一類擬變分不等式與Wiener-Hopf方程的等價(jià)性及其算法研究

孫 　 杰

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210003)

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一類擬變分不等式與Wiener-Hopf方程的等價(jià)性及其算法研究

孫 杰

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210003)

在Hilbert空間中研究一類擬變分不等式與Wiener-Hopf方程的等價(jià)關(guān)系，利用等價(jià)關(guān)系構(gòu)建求解這類擬變分不等式的投影迭代算法，并對(duì)其收斂性進(jìn)行分析。

擬變分不等式；Wiener-Hopf方程；算法

設(shè)H是Hilbert空間，其內(nèi)積和范數(shù)分別用〈·,·〉，‖·‖表示。擬變分不等式問(wèn)題QVIP(T,K)最早是由Benousan和Lions[1]介紹的，研究問(wèn)題為找一點(diǎn)u∈H，使得〈T(u),v-u〉≥0,?v∈K(u)，其中T∶H→H是一映射，K∶H→2H是集值映射，且對(duì)?u∈H，K(u)是閉凸集。

本文考慮的擬變分不等式問(wèn)題為找一點(diǎn)u∈H，使得g(u)∈K(u)，且

〈T(u),v-g(u)〉≥0,?v∈K(u)

(1)

其中T,g∶H→H是連續(xù)映射，K∶H→2H是集值映射，且對(duì)任意的u∈H，K(u)是閉凸集。上述擬變分不等式問(wèn)題記為QVIP(T,g,K)。這類擬變分不等式問(wèn)題由Aussel在2013年提出并研究，可以看作經(jīng)典擬變分不等式的一個(gè)推廣。Aussel[2]在Rn空間中假設(shè)QVIP(T,g,K)有解的情況下給出了解的誤差界，并未涉及解的存在性與算法研究。郭小亞等[3]在Rn空間中討論了QVIP(T,g,K)解的存在性與算法，并將其運(yùn)用到交通問(wèn)題中。本文主要是在Hilbert空間中研究QVIP(T,g,K)與Wiener-Hopf方程的等價(jià)關(guān)系，利用等價(jià)關(guān)系構(gòu)建求解這類擬變分不等式的解的迭代算法，并對(duì)算法的收斂性進(jìn)行分析。

下面先介紹一些概念、引理知識(shí)等。

定義1映射T∶H→H是Lipschitz連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)β>0，使得

‖T(u)-T(v)‖≤β‖u-v‖，?u,v∈H。

定義2映射T∶H→H是α-強(qiáng)單調(diào)的當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)α>0，使得

〈T(u)-T(v),u-v〉≥α‖u-v‖2,?u,v∈H。

定義3映射T在H上關(guān)于g是η-強(qiáng)單調(diào)的當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)η>0，使得

〈T(u)-T(v),g(u)-g(v)〉≥η‖u-v‖2,?u,v∈H。

定義4記PK(u)為空間H到K(u)的投影，且令QK(u)=I-PK(u)，其中I為恒等映射，如果g-1存在，求z∈H使得

Tg-1PK(u)z+ρ-1QK(u)z=0

(2)

稱形如(2)式的這類方程為Wiener-Hopf方程。

引理1設(shè)K(u)是H中的一個(gè)閉凸集，對(duì)于給定z∈H,u∈K(u)，不等式〈u-z,v-u〉≥0,?v∈k(u)成立當(dāng)且僅當(dāng)u=PK(u)z。

注1這里的投影算子PK(u)是非擴(kuò)張的，即‖PK(u)x-PK(u)y‖≤‖x-y‖,?x,y∈H。

假設(shè)1[4]對(duì)于任意給定的u,v,w∈H，投影算子PK(u)滿足‖PK(u)w-PK(v)w‖≤γ‖u-v‖,這里的γ>0是一個(gè)正常數(shù)。

下面給出Wiener-Hopf方程與QVIP(T,g,K)的等價(jià)性及其算法。

定理1若u∈H,g(u)∈K(u)是QVIP(T,g,K)的解當(dāng)且僅當(dāng)Wiener-Hopf方程存在解z∈H，

z=g(u)-ρT(u)

g(u)=PK(u)z

(3)

