帶有非線(xiàn)性免疫率的 SIRS 計(jì)算機(jī)病毒傳播模型

昂蓉蓉， 葉　雷

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241002)

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帶有非線(xiàn)性免疫率的 SIRS 計(jì)算機(jī)病毒傳播模型

昂蓉蓉， 葉雷

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241002)

本文提出了一類(lèi)帶有非線(xiàn)性免疫率的 SIRS 計(jì)算機(jī)病毒傳播模型，考慮部分易感染類(lèi)節(jié)點(diǎn)，在未被感染的情況下，被新免疫直接免疫后成為免疫狀態(tài)類(lèi)節(jié)點(diǎn)；同時(shí)也考慮部分被免疫后的免疫類(lèi)節(jié)點(diǎn)，在喪失免疫力后又成為易感染類(lèi)節(jié)點(diǎn)。通過(guò)計(jì)算定義了模型的基本再生數(shù)R0，利用LaSalle 不變集原理，構(gòu)造合適的 Lyapunov 函數(shù)，分析計(jì)算機(jī)病毒在傳播過(guò)程中的無(wú)病毒平衡點(diǎn)和病毒存在平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，該結(jié)果推廣了已有文獻(xiàn)的結(jié)論。

計(jì)算機(jī)病毒；全局穩(wěn)定；Lyapunov 函數(shù)；數(shù)值模擬

計(jì)算機(jī)病毒通常是一類(lèi)具有傳染性的惡意計(jì)算機(jī)代碼，它是現(xiàn)今網(wǎng)絡(luò)犯罪中最重要的手段之一。它們是Internet上具有最強(qiáng)破壞性的武器，有可能導(dǎo)致軍事、經(jīng)濟(jì)、科技、商業(yè)等面臨巨大的災(zāi)難，嚴(yán)重影響人們的日常生活[1]。常見(jiàn)的計(jì)算機(jī)病毒有：病毒[2]、蠕蟲(chóng)[3]、特洛伊木馬[4]、邏輯炸彈等等。目前，人們主要運(yùn)用微觀(guān)模型和宏觀(guān)模型來(lái)研究計(jì)算機(jī)病毒的傳播特性。微觀(guān)模型是從病毒自身出發(fā)建立識(shí)別病毒的模型，它主要用于研發(fā)反病毒軟件[5]；宏觀(guān)模型是由 Kephart 等人首次提出[6]，其思想是借助于生物傳染病的倉(cāng)室模型，建立計(jì)算機(jī)病毒的傳播倉(cāng)室模型，研究各倉(cāng)室內(nèi)病毒的數(shù)量隨著時(shí)間的變化規(guī)律[7]，通過(guò)預(yù)測(cè)病毒的演化趨勢(shì)，從而找到能夠有效控制病毒在網(wǎng)絡(luò)上的傳播方法[8]。目前國(guó)內(nèi)外有大量的文獻(xiàn)對(duì)計(jì)算機(jī)病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播過(guò)程進(jìn)行研究分析[9-12]，其中Gan[12]提出了一個(gè)如下的SIRS模型：

(1)

本文在此基礎(chǔ)上，從宏觀(guān)角度對(duì)計(jì)算機(jī)病毒的傳播進(jìn)行研究，提出一種更好的帶有非線(xiàn)性免疫概率的SIRS計(jì)算機(jī)病毒傳播模型。

1　模型的建立

網(wǎng)絡(luò)可以用若干節(jié)點(diǎn)和邊來(lái)表示，即網(wǎng)絡(luò)可以看成是由節(jié)點(diǎn)和邊相互連接構(gòu)成的圖。網(wǎng)絡(luò)中一臺(tái)服務(wù)器或PC機(jī)可以抽象成節(jié)點(diǎn)，邊則表示兩臺(tái)設(shè)備之間的物理連接。某一時(shí)刻，網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)可能處于以下3種狀態(tài)之一[13-15]：

(1) 易感染狀態(tài) S(Susceptible)：指t時(shí)刻尚未被感染但具有被感染風(fēng)險(xiǎn)的節(jié)點(diǎn)，記為S(t)；

(2) 感染狀態(tài) I(Infected)：指t時(shí)刻已感染病毒的節(jié)點(diǎn)，且具有感染可能處于S狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)，記為I(t)；

(3) 免疫狀態(tài) R(Removed)：指t時(shí)刻對(duì)病毒具有免疫功能的節(jié)點(diǎn)，記為R(t)。

在(1)式中，由于計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)處于動(dòng)態(tài)變化之中，應(yīng)考慮系統(tǒng)存在常數(shù)輸入率b，將輸入節(jié)點(diǎn)分為易感染狀態(tài)類(lèi)S和免疫狀態(tài)類(lèi) R, 0

根據(jù)以上所述，在模型(1)的基礎(chǔ)上，建立如下非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)演化方程組：

(2)

以N=N(t)表示t時(shí)刻此網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的總數(shù)量，則N(t)=S(t)+I(t)+R(t)。由系統(tǒng)(2)知N′(t)=b-μ1S-μ2I-μ3R。令μ=min{μ1,μ2,μ3}，則N′(t)≤b-μN(yùn)，因此

