物理平衡問(wèn)題的解題策略

付培軍

平衡問(wèn)題的求解是中學(xué)物理中的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，在高考和各地模擬考試中頻頻出現(xiàn)，部分同學(xué)對(duì)平衡問(wèn)題存在模糊認(rèn)識(shí)，本文就靜態(tài)平衡和動(dòng)態(tài)平衡的處理方法舉例剖析，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助。

一、平衡問(wèn)題的常規(guī)處理方法

1. 整體隔離法：有多個(gè)物體參與相互作用，結(jié)合問(wèn)題靈活選取研究對(duì)象，可使問(wèn)題的處理簡(jiǎn)單化。

例1：（2016年甘肅白銀模擬）如圖所示，ACB是一光滑的、足夠長(zhǎng)的、固定在豎直平面內(nèi)的“∧”形框架，其中CA、CB邊與豎直方向的夾角均為θ。P、Q兩個(gè)輕質(zhì)小環(huán)分別套在CA、CB上，兩根細(xì)繩的一端分別系在P、Q環(huán)上，另一端和繩套系在一起，結(jié)點(diǎn)為O。將質(zhì)量為m的鉤碼掛在繩套上，OP、OQ兩根細(xì)繩拉直后的長(zhǎng)度分別用L1、L2表示，若L1︰ L2=2︰3，則兩繩受到的拉力之比F1︰F2等于（ ）

A. 2︰3 B. 1︰1 C. 4︰9 D. 3︰2

解析：因ACB是光滑的足夠長(zhǎng)的框架，故掛上重物后P、Q環(huán)只受繩的拉力和垂直于桿的彈力作用，如圖所示。設(shè)重物平衡時(shí)兩線的拉力與豎直方向的夾角分別為α和β，由同位角相等知β與θ互余，由四邊形內(nèi)角和為360°知α與θ也互余，即α=β。再以結(jié)點(diǎn)O為對(duì)象，它在三個(gè)力作用下平衡時(shí)，OP、OQ兩繩拉力在水平方向上的分量等大反向，故F1=F2，答案選B。

點(diǎn)評(píng)：因處于平衡態(tài)下的物體所受合外力為零，解題時(shí)一般先將研究對(duì)象從系統(tǒng)中隔離出來(lái)，分析其受力情況后建立坐標(biāo)系，用正交分解法建立平衡方程；對(duì)于有多個(gè)物體組成的系統(tǒng)，一般用整體隔離法分析，適時(shí)調(diào)換研究對(duì)象，再運(yùn)用平衡條件列式求解。

2. 正交分解法：在明確物體受力情況后將各力進(jìn)行正交分解，把矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為標(biāo)量運(yùn)算，可使問(wèn)題處理簡(jiǎn)單化。

例2：（2016年新課標(biāo)Ⅰ卷）如圖所示，一光滑的輕滑輪用細(xì)繩OO′懸掛于O點(diǎn)；另一細(xì)繩跨過(guò)滑輪，其一端懸掛物塊a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物塊b。外力F向右上方拉b，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。若F方向不變，大小在一定范圍內(nèi)變化，物塊b仍始終保持靜止，則（ ）

A. 繩OO′的張力也在一定范圍內(nèi)變化

B. 物塊b所受到的支持力也在一定范圍內(nèi)變化

C. 連接a和b的繩的張力也在一定范圍內(nèi)變化

D. 物塊b與桌面間的摩擦力也在一定范圍內(nèi)變化

解析：在F大小變化時(shí)，物體a、b均保持靜止，因此各物體的位置不變，繩間夾角保持不變，而a受到拉繩的拉力等于其重力，致使繩OO′的張力不變，即A、C錯(cuò)；若設(shè)F與水平面的夾角為θ，繩的拉力T與水平面的夾角為α，對(duì)b建立水平和豎直方向的直角坐標(biāo)系，由平衡條件知x軸上Fcosθ=Tcosα+f，y軸上Fcosθ=Tsinα+N=mbg，當(dāng)F在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，由平衡方程知支持力和摩擦力在一定范圍內(nèi)變化，即B、D對(duì)。

