探究直線系方程的巧用

摘要：直線系方程是解析幾何中的一類重要問題，靈活運(yùn)用直線系方程解題，可以減小計(jì)算量，從而達(dá)到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：直線系；平行；垂直；定點(diǎn)

直線系方程，是指滿足某種共同特征的直線方程的全體。直線系方程問題是解析幾何中的一類重要問題，靈活運(yùn)用直線系方程解題，可以減小計(jì)算量，從而達(dá)到事半功倍的效果。

直線系方程可以大致分為以下幾類：

1. 與直線l：Ax+By+C=0平行的直線系方程為：Ax+By+λ=0（其中λ≠C，λ為待定系數(shù)）

【例1】求過點(diǎn)A（1，-4）且與直線2x+3y+5=0平行的直線的方程。

解法1：由題知直線的斜率k=-23，因?yàn)樗笾本€與已知直線平行，所以它的斜率也是-23。根據(jù)點(diǎn)斜式，得所求直線方程是y+4=-23（x-1），即2x+3y+10=0。

解法2：由平行直線系方程可設(shè)l：2x+3y+λ=0（1），又因?yàn)橹本€l過點(diǎn)A（1，-4），代入（1）式得λ=10。故直線方程為2x+3y+10=0。

點(diǎn)評：解法二設(shè)平行直線系方程比解法一設(shè)點(diǎn)斜式方程在計(jì)算上要簡便。

2. 與直線l：Ax+By+C=0垂直的直線系方程為：Bx-Ay+λ=0或-Bx+Ay+λ=0（λ為待定系數(shù)）

【例2】已知直線l經(jīng)過點(diǎn)M（2，-1），且與直線2x+y-1=0垂直，求直線l的方程。

解法1：設(shè)直線l的斜率為k，直線2x+y-1=0的斜率為k1，由題意知：k1=-2，kk1=-1，解得k=12。又直線l過點(diǎn)M（2，-1），故其方程為y+1=12（x-2），即x-2y-4=0。

解法2：設(shè)直線l的方程為x-2y+λ=0，代入點(diǎn)M坐標(biāo)得：λ=-4，故l：x-2y-4=0。

點(diǎn)評：解法1利用垂直直線斜率間的關(guān)系，先求其斜率，再用點(diǎn)斜式求出方程；而解法二僅需設(shè)出垂直直線系方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)就求出了待定系數(shù)。解法2的計(jì)算量明顯要小得多。

3. 過定點(diǎn)P（x0，y0）的直線系方程為：A（x-x0）+B（y-y0）=0（A2+B2≠0）或y-y0=k（x-x0）和x=x0

此直線系方程的第一種表達(dá)式即過定點(diǎn)的直線系方程的一般式，它避免了對直線斜率存在性的討論，但涉及兩個(gè)參數(shù)；第二種表達(dá)式即我們經(jīng)常用到的點(diǎn)斜式方程，它只有一個(gè)參數(shù)，但要注意對斜率存在性進(jìn)行討論。

【例3】求過點(diǎn)P（2，3），并且在兩軸上的截距相等的直線方程。

解：設(shè)所求直線方程為A（x-2）+B（y-3）=0（A，B不同時(shí)為0）。

顯然，當(dāng)A=0或B=0時(shí)，所得直線方程不滿足題意，故A，B均不為0。

當(dāng)x=0時(shí)，y=2AB+3；當(dāng)y=0時(shí)，x=3BA+2。

根據(jù)題意，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則2AB+3=3BA+2，

令z=AB，則2z+3=3z+2，整理，得2z2+z-3=0，解得z=1，或z=-32，

則A=B≠0，或A=-32B≠0，故所求直線方程為x+y-5=0，或3x-2y=0。

點(diǎn)評：過定點(diǎn)的直線方程可以不受直線的斜率、截距等因素的限制，避免了分類討論，解法具有通用性，有效地防止解題出現(xiàn)漏解或錯(cuò)解的現(xiàn)象。

4. 若直線l1：A1x+B1y+C1=0與直線l2：A2x+B2y+C2=0相交，交點(diǎn)為P（x0，y0），則過兩直線的交點(diǎn)的直線系方程為：A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（除去l2本身，λ∈R）

【例4】已知直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，求證：直線l恒過定點(diǎn)。

解法1：（恒等式法）直線方程化為：x+y-4+m（2x+y-7）=0，因?yàn)閙∈R，所以x+y-4=0，2x+y-7=0。解得x=3，y=1，所以直線l恒過定點(diǎn)（3，1）。

解法2：（特殊直線法）取m=0，m=-1得，x+y-4=0，-x+3=0聯(lián)立解得：x=3，y=1，將（3，1）代入l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0檢驗(yàn)，滿足方程。所以直線l恒過定點(diǎn)（3，1）。

點(diǎn)評：對證明直線系過定點(diǎn)問題，通常有兩種方法：

（1）恒等式法：將直線方程化為關(guān)于參數(shù)的恒等式形式，利用參數(shù)屬于R，則恒等式各系數(shù)為0，列出關(guān)于x，y的方程組，通過解方程組，求出定點(diǎn)坐標(biāo)。

（2）特殊直線法：取兩個(gè)特殊參數(shù)值，得到兩條特殊直線，通過解這兩條特殊直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，并代入原直線系方程檢驗(yàn)，即得定點(diǎn)。

【例5】已知直線l經(jīng)過兩條直線x-y+5=0與x+y-3=0的交點(diǎn)，且垂直于直線3x-2y+4=0，求直線l的方程。

解：設(shè)經(jīng)兩直線交點(diǎn)的直線方程為：x-y+5+λ（x+y-3）=0，變形可得：

（1+λ）x+（λ-1）y+（5-3λ）=0，解得：k=1+λ1-λ。因?yàn)?+λ1-λ·32=-1，故λ=-5，

所求的方程：2x+3y-10=0。

點(diǎn)評：本題用直線系方程表示所求直線方程，用含參數(shù)的式子表示出斜率，然后再利用垂直直線間斜率的關(guān)系，求出方程的待定系數(shù)，從而最終求得問題的解。這種方法稱之為待定系數(shù)法，在已知函數(shù)或曲線類型問題中，我們都可以利用待定系數(shù)法來求解。

作者簡介：

劉君，甘肅省蘭州市，蘭州民族中學(xué)。