巖石斷裂力學(xué)的擴(kuò)展有限元法

周 博, 孫 博, 薛世峰

(中國(guó)石油大學(xué)儲(chǔ)運(yùn)與建筑工程學(xué)院,山東青島 266580)

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巖石斷裂力學(xué)的擴(kuò)展有限元法

周 博, 孫 博, 薛世峰

(中國(guó)石油大學(xué)儲(chǔ)運(yùn)與建筑工程學(xué)院,山東青島 266580)

針對(duì)巖石材料的斷裂力學(xué)問(wèn)題闡述擴(kuò)展有限元法的單元位移模式的選擇、確定平面裂紋空間位置的水平集法和特殊單元的數(shù)值積分方法。介紹最大周向應(yīng)力裂紋擴(kuò)展判據(jù)和計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的相互作用積分法,進(jìn)而建立巖石斷裂力學(xué)的擴(kuò)展有限元法。建立Ⅰ型裂紋和Ⅱ型裂紋的巖石斷裂力學(xué)的擴(kuò)展有限元計(jì)算模型,對(duì)I裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子和Ⅱ型裂紋的裂紋擴(kuò)展路徑進(jìn)行擴(kuò)展有限元法數(shù)值模擬計(jì)算。結(jié)果表明,建立的巖石斷裂力學(xué)擴(kuò)展有限元法可對(duì)巖石材料的斷裂力學(xué)參數(shù)和裂紋擴(kuò)展路徑進(jìn)行數(shù)值模擬分析,驗(yàn)證了數(shù)值計(jì)算結(jié)果的合理性,能有效地描述巖石斷裂力學(xué)特性。

擴(kuò)展有限元法; 水平集法; 應(yīng)力強(qiáng)度因子; 相互作用積分法; 裂紋擴(kuò)展判據(jù); 裂紋擴(kuò)展路徑

石油開采、城市地鐵、穿山隧道、水力水電等工程項(xiàng)目的建設(shè)都不可避免地涉及巖石區(qū)域。巖石的變形及破壞規(guī)律等力學(xué)性質(zhì)對(duì)工程勘察、建設(shè)施工及運(yùn)行安全性和可靠性等方面有重要影響。巖石破壞過(guò)程是其內(nèi)部裂紋的萌生、擴(kuò)展、直至貫通的結(jié)果。研究含裂紋巖石材料的力學(xué)性質(zhì),計(jì)算其斷裂力學(xué)參數(shù)、預(yù)測(cè)其裂紋擴(kuò)展規(guī)律,具有工程實(shí)際意義。解析方法只能解決少數(shù)簡(jiǎn)單的斷裂力學(xué)問(wèn)題,在實(shí)際應(yīng)用中數(shù)值方法是研究斷裂力學(xué)問(wèn)題常用的重要而有效途徑。有限元法[1]通過(guò)在裂紋尖端設(shè)置奇異單元,較好地描述了裂紋尖端位移、應(yīng)變等物理場(chǎng)的奇異性,但是在模擬裂紋擴(kuò)展時(shí)須重新劃分網(wǎng)格,這極大地降低了計(jì)算效率?；谟邢拊ǖ酿ぞ哿δＰ屯ㄟ^(guò)設(shè)置界面單元[2],可有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)裂紋擴(kuò)展的模擬,但需要預(yù)先得到裂紋的擴(kuò)展路徑,不適合模擬復(fù)雜裂紋的擴(kuò)展問(wèn)題。邊界元法[3]能有效地處理裂紋等奇異性問(wèn)題,且比有限元法精確和高效,但對(duì)非線性問(wèn)題缺少高效計(jì)算方案,這限制了其應(yīng)用范圍。無(wú)網(wǎng)格法[4-6]的近似函數(shù)不依賴于網(wǎng)格,減少了因網(wǎng)格畸變帶來(lái)的困難,可以高精度地模擬高速碰撞、動(dòng)態(tài)裂紋擴(kuò)展等問(wèn)題,但無(wú)網(wǎng)格法對(duì)非線性問(wèn)題的模擬,仍有待進(jìn)一步開發(fā)。以Belytschko為代表的研究組[7-9],在有限元法的框架內(nèi)建立了擴(kuò)展有限元法(XFEM),很好地解決了由于材料或幾何等因素引起的不連續(xù)問(wèn)題,特別適合于處理斷裂力學(xué)問(wèn)題,近年來(lái)在眾多領(lǐng)域的不連續(xù)問(wèn)題的求解中不斷得到成功應(yīng)用[10-15]。筆者針對(duì)巖石材料的斷裂力學(xué)問(wèn)題,闡述XFEM的單元位移模式的選擇、描述和追蹤裂紋空間位置的水平集法及特殊單元的數(shù)值積分方法建立巖石平面裂紋問(wèn)題的XFEM計(jì)算模型。利用MATLAB編寫計(jì)算巖石斷裂力學(xué)特性的XFEM程序,計(jì)算Ⅰ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子,模擬Ⅱ型裂紋的裂紋擴(kuò)展路徑。

1 XFEM基本原理

1.1 單元位移模式

XFEM的核心思想是在傳統(tǒng)有限元法的單元移位模式中引入擴(kuò)充項(xiàng),以更精確地反映不連續(xù)性對(duì)單元移位及其他單元變量的影響。在XFEM中單元位移模式表示為

(1)