點(diǎn)評(píng)：解答此類題目時(shí)，一般是在受力分析的基礎(chǔ)上，建立直角坐標(biāo)系，分別寫出x軸和y軸上的平衡方程，再根據(jù)相關(guān)參量的變化情況進(jìn)行分析。

3. 假設(shè)法：處于平衡狀態(tài)下的物體受多個(gè)力的作用，當(dāng)某個(gè)力的方向不好確定時(shí)，可依據(jù)各力的產(chǎn)生條件，假設(shè)一個(gè)方向，再用平衡條件進(jìn)行推斷。若能平衡則假設(shè)成立，否則假設(shè)不成立。

例3：（2016年山西右玉模擬）如圖所示，物塊A和滑環(huán)B用繞過(guò)光滑定滑輪的不可伸長(zhǎng)的輕繩連接，滑環(huán)B套在與豎直方向成θ=37°的粗細(xì)均勻的固定桿上，連接滑環(huán)B的繩與桿垂直并在同一豎直平面內(nèi)，滑環(huán)B恰好不能下滑?；h(huán)與桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.4，設(shè)滑環(huán)與桿間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，則A和B的質(zhì)量之比為（ ）

A. B. C. D.

解析：滑環(huán)B平衡時(shí)，若桿的彈力垂直于桿斜向下，由mBgcosθ=μ（mAg-mBgsinθ）知 =；若桿

的彈力垂直于桿斜向上，由mBgcosθ=μ（mBgsinθ-mAg）知 =-，故選C。

二、平衡條件的變通與應(yīng)用

平衡問(wèn)題涉及的范圍寬，題型全，囊括的知識(shí)多，難度也各不相同。學(xué)習(xí)時(shí)除了要掌握常規(guī)的處理方法，對(duì)于一些具體問(wèn)題還要采取相應(yīng)措施，這樣才能在考場(chǎng)上快速地做出決策。

1. 矢量三角形法：物體在三力作用下平衡時(shí)，平移三力可構(gòu)成一個(gè)同一繞向的封閉的三角形，再由題設(shè)條件尋找邊角度關(guān)系，運(yùn)用三角形來(lái)求解。

例4：（2014年安徽屯溪聯(lián)考）如圖所示，將兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球a、b用細(xì)線相連懸掛于O點(diǎn)，用力F拉小球a，使整個(gè)裝置處于平衡狀態(tài)，且懸線Oa與豎直方向的夾角為θ=30°，則F的大?。?）

A. 不可能為mg

B. 可能為mg

C. 可能為mg

D. 可能為mg

解析：以兩個(gè)小球組成的整體為研究對(duì)象，在重力、拉力和張力的作用下平衡，平移三個(gè)力可得到如圖所示的矢量三角形，顯見F與T垂直時(shí)，F(xiàn)有最小值2mgsinθ=mg，而當(dāng)F轉(zhuǎn)至豎直向上時(shí)F=2mg，當(dāng)F轉(zhuǎn)到右下方時(shí)也可以，即拉力大于最小值均可，對(duì)比知B對(duì)。

2. 三角形相似法：當(dāng)物體在三力作用下平衡，若某個(gè)力的大小和方向都發(fā)生變化時(shí)，可在對(duì)物體進(jìn)行受力分析的基礎(chǔ)上平移各力構(gòu)成一個(gè)矢量三角形，再在圖中尋找與之相似的幾何三角形，運(yùn)用對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行推斷。