其中PK(u)為空間H到閉凸集PK(u)的投影，且常數(shù)ρ>0。

注2這里假設(shè)映射g可逆，g-1為g的逆映射。

證明令u∈H，使得g(u)∈K(u)為擬變分不等式(1)的解。由引理1可得

g(u)=PK(u)[g(u)-ρT(u)]，

QK(u)[g(u)-ρT(u)]=g(u)-ρT(u)-PK(u)[g(u)-ρT(u)]=-ρT(u)=

-ρTg-1PK(u)[g(u)-ρT(u)]，

若z=g(u)-ρT(u)，則可得Tg-1PK(u)z+ρ-1QK(u)z=0。

相反，令z∈H為Wiener-Hopf方程(2)的解，則

ρTg-1PK(u)z=-QK(u)z=

-[I-PK(u)]z=PK(u)z-z

DWD無(wú)線隨鉆測(cè)量?jī)x器由地面部分、井下部分及輔助工具、設(shè)備組成，其工作原理是利用儀器內(nèi)的渦輪發(fā)電機(jī)將部分鉆井液的能量轉(zhuǎn)化成電能為探管供電，同時(shí)鉆井液脈沖發(fā)生器將探管探測(cè)到的數(shù)據(jù)通過(guò)鉆井液傳遞到地面，地面上采用鉆井液壓力傳感器檢測(cè)來(lái)自井下儀器的鉆井液脈沖信息，并傳輸?shù)降孛娼獯a箱進(jìn)行處理，最終井下儀器所測(cè)量的井斜角、方位角和工具面數(shù)據(jù)等信息可以顯示在計(jì)算機(jī)或DDU司鉆閱讀器上。

(4)由(4)式和引理1可得0≤〈PK(u)z-z，v-PK(u)z〉=〈ρTg-1PK(u)z,v-PK(u)z〉，從而可得〈Tg-1PK(u)z,v-PK(u)z〉≥0,?v∈K(u)成立。因此g(u)=PK(u)z為擬變分不等式(1)的解，并且由(4)式可以得到z=g(u)-ρT(u)。

通過(guò)上面的證明，得到求解QVIP(T,g,K)與求解Wiener-Hopf方程是等價(jià)的，因此對(duì)Wiener-Hopf方程進(jìn)行變形，可以得到幾個(gè)求解QVIP(T,g,K)的迭代算法。

(a)記(2)式中的Wiener-Hopf方程移項(xiàng)變形為QK(u)z=-ρTg-1PK(u)z，將 (3) 式及QK(u)=I-PK(u)代入上式，可到z=PK(u)-ρTg-1PK(u)z=g(u)-ρT(u)，由此可得迭代算法1。

算法1對(duì)已知的z0∈H，由如下迭代式計(jì)算zn+1，

(5)

(b)記(2)式中的Wiener-Hopf方程移項(xiàng)變形為Tg-1PK(u)z=-ρ-1QK(u)z，兩端同時(shí)加上QK(u)z得QK(u)z+Tg-1PK(u)z=-ρ-1QK(u)z+QK(u)z。又由QK(u)=I-PK(u)得，

z-PK(u)z+ρTg-1PK(u)z=(1-ρ-1)QK(u)z，

即z=PK(u)z-ρTg-1PK(u)z+(1-ρ-1)QK(u)z=

u-ρT(u)+(1-ρ-1)QK(u)z，結(jié)合(3)式得算法2。

算法2對(duì)已知的z0∈H，由如下迭代式計(jì)算zn+1，

(c)如果T是一個(gè)線性可逆映射，則Wiener-Hopf方程(2)式由關(guān)系式QK(u)=I-PK(u)可得Tg-1z[I-QK(u)]z+ρ-1=0，對(duì)該式進(jìn)行整理：

Tg-1z-Tg-1QK(u)z+ρ-1QK(u)z=0,

Tg-1z=(Tg-1+ρ-1)QK(u)z,

T(z)=(T+ρ-1g)QK(u)z,

最終得到

z=(I-ρ-1gT-1)QK(u)z。

算法3對(duì)已知的z0∈H，由如下迭代式計(jì)算zn+1，

zn+1=(I-ρ-1gT-1)QK(un)zn，ρ>0。

注3若K(u)=K，則算法1、算法2、算法3退化為廣義變分不等式投影迭代算法(收斂性證明參見文獻(xiàn)[5])

