帶權(quán)重分數(shù)階積分圖像去噪方法

婁聯(lián)堂,方自成,韋茜妤,吳高林

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

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帶權(quán)重分數(shù)階積分圖像去噪方法

婁聯(lián)堂,方自成*,韋茜妤,吳高林

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

為了在圖像去噪的同時保留更多圖像的細節(jié)信息，在Riemann-Liouville定義的分數(shù)階積分基礎(chǔ)上，在數(shù)字信號的近似過程中引入權(quán)重參數(shù)，提出了一種通過調(diào)節(jié)權(quán)重與積分階次并結(jié)合8個方向上的掩膜進行圖像去噪的方法．實驗結(jié)果表明：與傳統(tǒng)去噪方法相比較，該方法不僅可以提高圖像的峰值信噪比，而且還可以更好地保留圖像紋理細節(jié)信息．

權(quán)重；分數(shù)階積分；圖像去噪；峰值信噪比

數(shù)字圖像在獲取和傳輸過程中會受到不同程度的噪聲干擾，這不僅直接影響圖像的視覺效果，而且也給圖像的后續(xù)處理帶來一定的困難，如分割、識別、理解．因此圖像去噪是數(shù)字圖像處理的重要內(nèi)容之一．傳統(tǒng)的去噪方法在去除噪聲的同時往往使圖像變得模糊，丟失紋理的細節(jié)信息，給圖像的后續(xù)處理帶來較大影響，迫切需要有更好的算法來解決這個問題．

近幾年來，分數(shù)階微積分理論在圖像處理方面得到了廣泛關(guān)注及應用，在圖像去噪方面也取得了一些進展．黃果等人[1-3]提出了基于Grmwald-Letnikov的分數(shù)階積分圖像去噪方法，更好地保留了圖像的邊緣和紋理細節(jié)信息．楊柱中等人[4]提出了利用分數(shù)階微分梯度的圖像去噪方法，有效地檢測與去除了噪聲，獲得了更好的視覺效果．Zhang W等人[5]提出了非局部分數(shù)階擴散波方程的圖像去噪方法，有效地保留了圖像邊界區(qū)域．Zhang J等人[6]提出了基于分數(shù)階微分的變分去噪模型，Chen等人[7]通過構(gòu)造新的分數(shù)階全變分模型，也均實現(xiàn)了圖像去噪．He等人[8]在Grmwald-Letnikov分數(shù)階微積分的基礎(chǔ)上，構(gòu)造相應的分數(shù)階掩膜算子達到了去噪目的．上述文獻說明基于分數(shù)階微積分的圖像去噪不僅可以實現(xiàn)較好的去噪效果，而且還可以保留圖像平滑區(qū)域的紋理細節(jié)．本文提出的基于帶權(quán)重的分數(shù)階積分圖像去噪算法，通過調(diào)節(jié)權(quán)重與階次兩個變量，使圖像去噪效果達到最佳，并且實現(xiàn)了圖像紋理細節(jié)的保留．

1　數(shù)字信號的分數(shù)階表示

在歐氏測度下，由分數(shù)階微積分Riemann-Liouville[9，10]的定義，v階積分(v<0)的數(shù)字信號s(x)可表示為：

(2)

2　數(shù)字圖像分數(shù)階積分掩膜構(gòu)建

(3)

由(2),(3)式得：

(4)

由(1),(4)式得：

[(k+1)-v-k-v].

(5)

則由(5)式得到，二維圖像信號s(x,y)在x軸與y軸方向的分數(shù)階積分可以表示為：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

圖1　8個方向的掩膜算子: 0°,45°,90°,135°,180°,225°,270°，315°Fig.1　Masks on eight directions: 0°,45°,90°,135°,180°,225°,270°，315°

3　數(shù)值實驗及理論分析

為了客觀評價圖像的去噪效果，同時更好地與經(jīng)典濾波方法(如均值濾波、高斯濾波、維納濾波)作比較，本文采用峰值信噪比(PSNR[14])與信息熵(IE[8])作為去噪效果客觀評價指標. 當PSNR值越大，說明算法的去噪效果越好；相反，PSNR值越小，說明算法的去噪效果不明顯，其中PSNR表示為：

(11)

式中f0表示原始圖像.當IE越靠近原始圖像的IE，說明保留的圖像紋理信息越多[15]，其中IE表示為：

(12)

式中p(i)，i=0,1,…，255表示圖像各灰度級的概率，f表示圖像.