例5：（2014年中原名校聯(lián)考）粗鐵絲彎成如圖所示半圓環(huán)的形狀，圓心為O，半圓環(huán)最高點(diǎn)B處固定一個(gè)小滑輪，小圓環(huán)A用細(xì)繩吊著一個(gè)質(zhì)量為m2的物塊并套在半圓環(huán)上。一根跨過(guò)小滑輪的細(xì)繩一端拴著物塊m1，另一端系在小圓環(huán)A上。設(shè)小圓環(huán)、滑輪、繩子的質(zhì)量以及其相互之間的摩擦均不計(jì)，繩子不可伸長(zhǎng)。若整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí)角AOB為α，則兩物塊的質(zhì)量比m1︰m2為（ ）

A. cos B. 2sin C. sin D. 2cos

解析：以環(huán)A為對(duì)象，受重物m2的拉力m2g，AB繩的張力m1g，鐵絲環(huán)沿OA方向的彈力為N，平移三力恰構(gòu)成一個(gè)矢量三角形與OAB相似，對(duì)應(yīng)邊成比例=，又AB=2Rsin，得 =2sin，故選B。

3. 圖解分析法：對(duì)于一些定性分析問(wèn)題，或動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題，可采用圖解法，利用矢量三角形的邊角關(guān)系，在動(dòng)態(tài)中把握力的變化情況。

例6：（2016年新課標(biāo)Ⅱ卷）質(zhì)量為m的物體用輕繩AB懸掛于天花板上。用水平向左的力F緩慢拉動(dòng)繩的中點(diǎn)O，如圖所示。用T表示繩OA段拉力的大小，在O點(diǎn)向左移動(dòng)的過(guò)程中（ ）

A. F逐漸變大，T逐漸變大

B. F逐漸變大，T逐漸變小

C. F逐漸變小，T逐漸變大

D. F逐漸變小，T逐漸變小

解析：在緩慢拉動(dòng)輕繩的過(guò)程中，結(jié)點(diǎn)O處于動(dòng)態(tài)平衡。它受到的重力mg恒定，拉力F方向不變，繩的拉力T斜向右上，平移各力構(gòu)成矢量三角形如圖所示。在O點(diǎn)左移的過(guò)程中相當(dāng)于繩OA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故F和T逐漸變大，即選A。

例7：如圖所示，將一根不能伸長(zhǎng)、柔軟的輕繩兩端分別系于A、B兩點(diǎn)上，一物體用動(dòng)滑輪懸掛在繩子上，達(dá)到平衡時(shí)，兩段繩間的夾角為θ1，繩子張力為F1；將繩子由B端移至C點(diǎn)，待整個(gè)系統(tǒng)達(dá)到平衡時(shí)，兩段繩子間的夾角為θ2，繩子張力為F2；將繩子由B端移至D點(diǎn)，待整個(gè)系統(tǒng)達(dá)到平衡時(shí)，兩段繩子間的夾角為θ3，繩子張力為F3，不計(jì)摩擦，則（ ）

A. θ1=θ2=θ3 B. θ1=θ2<θ3

C. F1>F2>F3 D. F1=F2解析：滑輪下懸一物體平衡時(shí)，若反向延長(zhǎng)其中一側(cè)繩子發(fā)現(xiàn)水平線OB所分的ΔAOB與ΔCOB是全等的，故懸線與OB的夾角與動(dòng)滑輪所處的位置無(wú)關(guān)，只取決于繩長(zhǎng)和兩桿間距（如圖所示），由圖知θ1=θ2，F(xiàn)1=F2。當(dāng)將繩子由B端移至C點(diǎn)時(shí)，因兩繩的合力恒等于物重，且在C點(diǎn)時(shí)兩繩成鈍角，故張力隨兩繩間夾角的增大而增大，故選B、D。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)滑輪受力分析發(fā)現(xiàn)，只上下移動(dòng)B點(diǎn)，滑輪在任意位置平衡時(shí)，兩繩間的夾角僅由繩長(zhǎng)和AC間距決定，而同一根輕繩內(nèi)部的拉力處處相等，由此推知θ1=θ2，F(xiàn)1=F2。這種方法能得出一些基本結(jié)論，再運(yùn)用到習(xí)題中可達(dá)到觸類旁通的效果。

