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    數(shù)形結(jié)合“妙”解數(shù)學(xué)問(wèn)題

    2016-10-31 08:52:51劉天有
    新課程(下) 2016年8期
    關(guān)鍵詞:代數(shù)拋物線圖象

    劉天有

    (山西省大同市左云縣高級(jí)中學(xué))

    數(shù)形結(jié)合“妙”解數(shù)學(xué)問(wèn)題

    劉天有

    (山西省大同市左云縣高級(jí)中學(xué))

    數(shù)形結(jié)合是在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的一種重要解題思想,它是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)數(shù)和形的相互轉(zhuǎn)化解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的.數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)是將較抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀的圖象結(jié)合起來(lái),它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化,幾何問(wèn)題代數(shù)化,其應(yīng)用包括兩個(gè)方面:(1)把某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、形象化,揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì);(2)把直觀圖形數(shù)量化,使其更加精確.現(xiàn)整理如下題型供大家體會(huì):

    題型一:數(shù)形結(jié)合解決方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題

    題型分析:本題屬于新定義題型,需先寫(xiě)出(fx)的解析式,然后將方程(fx)=m的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=(fx)圖象與直線y= m交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

    作出函數(shù)f(x)的圖象如圖1所示.

    圖1

    反思:研究方程根的個(gè)數(shù)、根的范圍問(wèn)題時(shí),經(jīng)常采用數(shù)形結(jié)合的思想,方程f(x)=0的根,就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn),方程f(x)=g(x)的根,就是函數(shù)f(x)和g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

    題型二 數(shù)形結(jié)合解決有明顯幾何意義的式子(概念)問(wèn)題

    而直線QA的斜率k=1,直線4a+2b-1=0的斜率為-2,顯然不等式組所表示的平面區(qū)域不包括邊界,所以P,Q連線的斜率的取值范圍為(-2,1),故選D.

    圖2

    反思:如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含明顯的幾何特征,就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題,即所謂的幾何法求解.

    題型三 數(shù)形結(jié)合解幾何問(wèn)題

    例3.如圖3,已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上,那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2,-1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

    圖3

    題型分析:本題可以結(jié)合圖形將拋物線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,再探求最值.

    解析:定點(diǎn)Q(2,-1)在拋物線內(nèi)部,由拋物線的定義可知,動(dòng)點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離和點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo),顯然點(diǎn)P是直線y=-1和拋物線y2=4x的交點(diǎn)時(shí),兩距離之和取最小值,解得這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是(,-1),答案為A.

    反思:在幾何中的一些最值問(wèn)題中,可以根據(jù)圖形的性質(zhì)結(jié)合圖形上點(diǎn)的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換,快速求得最值.

    縱觀多年來(lái)的高考試題,巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法處理一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題,可以起到事半功倍的作用,數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”,把代數(shù)問(wèn)題與圖形緊密結(jié)合起來(lái),可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化,幾何問(wèn)題代數(shù)化.幾何意義——兩點(diǎn)(a,b),(-1,0)連線斜率求范圍.

    解:因?yàn)閍>0,所以二次函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向上.

    又f(0)=-1,所以要使函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)

    熊云豐.巧用數(shù)形結(jié)合的思想解題[J].才智,2008(24).

    ·編輯楊國(guó)蓉

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