線性齊次型上的周期作用

孫 廣 人

(安慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

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線性齊次型上的周期作用

孫 廣 人

(安慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

對于一個給定的整系數(shù)線性齊次型，考慮整數(shù)環(huán)上一般線性群中一個線性變換對該線性齊次型的系數(shù)的作用。特別地，由定義在數(shù)字半群上的線性齊次型的角度出發(fā)給出了一個充分條件，如果一般線性群中一個有限周期線性變換滿足該條件則存在一個與之共軛線性變換，使得該共軛線性變換生成的循環(huán)群作用于一個容許型后所得一族型都是容許型。此外，還給出了一般線性群中一個線性變換相對某個型是有限周期作用的充要條件。

型；周期作用；一般線性群；數(shù)字半群

令N是非負(fù)整數(shù)集合對通常整數(shù)加法形成的含幺半群，一個數(shù)字半群S是N的含幺子半群，并且它的余集G(S)∶=NS是有限集。

Arf半群是數(shù)字半群中較為著名的一種類型，它的定義為對于任意的s1≥s2≥s3∈S，s1+s2-s3∈S，即對于線性齊次多項式p=x1+x2-x3，以及任意的s1≥s2≥s3∈S，有p(s1,s2,s3)=s1+s2-s3∈S。在Arf半群的基礎(chǔ)上，Bras-Amorós等[1]引入了數(shù)字半群容許線性齊次型的概念：

(1) 存在數(shù)字半群容許p；

(2) N容許p；

文獻(xiàn)[2]進(jìn)一步引入了n次對稱群Sn的一個子集H對型中系數(shù)下標(biāo)的作用后所得型的集合：

數(shù)字半群S稱為容許pH當(dāng)且僅當(dāng)S容許每個pσ。pH稱為一族容許型，如果存在數(shù)字半群容許pH。特別地，把p的系數(shù)劃分為集合A∶={i∶ai≥0}及其余集B∶={j∶aj<0}，這里只考慮滿足條件σ(A)?A的某些置換σ組成的子群，給出在這些子群的作用下所得一切新pσ都是容許型的充要條件。

以下令e1,…,en為有理數(shù)域上n維向量空間V的一組固定標(biāo)準(zhǔn)正交基，并且令GL(n,Q)為全體滿足如下條件的線性變換：在e1,…,en下的矩陣為有理數(shù)矩陣并且行列式不等于0；GL(n,Z)為GL(n,Q)的子群，包含如下全體線性變換：它們在e1,…,en下的矩陣是整數(shù)矩陣，并且行列式等于±1。此時，對σ∈Sn可以定義線性變換：

pH∶={pA∶A∈H}，

數(shù)字半群S稱為容許pH當(dāng)且僅當(dāng)S容許每個pA。pH稱為一族容許型，如果存在數(shù)字半群容許pH。

引入線性變換帶來新的困難是很難保證在線性變換下非負(fù)的系數(shù)仍然映成非負(fù)系數(shù)，因此定理1中條件(3)一般較難判斷。因此，一個自然的想法是取定一個型p，然后適當(dāng)分類線性變換對它的作用。本文的工作是選擇一類A，使得對于循環(huán)群〈A〉，p〈A〉中型的系數(shù)周期變化。

1　容許型與有限周期的作用

由于對稱群Sn中每個元的周期有限，因此任意置換σ生成循環(huán)群〈σ〉作用于型p后所得型的集合p〈σ〉中型的系數(shù)呈現(xiàn)周期變化，故相對容易判斷p〈σ〉中型是否為容許型。對于GL(n,Z)中一個線性變換A，下面說明在某些條件下，雖然p〈A〉可能不是容許的，但是可以在GL(n,Z)中找到一個與A在GL(n,Q)共軛的線性變換B，使得p〈B〉是容許的。

引理1令A(yù)是GL(n,Z)中一個線性變換，其特征多項式為xn-1，則A有分量都是有理數(shù)的循環(huán)向量α，即α,Aα,…,An-1α是V的一組基。

證明顯然xn-1沒有重根，但A的極小多項式在復(fù)數(shù)域中根除重數(shù)外與特征多項式的根一樣[3]，故xn-1就是A的極小多項式，A在有理數(shù)域上有循環(huán)向量α=(a1,…,an)T。

例1取任意奇素數(shù)l，ζl是復(fù)數(shù)域上l次本原單位根。熟知擴(kuò)域Q(ζl)/Q是l-1次循環(huán)擴(kuò)域。取Galois群Gal[Q(ζl)/Q]的生成元σ，顯然把Q(ζl)看成Q上l-1維線性空間，σ作為Q(ζl)的線性變換，ζl是一個循環(huán)向量。

命題1令A(yù)是GL(n,Z)中一個線性變換，V可以分解為A-不變子空間的直和：

V=W1⊕…⊕Wm，

假設(shè)A限制于每個Wi上后的線性變換AWi特征多項式為xki-1，其中ki=dimWi，則

(1)A的周期為k1,…,km的最小公倍數(shù)；

由引理1，設(shè)αi是Wi的循環(huán)向量，則

是V的一組基，設(shè)A在該組基下的矩陣為C，由于它的每個元素非0即1，故C(t1,…,tn)T是非負(fù)向量。因此令B在e1,…,en下的矩陣是B=L-1CL，注意到L,C是行列式等于±1整數(shù)矩陣，A是有限周期的，可知p〈B〉是容許的，因此(2)成立。