實驗采用大小為512×512的3種不同類型的灰度圖像Lena、Peppers、Baboon，并在64位Window7 Matlab R2012b環(huán)境下進行．為了比較一般噪聲圖像的去噪效果，本文人為地對圖像添加噪聲，并分別取高斯噪聲圖像、椒鹽噪聲圖像、泊松噪聲圖像進行實驗，其中高斯噪聲圖像取均值為0，標準差σ分別為10,20,30的3組圖像，椒鹽噪聲圖像取噪聲密度為0.05，所有掩膜算子大小均為3×3．圖2為實驗所采用的原始圖像及相應的標準差為30的高斯噪聲圖像.

圖2　實驗圖像Fig.2　Experimental images

根據(jù)(11)式知，標準差為30的Lena噪聲圖像去噪過程中所對應的權(quán)重t、分數(shù)階v與PSNR可構(gòu)成空間曲面，如圖3所示，不同的t和v對應著不同的PSNR．通過調(diào)節(jié)t和v使PSNR達到最大值，其中t、v均取0.1的步長．

圖3　t、v與PSNR構(gòu)成的曲面Fig.3　The surface organized by t, v and PSNR

在進行去噪效果比較過程中，本文僅顯示圖像Lena、Peppers、Baboon在[150,300]×[150,300]區(qū)域上的去噪效果圖，并均采用標準差為30的高斯噪聲圖像進行去噪處理．如圖4～6所示，為圖像的去噪效果比較，其每幅圖像分別對應的是原始圖像、噪聲圖像、均值濾波、高斯濾波、維納濾波 、AFD濾波[13]、AFI濾波[13]和本文提出的方法．與均值濾波、高斯濾波、維納濾波3種經(jīng)典濾波作比較發(fā)現(xiàn)，本文提出的方法視覺效果最好，不僅噪聲大幅度減少，而且圖像紋理細節(jié)區(qū)域的信息得到了保留，沒有產(chǎn)生模糊效果．高斯濾波處理效果不理想，明顯地存在更多噪聲．與文獻[13]中提到的AFD濾波和AFI 濾波相比較，其視覺效果相當，且均濾除了大部分的噪聲.

圖4　不同濾波的圖像去噪效果(圖像Lena) Fig.4　Image denoising effect by different filters(Image Lena)

對不同類型噪聲圖像去噪后的實驗數(shù)據(jù)進行整理，并與傳統(tǒng)去噪算法作比較，記錄PSNR達到最大值時所對應的t和v值．

表1為不同類型濾波對不同標準差的高斯噪聲圖像去噪效果比較，以及當PSNR達到最大值時，本文算法所對應的t和v值. 從表1中可以看出，當高斯噪聲的標準差比較大時，本文算法的PSNR值更大，說明當高斯噪聲較多時，其去噪效果更加好．與高斯濾波作比較時發(fā)現(xiàn)，對于標準差較大的噪聲圖像，兩者的差異更明顯，本文算法的PSNR值均遠遠高于高斯濾波．

表2、表3分別對應不同類型濾波對椒鹽噪聲圖像、泊松噪聲圖像去噪效果的比較，以及當PSNR達到最大值時，本文算法所對應的t和v值．從表2中可以看出，本文算法的PSNR值均大于傳統(tǒng)的去噪濾波，略高于AFD濾波和AFI濾波，但卻遠遠高出高斯濾波和維納濾波．從表3可以看出，本文算法比均值濾波、高斯濾波去噪效果更好，同樣也稍好于AFD濾波和AFI濾波.

表4為不同類型濾波IE值的比較，其中Δ表示各濾波處理圖像與原始圖像的IE差值的絕對值. 從表4可以看出，本文算法與高斯濾波、維納濾波、AFD濾波、AFI濾波相比Δ更小，說明其IE值更接近原始圖像的IE值，同時反映了本文算法保留了更多的圖像紋理細節(jié)信息.

圖5　不同濾波的圖像去噪效果(圖像Peppers)Fig.5　Image denoising effect by different filters(Image Peppers)

圖6　不同濾波的圖像去噪效果(圖像Baboon)Fig.6　Image denoising effect by different filters(Image Baboon)

序號圖像δPSNR/dB均值濾波高斯濾波維納濾波AFD濾波AFI濾波Proposedtv1Lena3026.669422.499525.811026.495725.876126.73310.7-4.32028.788425.825028.999328.970628.624029.00860.8-3.71030.915831.446633.581631.779932.092532.16330.6-0.92Peppers3026.326722.532125.648626.256525.725526.42030.1-2.92028.286625.848728.733228.600228.370728.60290.9-3.41030.116831.268832.586931.069431.488131.70870.3-0.93Baboon3025.465922.378625.077125.607325.229625.66270.8-3.72027.006025.693427.579527.556527.543927.58450.2-2.01028.334231.061030.430729.435130.033030.78650.4-0.2

