一般意義上的貝塞爾方程，但仍屬于斯圖膜—?jiǎng)⒕S爾型方程，由(4)式經(jīng)分離變量后的邊界條件為

TR′(b)-kR(b)=0,TR′(a)+hR(a)=0

(7)

2　質(zhì)量軸對(duì)稱分布的圓環(huán)形薄膜格林函數(shù)的推導(dǎo)

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)，圓環(huán)形薄膜的徑向格林函數(shù)G(r,s)滿足：

該公司是一家采用德國(guó)技術(shù)的外商獨(dú)資企業(yè)，主要從事真空鍍膜PVD設(shè)備和相關(guān)真空設(shè)備的制造和銷售，同時(shí)提供應(yīng)用于各種工業(yè)領(lǐng)域的硬質(zhì)涂層服務(wù)。星弧涂層制造具有國(guó)際領(lǐng)先水平的Jupiter系列、Dimant系列和Seeyu系列PVD涂層設(shè)備，并提供完整成熟的鍍膜工藝。此外，星弧涂層也可根據(jù)客戶的具體要求設(shè)計(jì)制造高品質(zhì)的真空鍍膜設(shè)備。

b≤r,s≤a

(8)

(10)(9)式為邊界條件， (10)式為銜接條件，式中s代表位于區(qū)間(b,a)內(nèi)的某個(gè)動(dòng)點(diǎn)。(10)式中的第1式表示在s點(diǎn)作用一個(gè)單位集中力。

以下用構(gòu)造法來(lái)得到同時(shí)滿足(8)～(10)式的格林函數(shù)。令

(11)

(10)式的第2個(gè)條件顯然是滿足的，而關(guān)于ψ(r), χ(r)的微分方程分別為

(12)

和

(13)

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單驗(yàn)證，函數(shù)ψ(r), χ(r)滿足關(guān)系式：

.

顯然有

(14)

和(10)式的第1式相比較，取C0=1/T。

說(shuō)明方程求解需要的歐拉方程的求解結(jié)果[5]如下：

(12)、(13)兩式中的方程屬于歐拉型方程

x2y″+xy′-m2y=0。

令x=et,D=d/dt，將原方程改寫為(D2-m2)y=0，它的特征方程為λ2-m2=0。

(1)當(dāng)m=0時(shí)，特征方程有相等實(shí)根λ1=λ2=0，則歐拉型方程的根為

y=C1+C2lnx。

(2)當(dāng)m≠0時(shí)，特征方程有相異實(shí)根λ1=m,λ2=-m，則歐拉型方程的根為

y=C3xm+C4x-m。

所以，當(dāng)m=0時(shí)，由(12)～(14)式，解得

(15)

當(dāng)m≠0時(shí)，由(12)～(14)式，解得

(16)

這里

(17)

(18)

討論若圓環(huán)形薄膜的邊界固定，即k→+∞,h→+∞時(shí)，則將上述兩式改寫，

(20)

3　結(jié)束語(yǔ)

以上計(jì)算了m=0和m≠0兩種情況下質(zhì)量軸對(duì)稱分布的圓環(huán)形薄膜的徑向格林函數(shù)，由于內(nèi)半徑及圓環(huán)形薄膜內(nèi)邊界彈簧彈性系數(shù)k的引入，得到的圓環(huán)形薄膜的徑向格林函數(shù)顯然比圓膜的徑向格林要復(fù)雜。這種質(zhì)量軸對(duì)稱分布的圓環(huán)形薄膜的徑向格林函數(shù)具有一定的理論價(jià)值。對(duì)于質(zhì)量任意分布的圓環(huán)形薄膜，即ρ=ρ(r,θ)，其格林函數(shù)的計(jì)算有相當(dāng)難度，本文沒(méi)有涉及，有待進(jìn)一步研究。

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Calculation of the Radial Green′s Functions of Inhomogeneous Annular Membrane

HE Min, WANG Qi-shen

(School of Physical & Electrical Engineering, Anqing Normal University, Anqing, Anhui 246133, China)

The Green′s function in the qualitative research of linear vibration has important applications. Based on the radial Green′s function of circular membrane with axial symmetry mass distribution, the radial Green's function of annular membrane is calculated when the mass surface density is the single valued function of radius.

axial symmetry; circular membrane; the radial Green′s function

2015-08-01

國(guó)家自然科學(xué)基金(10772001)和安徽高校省級(jí)自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2016A429)。

何敏，男，安徽巢湖人，碩士，安慶師范大學(xué)物理與電氣工程學(xué)院副教授，研究方向?yàn)檎駝?dòng)的定性性質(zhì)和反問(wèn)題。E-mail: hemm@aqnu.edu.cn

時(shí)間：2016-8-17 11:31

http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160817.1131.016.html

O32

A

1007-4260(2016)03-0055-02

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.03.016