推論1對于任意的σ∈Sn都在GL(n,Z)中存在一個與σ在GL(n,Q)共軛的線性變換B，使得p〈B〉是容許的。

證明σ是恒等置換(1)時結(jié)論平凡。假設(shè)σ≠(1)，分解為m個不相交的輪換之積：

σ=(i1,1,…,i1,k1)…(im,1,…,im,km)。

令Wj是向量eij,1,…,eij,kj張成的子空間，則σ限制于每個Wj上后的線性變換為周期kj的輪換，特征多項式xkj-1，其中kj=dimWj。因此由命題1知結(jié)論成立。

2　范和相對型的有限周期作用

如果A是GL(n,Z)中一個線性變換，但不是有限周期的，仍然有可能存在非零向量α使得向量序列…,A-1α,α,Aα,A2α,…呈現(xiàn)有限周期變化，因此本節(jié)不再限制A是有限周期的線性變換。

定義3任意m×n復(fù)數(shù)矩陣A=(aij)的范‖A‖定義為一切模|aij|中的最大值。

定義4令線性變換A∈GL(n,Q)在e1,…,en下的矩陣為A，稱A為一個有界線性變換，如果循環(huán)群〈A〉中矩陣的范有界。令非零向量α在e1,…,en下的坐標(biāo)矩陣為(a1,…,an)T，稱A為一個相對α的有界線性變換當(dāng)且僅當(dāng)循環(huán)群〈A〉作用在α上所得向量序列

…,A-1α,α,Aα,A2α,…

的范有界。

注1顯然上述定義與基的選取無關(guān)。

注2以下記特征值等于λ的n階Jordan塊矩陣為Jn(λ)=(aij)，即對于所有1≤i≤n，aii=λ，而1≤i≤n-1，aii+1=1，其他aij=0。

因此線性變換J無界。但是取向量α滿足在e1,…,en下的坐標(biāo)矩陣是(1,0,…,0)T，顯然α是J的特征向量，J僅有特征值1，因此J是相對α的有界線性變換。

定義5線性變換A∈GL(n,Q)稱為相對非零向量α為有限周期的，如果A限制在α生成的A-循環(huán)子空間上的線性變換Aα是有限周期的。

很明顯的有

引理2如果線性變換A∈GL(n,Q)相對非零向量α為有限周期的，則A是一個相對α的有界線性變換。

命題2令A(yù)是GL(n,Z)中一個線性變換，在e1,…,en下的矩陣是A，非零向量α在e1,…,en下的坐標(biāo)矩陣是整數(shù)矩陣(a1,…,an)T，則A為相對非零向量α為有限周期的當(dāng)且僅當(dāng)α存在分解

α=∑αλ，

其中αλ為A的復(fù)特征值λ的復(fù)特征向量，且λ是單位根。

證明充分性顯然，因此只需證明必要性。假設(shè)f1,…,fn是A的Jordan基，即A在該組基下的矩陣是Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：

diag=[Jk1(λ1),…,Jkm(λm)]

其中λi是A的第i個特征值，ki是Jordan塊矩陣Jki(λi)的階，當(dāng)A限制在以fi,1,…,fi,ki為基的子空間Wi上的矩陣表示為Jki(λi)。

(1)

(2)

注3|λ|=1且λ是代數(shù)整數(shù)一般不蘊(yùn)含λ是單位根[4]。

證明由引理2，只需證明充分性。由命題2，αλi≠0必然有|λi|=1，而由已知條件知其所有共軛|σ(λi)|=1，因此由代數(shù)數(shù)論的知識知λi是單位根，故由命題2即得。

3　問題與發(fā)展

本文只是初步探討了p〈A〉中型的系數(shù)周期變化的問題。結(jié)合命題1及推論1容易得知前面討論的線性變換都共軛于Sn中某個置換。在第2部分中雖然給出了型系數(shù)在循環(huán)群〈A〉作用下周期變化的條件，但是如果p是容許型，本文沒有給出相對有限周期的線性變換滿足什么條件時能夠確保p〈A〉中的型都是容許型。因此，引入更多工具來深入的探討這些問題是值得期待的。

[1]Bras-AmorósM,García-SánchezPA.Patternsonnumericalsemigroups[J].LinearAlgebraAppl, 2006, 414(2/3): 652-669.

[2] 孫廣人. 二分系數(shù)作用下的線性齊次型[J]. 安慶師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014, 20(3): 7-9.

[3]HoffmanK,KunzeR.LinearAlgebra(影印版)[M]. 北京: 世界圖書出版公司, 2008: 160-173.

[4]MacCluerCR,ParryCJ.Unitsofmodulus1[J].JNumberTheory, 1975, 7 (4): 371-375.

Periodic Acts on a Linear Homogeneous Pattern

SUN Guang-ren

(Department of Mathematics, Anqing Normal University, Anqing, Anhui 246133，China)

For a linear homogeneous pattern, linear transformations in the general group over integers act on its coefficients are considered. From the view of patterns on numerical semigroups, a sufficient condition is given: under the condition, an element of finite period in the general group has a conjugation, such that the resulted patterns remain admissible by the conjugation generated cyclic subgroup acting on an admissible pattern. Moreover, an equivalent condition for an element in the general group that is finitely periodic relative to a pattern is obtained.

pattern; periodic act; general linear group; numerical semigroup

2016-02-28

孫廣人，男，河北唐山人，博士，安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院副教授，研究方向為代數(shù)編碼。E-mail: 34900959@qq.com

時間：2016-8-17 11:31

http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160817.1131.005.html

G47

A

1007-4260(2016)03-0015-03

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.03.005