表2　不同類型濾波對椒鹽噪聲去噪效果比較

表3　不同類型濾波對泊松噪聲去噪效果比較

表4　不同類型濾波信息熵比較

4　結(jié)束語

隨著分數(shù)階微積分理論在圖像去噪方面的不斷嘗試，較好的去噪算法也會不斷被提出．本文提出的基于帶權(quán)重的分數(shù)階積分去噪算法，通過調(diào)節(jié)兩個參數(shù)，即權(quán)重t和積分階次v，實現(xiàn)了較好的圖像去噪效果．從實驗結(jié)果可以看出，算法在實現(xiàn)圖像去噪的同時，沒有導致圖像的紋理細節(jié)大幅衰減，同時保留了相應的信息內(nèi)容．但本文算法存在一些不足，在今后的研究中需要重點解決的問題是：對于多節(jié)點信號如何有效設置權(quán)重來構(gòu)造近似函數(shù)，如何與其他經(jīng)典去噪算法相結(jié)合得到更好的去噪效果，如何根據(jù)圖像的局部信息設定權(quán)重實現(xiàn)自適應圖像去噪.

[1]Huang G, Xu L, Chen Q L, et al. Image denoising using fractional integral[J]. IEEE International Conference on Computer Science & Automation Engineering,2012,2:107-112.

[2]黃果，蒲亦非，陳慶利，等. 基于分數(shù)階積分的圖像去噪[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2011,33(4):925-932.

[3]黃果，許黎，蒲亦非.分數(shù)階微積分在圖像處理中的研究綜述[J].計算機應用研究,2012,29(2):414-420.

[4]楊柱中，周激流，郎方年. 基于分數(shù)階微積分的噪聲檢測和圖像去噪[J].中國圖象圖形學報,2014,19(10):1418-1429.

[5]Zhang W, Li J J, Yang Y P. A fractional diffusion-wave equation with non-local regularization for image denoising[J].Signal Processing, 2014,103(10):6-15.

[6]Zhang J, Wei Z. Fractional variational model and algorithm for image denoising[J]. International Conference on Natural Computation,2008,5:524-528.

[7]Chen D L, Sun S S, Zhang C R, et al. Fractional-order TV-L2 model for image denoising[J]. Central European Journal of Physics, 2013,11(10):1414-1422.

[8]He N, Wang J B, Zhang L L, et al. An improved fractional-order differentiation model for image denoising[J]. Signal Processing,2015,112:180-188.

[9]Oldham K B, Spanier J. The fractional calculus[M]. New York: Academic Press, 1974.

[10]McBride A C. Fractional calculus[M]. New York: Halsted Press, 1986.

[11]劉彥，蒲亦非，周激流. 一種基于分數(shù)階積分的數(shù)字圖像去噪算法[J]. 四川大學學報(工程科學版), 2011,43(3):90-95.

[12]Pu Y F, Zhou J L, Xiao Y. Fractional differential mask: a fractional differential-based approach for multiscale texture enhancement[J]. IEEE Trans Image Process, 2010, 19(2):491-511.

[13]Jalab H A, Ibrahim R W. Fractional Alexander polynomials for image denoising[J]. Signal Processing, 2015,107(C):340-354.

[14]Bovik A. Handbook of image and video processing[M]. New York: Academic Press, 2000:325-327.

[15]李博，謝巍. 基于自適應分數(shù)階微積分的圖像去噪與增強算法[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2016,38(1):185-192.

Image Denoising Method for Weighted Fractional Integral

LouLiantang,FangZicheng,WeiXiyu,WuGaolin

(College of Mathematics and Statistics,South-Central University for Nationalities,Wuhan 430074,China)

In order to preserve more details of the image while image denoiseing, based on the fractional-order integral definition of Riemann-Liouville, this paper introduced weight parameters for the approximation process of digital signal, and proposed a method of the masks on eight directions by adjusting the value of weight and integral order. The experimental results show that compared with the traditional denoising methods, the proposed method not only can improve the peak signal-to-noise ratio of the image, but also can retain the image detailed texture better.

weight; fractional integral; image denoising; peak signal-to-noise ratio

2016-05-17 *通訊作者方自成，研究方向：數(shù)學應用方法與圖像處理，E-mail：fzc0816@163.com

婁聯(lián)堂(1966-)，男，教授，博士，研究方向：數(shù)學應用方法與圖像處理，E-mail：louliantang@163.com

國家自然科學基金資助項目(60975011)；中南民族大學中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助項目(CZW15051；YZZ13003)

TP751.1

A

1672-4321(2016)03-0146-05