4. 運(yùn)動(dòng)性質(zhì)推斷法：通過(guò)對(duì)物體運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的分析，推斷其受力情況，再運(yùn)用平衡條件分析周邊物體的受力情況，可收到事半功倍的效果。

例8：（2016年安徽三次聯(lián)考題）如圖所示，一圓環(huán)套在豎直光滑的桿上，桿的直徑比圓環(huán)的內(nèi)徑略小，圓環(huán)通過(guò)輕彈簧與放在地面上的物塊相連，開始時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)?，F(xiàn)由靜止釋放圓環(huán)，到圓環(huán)向下的速度達(dá)到最大的過(guò)程中（物塊一直保持靜止）（ ）

A. 圓環(huán)受到的合力在減小

B. 桿對(duì)圓環(huán)的作用力在減小

C. 地面對(duì)物體的摩擦力在減小

D. 地面對(duì)物體的支持力在減小

解析：環(huán)沿桿下滑過(guò)程中受重力、彈簧的彈力和桿的支持力而做加速運(yùn)動(dòng)，隨著θ的增大，彈簧變短，彈力變大，環(huán)的合力變小，故環(huán)做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，即A對(duì)；彈力增大時(shí)它沿水平方向的分量增大，使桿對(duì)圓環(huán)的支持力增大，m2靜止，故地面對(duì)它的摩擦力增大，即B、C錯(cuò)；就整體而言，由于環(huán)的加速度減小，整體的合力向上且在增大，即D錯(cuò)。

5. 臨界狀態(tài)處理法：通過(guò)對(duì)過(guò)程的分析，找出變化過(guò)程中的臨界極值點(diǎn)，再將平衡方程和假設(shè)推斷相結(jié)合，找出相關(guān)力的變化范圍。

例9：如圖所示，質(zhì)量m=2kg的物體由兩根輕繩AB和AC拉著，另一端連在豎直墻上。現(xiàn)對(duì)物體另施一個(gè)與水平方向成θ=60°角的拉力F，求兩繩都能伸直的力F。

解析：設(shè)AB和AC的張力分別為F1和F2，對(duì)A進(jìn)行受力分析如圖，由平衡條件得Fsin60°+ F1sin30°= mg+F2sin30°和Fcos60°= F1cos30°+ F2cos30°。

顯見，當(dāng)F較小時(shí)，繩AC的張力較小，當(dāng)F2=0時(shí)繩AC剛剛處于松弛狀態(tài)，此時(shí)F =10；當(dāng)F較大時(shí)，繩AB的張力較小，當(dāng)F1=0時(shí)繩AB剛剛處于松弛狀態(tài)，此時(shí)F =20，故力F的變化范圍是10≤F ≤20。

6. 交匯法：物體在三力作用下平衡時(shí)不易確定的第三個(gè)力，可以用交匯原理處理，即三力作用下的平衡物其所受三力必交于一點(diǎn)。解題時(shí)要在受力分析的基礎(chǔ)上，找出兩個(gè)力的交點(diǎn)，再判斷第三個(gè)力的方向，然后建立直角坐標(biāo)系求解。

例10：如圖所示，木板AB的重力不計(jì)，A端用鉸鏈與墻壁連接，木板與墻壁間的夾角為30°，圓柱體重為G，D是AB的中點(diǎn)，若各觸點(diǎn)的摩擦均不計(jì)，求木板A端所受的作用力。

解析：先以圓柱體為研究對(duì)象，它在重力G、板的彈力N1和墻的彈力N2共同作用下處于平衡態(tài)，由拉密原理知=，解得N1=2G。

再以板為對(duì)象，它受繩的拉力T、圓柱體的彈力N1′和鉸鏈的作用力F而平衡，由交匯原理知F的方向如圖所示，由平衡條件知=，代入

N1=N1′=2G得F=G。