矩陣跡的Young不等式和反向Young不等式的應(yīng)用

周 其 生

(安慶師范大學 數(shù)學與計算科學學院，安徽 安慶 246133)

?

矩陣跡的Young不等式和反向Young不等式的應(yīng)用

周 其 生

(安慶師范大學 數(shù)學與計算科學學院，安徽 安慶 246133)

運用矩陣跡的Young不等式和Lieb-Thirring不等式給出一個矩陣跡的反向Young不等式，然后利用矩陣跡的Young不等式和反向Young不等式得到若干矩陣跡的不等式，所得結(jié)果推廣了文獻[7]的結(jié)果。

矩陣；跡；不等式

通常的Young不等式：

(1)

(2)Ando[1]將(1)式推廣為n階復矩陣對A,B特征值的不等式：

j=1,2,…,n

特別地，有矩陣跡的Young不等式

(4)

等號當且僅當|A|p=|B|q時成立，記號trA表示矩陣A的跡。

當A,B為n階半正定Hermite矩陣時，有

(5)

等號成立當且僅當Ap=Bq。

(5)式可等價地寫成

tr(AvB1-v)≤vtr(A)+(1-v)tr(B),v∈(0,1)

(6)

最近，Manjegani和Norouzi[2]給出矩陣形式的反向Young不等式：設(shè)A,B為n階非奇異復矩陣，v∈(1,∞)，則存在酉矩陣U使得

(7)

(7)式中的酉矩陣U一般是必要的，文[2]中為說明當AB≠BA時(7)式無酉矩陣U不成立，舉例如下：

tr(|AvB1-v|)≥tr[vA+(1-v)B]

(8)

本文先證明一個優(yōu)于(8)式的矩陣跡的反向Young不等式，然后利用此式得到一類矩陣跡的不等式，最后基于同樣的方法和Young不等式得到另一類不等式。

對于兩個半正定Hermite矩陣A,B，一個重要事實是A,B的乘積AB可對角化[3-4]，從而對任何正數(shù)α,利用AB的譜分解知(AB)α有明確意義。Lieb和Thirring[5]給出如下不等式(Lieb-Thirring不等式)：

tr(AB)α≤tr(AαBα),α≥1

(9)

Wang等[6]推廣了(9) 式對滿足|α|≥1的實數(shù)成立，|α|≤1時成立反向不等式，并且給出等號成立的充要條件為α=-1,0,2或AB=BA。利用(5)式和(9)式，可得如下定理。

定理1設(shè)A為半正定Hermite矩陣，B為與A同階的正定Hermite矩陣，對任何實數(shù)v≥1，有

tr(AvB1-v)≥vtrA+(1-v)trB

(10)

等號成立當且僅當v=1或A=B。

證明v=1時不等式等號顯然成立。下面僅需考察v>1時的情形：由矩陣跡的性質(zhì)tr(AB)=tr(BA)及Young不等式(5)得

注意到tr(|AvB1-v|)≥tr(AvB1-v)，并且嚴格不等式是可能實現(xiàn)的，例如：

故定理1的結(jié)果優(yōu)于(8)式，相對于(6)式，稱(10)式為矩陣跡的反向Young不等式。

下面利用矩陣跡的反向Young不等式(10)證明一些矩陣跡的不等式，并推廣了文獻[7]的若干結(jié)果。

定理2設(shè)A1,A2,…,An(n>1)為同階半正定Hermite矩陣，且任意n-1個之和可逆，v≥1，則

(12)

等號成立當且僅當v=1或A1=A2=…=An。

證明對任意實數(shù)α>0，在定理1中以αA1代替A，A2+…+An代替B，得

vαtrA1+(1-v)tr(A2+…+An)，

同理可得其余各式：

vαtrA2+(1-v)tr(A3+…+An+A1)，

…，

vαtrAn+(1-v)tr(A1+…+An-1)。

同理可證(12)式及等號成立的條件。

注2當v=2和v=n時，定理2分別是文[7]中定理3和定理4。

等號成立當且僅當A1=A2=…=An。

下面定理與定理1類似，利用Young不等式得到：

定理4設(shè)A為半正定Hermite矩陣，B為與A同階的正定Hermite矩陣，則對任何實數(shù)v≥2和實數(shù)μ，有

tr(AvB-μ)≥2tr(Av-1B1-μ)-tr(Av-2B2-μ)

(13)

tr(Av-1B1-μ)=

如果定理4中的A也為正定的，則有

定理5設(shè)A,B為同階正定Hermite矩陣，則任何實數(shù)v,μ有

tr(AvB-μ)≥2tr(Av-1B1-μ)-tr(Av-2B2-μ)

(14)

利用這兩個定理，可以得到以下一些不等式。

(16)

證明在(14)式中以αA代替A，以A2+…+An代替B，并令μ=1得

(17)

由Young不等式(5)可得

同理可證(16)式。

注3定理6的條件若改為“A1,A2,…,An(n>1)為同階半正定Hermite矩陣，且任意n-1個之和可逆”，則當v≥2時，利用定理4的(13)式，便知不等式(15)和(16)仍成立。此時v=2,3,k分別為文[7]中定理3,6,7的推廣。

(19)

證明記S=A1+A2+…+An，在定理4中依次以αAi代替A，以S-Ai代替B，并令μ=2，得

將各式兩邊分別相加得

由定理6知，

代入前一式得

取最佳常數(shù)α=n-1，得(18)式。同理可證(19)式成立。

同樣，利用定理5可得

定理7和定理8是文[7]中定理8的一般化。

[1]AndoT.MatrixYounginequlities[J].OperTheoryAdvAppl,1995, 75: 33-38.

[2]ManjeganiSM,NorouziA.MatrixformoftheinverseYounginequalities[J].LinearAlgebraAppl,2015, 486: 484-493.

[3]HongY,HornRA.TheJordancanonicalformofaproductofaHermitianandapositivesemidefinitematrix[J].LinearAlgebraAppl, 1991,147: 373-386.

[4]WuPW.Productsofpositivesemidefinitematrices[J].LinearAlgebraAppl, 1988,111: 53-61.

[5]LiebEH,ThirringW.StudiesinMathematicalPhysics[M].Princeton:PrincetonUniversityPress, 1976.

[6]WangBY,ZhangFZ.TraceandeigenvalueinequalitiesforordinaryandHadamardproductsofpositivesemidefiniteHermitianmatrices[J].SIAMJournalonMatrixTheoryandApplications, 1995, 16: 1173-1183.

[7]周其生，金樂樂. 一類矩陣跡的不等式[J].安慶師范學院學報(自然科學版)，2015, 21(3)：1-4.

Applications of Young Inequality and Inverse Young Inequality for Matrix Trace

ZHOU Qi-sheng

(School of Mathematics and Computation Science, Anqing Normal University, Anqing, Anhui 246133, China)

We provide an inverse Young inequality for Matrix Trace by using Young inequality and Lieb-Thirring inequality in matrix trace, and then use a matrix trace inequality Young and reverse Young to get a number of a matrix trace inequality. The obtained results generalize the results of [7].

matrix; trace; inequality

2016-02-25

周其生，男，安徽金寨人，安慶師范大學數(shù)學與計算科學學院教授，主要研究方向為算子理論。E-mail: zhouqish@aqnu.edu.cn

時間：2016-8-17 11:31

http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160817.1131.001.html

O178；O151.21

A

1007-4260(2016)03-0001-04

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.03.001