2　平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

令S′(t)=I′(t)=R′(t)=0，很明顯存在無(wú)病平衡點(diǎn)P0(S0,I0,R0)，其中

顯然當(dāng)R0≤1時(shí)，系統(tǒng)(2)在Ω內(nèi)僅有唯一無(wú)病毒平衡點(diǎn)P0(S0,I0,R0)；

當(dāng)R0>1時(shí)，聯(lián)立

將3個(gè)等式相加得

b-μ1S-μ2I-μ3R=0

(3)

由第2個(gè)等式可得

(4)

由第3個(gè)等式可得

(5)

將(4)式，(5)式代入(3)式可得

所以存在I*>0使得g(I*)=0。又因?yàn)間(I)是一個(gè)單調(diào)遞減的函數(shù)，則零點(diǎn)唯一。系統(tǒng)(2)在Ω內(nèi)除了存在無(wú)病毒平衡點(diǎn)P0以外，還有病毒存在唯一的有病平衡點(diǎn)P1(S*,I*,R*)。

定理1當(dāng)R0≤1時(shí)，無(wú)病毒平衡點(diǎn)P0在Ω內(nèi)全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

V1=|S-S0|+|I-I0|+|R-R0|，

α2R-μ1S-[(1-p)b-α1S0+α2R0-μ1S0]}+

sgn(R-R0){[(pb+γ1I+α1f(I)S-μ3R-α2R]-

(pb+α1S0-μ3R0-α2R0)}，

-μ(|S-S0|+|I-I0|+|R-R0|)=-μV1，其中μ=min{μ1,μ2,μ3}。對(duì)上式兩邊從t0到t進(jìn)行積分，可得

由可行域Ω知，S,I,R有界，則它們的導(dǎo)數(shù)也有界，從而V1一致有界。故由LaSalle不變集原理可知，當(dāng)R0≤1時(shí)，無(wú)病毒平衡點(diǎn)P0全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

定理2當(dāng)R0>1時(shí)，病毒存在有病平衡點(diǎn)P1在Ω內(nèi)全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

V2=|S-S*|+|I-I*|+|R-R*|，

α2R-μ1S-[(1-p)b-α1f(I*)S*+

sgn(R-R*){[pb+γ1I+α1f(I)S-μ3R-α2R]-

[pb+γ1I*+α1f(I*)S*-μ3R*-α2R*]}，

-μ(|S-S*|+|I-I*|+|R-R*|)=-μV2，其中μ=min{μ1,μ2,μ3}。對(duì)上式兩邊從t0到t進(jìn)行積分，可得

3　模擬仿真

為了驗(yàn)證理論分析的正確性，觀(guān)察R0≤1和R0>1時(shí)，病毒在網(wǎng)絡(luò)中流行的不同情況：

(1)取b=10，β=0.2，α1=0.8，α2=0.2，p=0.9，γ1=γ2=0.2，μ1=0.8，μ2=0.2，μ3=0.5，此時(shí)，R0=0.52≤1，模擬結(jié)果如圖1所示。

圖1　無(wú)病平衡點(diǎn)示意圖

(2)取b=10，β=0.2，α1=0.2，α2=0.5，p=0.5，γ1=γ2=0.2，μ1=0.3，μ2=0.2，μ3=0.5，此時(shí)，R0=2.9>1，模擬結(jié)果如圖2所示。

圖2　有病平衡點(diǎn)示意圖

圖1表明，當(dāng)R0≤1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中的病毒數(shù)會(huì)得到有效控制；圖2表明，當(dāng)R0>1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中的病毒不會(huì)被滅絕。

4　結(jié)束語(yǔ)

本文建立了一個(gè)帶有非線(xiàn)性免疫概率的SIRS計(jì)算機(jī)病毒傳播模型，在節(jié)點(diǎn)進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)時(shí)，提出了預(yù)先免疫的措施，通過(guò)分析模型的動(dòng)力學(xué)行為，發(fā)現(xiàn)模型中病毒的傳播主要依賴(lài)于病毒傳播的基本再生數(shù)R0。當(dāng)R0≤1時(shí)，可以使網(wǎng)絡(luò)獲得全局穩(wěn)定性，并能最終消除病毒；當(dāng)R0>1時(shí)，處于感染狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)會(huì)越來(lái)越多，最終病毒將一直存在，成為地方病。

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Propagation Model of SIRS Computer Virus with Non-Linear Vaccination Probability

ANG Rong-rong，YE Lei

(School of Mathematics and Computation Science, Anhui Normal University, Wuhu, Anhui 241002, China)

A propagation model of SIRS computer virus with non-linear vaccination probability is presented. The model takes into account that, in the case of non-infected, some of the susceptible nodes are becoming immune status category nodes directly after the new immunization. In addition, the model also includes the immune nodes which become lost immunity susceptible nodes again. The article draws the conclusion by ways of using the LaSalle invariance principle, constructing Lyapunov function, analyzing the global stabilities of the virus-free equilibrium and the virus equilibrium.

computer virus; global stability; Lyapunov function; simulation analysis

2015-05-26

安徽省高校優(yōu)秀青年人才基金重點(diǎn)項(xiàng)目(2011SQRL022ZD)。

昂蓉蓉，女，安徽合肥人，安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算科學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)槲⒎址匠汤碚摷皯?yīng)用。E-mail: 184850233@qq.com

時(shí)間：2016-8-17 11:31

http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160817.1131.004.html

O175.1；Q141

A

1007-4260(2016)03-0011-04

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.03.004