若g=I，則算法1、算法2、算法3退化為經(jīng)典擬變分不等式的投影迭代算法。(收斂性證明參見文獻(xiàn)[6-7])

以下將在一定條件下證明算法1的收斂性，同理可證算法2、算法3的收斂性。

定理2T∶H→H關(guān)于g是η-強(qiáng)單調(diào)且是β-Lipschitz連續(xù)的，g∶H→H可逆且是σ-強(qiáng)單調(diào)和δ-Lipschitz連續(xù)的，若假設(shè)1成立并且存在一個(gè)常數(shù)ρ>0使得

(6)

證明令u∈K(u)是擬變分不等式(1)的解，那么由定理1得到

(7)

因此結(jié)合(5) 式得‖zn+1-z‖≤(1-αn)‖zn-z‖+αn‖g(un)-g(u)-ρ[T(un)-T(u)]‖。

由T在H上關(guān)于g是η-強(qiáng)單調(diào)的且是β-Lipschitz連續(xù)的，g是δ-Lipschitz連續(xù)的，得到

‖g(u1)-g(u2)-ρ[T(u1)-T(u2)]‖2≤

‖g(u1)-g(u2)‖2+ρ2‖T(u1)-T(u2)‖2-

2ρ〈T(u1)-T(u2),g(u1)-g(u2)〉≤δ2‖u1-u2‖2+ρ2β2‖u1-u2‖2-2ρη‖u1-u2‖2=(δ2+ρ2β2-2ρη)‖u1-u2‖2，

由(5)式，(7)式及假設(shè)1，同時(shí)g是σ-強(qiáng)單調(diào)和δ-Lipschitz連續(xù)的，可得‖un-u‖≤‖un-u-[g(un)-g(u)]‖+

‖PK(un)zn-PK(u)z‖≤‖un-u-[g(un)-g(u)]‖+

‖PK(un)zn-PK(un)z‖+‖PK(un)z-PK(u)z‖≤

θ1<1，因此 ‖zn+1-z‖≤(1-αn)‖zn-z‖+αnθ1‖zn-z‖≤

[1-(1-θ1)αn]‖zn-z‖≤

因此{(lán)zn}強(qiáng)收斂于z。

[1] Bensousan A, Lions J. Applications Des Inequations Variationelles En Controle Stochastique[M]. Paris:Dunod, 1978.

[2] Aussel D, Gupta R, Mehra A. Gap funtions and error bounds for inverse quasi-variational inequalities problems[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2013, 407(2): 734-748.

[3] Guo Xiaoya, Zhang Congjun. Some reaearch on the quasi-variational inequality and its application in traffic[J]. Mathematica Applicata, 2015, 28(4): 743-752.

[4] Noor M A. On general quasi-variational inequalities [J]. Journal of King Saud University-Science, 2012, 24(1): 81-88.

[5] Noor M A. Differentiable nonconvex functions and general variational inequalities [J]. Applied Mathematics and Computation, 2008, 199(2): 623-630.

[6] Noor M A. Some recent advances in variational inequalities[J]. New Zeal J Math,1997, 26(1): 53-80.

[7] Noor M A. Generalized multivalued quasi-variational inequalities[J]. Computers and Mathematics with Applications, 1996, 31(12): 1-13.

Some Research of the Equivalence with Wiener-Hopf Equations and the Algorithm on a Class of Quasi-variational Inequality

SUN Jie

(School of Applied Mathematics, Nanjing University of Finance & Economics, Nanjing, Jiangsu 210003, China)

In this paper, we establish the equivalence between a class of the Quasi-variational inequality and the Wiener-Hopf equations in Hilbert space. Then we use the equivalence to construct the algorithms for this Quasi-variational inequality, and give convergence analysis.

Quasi-variational inequality; Wiener-Hopf equations; algorithms

2015-12-30

孫杰，男，江蘇淮安人，南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)榉蔷€性分析與經(jīng)濟(jì)應(yīng)用。E-mail：304978554@qq.com

時(shí)間：2016-8-17 11:31

http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160817.1131.003.html

O178

A

1007-4260(2016)03-0008-03

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.03.003