式中,x、y為空間坐標(biāo);u為單元位移分量;Ni為單元形函數(shù);ui為單元結(jié)點(diǎn)位移分量;n為單元結(jié)點(diǎn)總數(shù);ψ為反映不連續(xù)性的擴(kuò)充項(xiàng)。

基于單位分解的思想和便于程序設(shè)計(jì)的考慮,擴(kuò)充項(xiàng)ψ可表示為

(2)

式中,φj(x,y)為反映不連續(xù)性的增強(qiáng)函數(shù);qj為結(jié)點(diǎn)位移分量ui的附加自由度;m為附加自由度的總數(shù)。

不同類型的不連續(xù)問(wèn)題只須選取不同的增強(qiáng)函數(shù)φj(x,y)即可,其他處理過(guò)程完全相同,可見(jiàn)XFEM繼承了傳統(tǒng)有限元法的格式統(tǒng)一和便于編程的優(yōu)點(diǎn)。

對(duì)于平面裂紋問(wèn)題有兩種特殊單元,一種是如圖1所示的裂紋貫穿單元,另一種是如圖2所示的包含裂紋尖端單元。對(duì)于如圖1所示的裂紋貫穿單元,式(2)中的m等于1,增強(qiáng)函數(shù)取為

(3)

對(duì)于如圖2所示的包含裂紋尖端單元,式(2)中的m等于4,增強(qiáng)函數(shù)取為

[φj(x,y)|j=1,2,3,4]=

(4)

式中,r和θ為圖2所示的裂紋尖端局部極坐標(biāo)。

圖1 裂紋貫穿的單元Fig.1 Element penetrated by crack

圖2 包含裂紋尖端的單元Fig.2 Element containing crack tip

1.2 水平集法

和傳統(tǒng)有限元法不同的是,在XFEM中網(wǎng)格的劃分和間斷面位置相互獨(dú)立,間斷面可以穿過(guò)單元。在XFEM中須對(duì)間斷面進(jìn)行幾何描述,以方便識(shí)別單元和結(jié)點(diǎn)的類型。水平集法[16]是確定和追蹤裂紋界面移動(dòng)的數(shù)值方法,該方法用比裂紋界面維數(shù)高一維的水平集函數(shù)描述裂紋界面,裂紋界面的演化過(guò)程可表示為零水平集函數(shù)的變化過(guò)程。利用水平集法追蹤界面演化的主要優(yōu)點(diǎn)是,在描述界面運(yùn)動(dòng)時(shí)有限元網(wǎng)格不變,不必重新劃分有限元網(wǎng)格就可以追蹤界面運(yùn)動(dòng)。

常用的水平集函數(shù)是符號(hào)距離函數(shù)。對(duì)于圖3所示的平面裂紋水平集函數(shù),可用符號(hào)距離函數(shù)表示為

f[(x,y),t]=±m(xù)in‖(x,y)-(x,y)?！瑃,

(5)

g[(x,y),t]=±m(xù)in‖(x,y)-(x,y)Γ′‖t.

(6)

式中,(x,y)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo);(x,y)Γ為裂紋上任意一點(diǎn)的坐標(biāo);(x,y)?！錇檫^(guò)裂紋尖端虛線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo);t為時(shí)間;f[(x,y),t]在裂紋上部取正號(hào)、在裂紋下部取負(fù)號(hào);g[(x,y),t]在虛線左側(cè)取正號(hào)、在虛線右側(cè)取負(fù)號(hào)。

圖3 描述平面裂紋的水平集函數(shù)Fig.3 Level set functions describing plane crack

1.3 特殊單元積分

在XFEM中為了反映間斷面引起的不連續(xù)性,在包含間斷面的特殊單元中引入描述不連續(xù)性的增強(qiáng)函數(shù),致使這些單元的位移模式不再是光滑多項(xiàng)式函數(shù),若對(duì)這些特殊單元仍采用傳統(tǒng)有限元的高斯積分方案,將會(huì)引起較大的積分誤差。

在XFEM的實(shí)際計(jì)算中,對(duì)這些特殊單元通常采用兩種積分方法。第一種方法是采用子域積分法[10],即沿著間斷面將單元分成若干個(gè)小區(qū)域,在每個(gè)小區(qū)域按傳統(tǒng)有限元法的高斯積分方案積分,然后將所有小區(qū)域內(nèi)的積分相加得到整個(gè)單元的積分。第二種積分方法[16]是在這些特殊單元內(nèi)普遍加密高斯積分點(diǎn),如對(duì)圖4中裂紋貫穿單元和包含裂紋尖端單元均采用64個(gè)高斯積分點(diǎn)。第二種方法比第一種方法在程序設(shè)計(jì)中容易實(shí)現(xiàn),因此本文采用第二種積分方法。

圖4 特殊單元的積分方法Fig.4 Integral method for special elements

2 巖石斷裂力學(xué)

巖石屬于典型的脆性材料,可以用線彈性斷裂力學(xué)理論描述其斷裂力學(xué)特性。和XFEM密切相關(guān)的巖石斷裂力學(xué)特性包括裂紋尖端位移分量求解、裂紋擴(kuò)展的條件及應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算等。

2.1 裂紋尖端位移場(chǎng)

根據(jù)線彈性斷裂力學(xué),含Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂紋的無(wú)限大板在裂紋尖端附近的水平位移分量ux和豎直位移分量uy分別描述為

(7)

(8)

其中

式中,KⅠ和KⅡ分別為Ⅰ型裂紋和Ⅱ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子;G為剪切彈性模量;E和ν分別為彈性模量和泊松比。

在式(7)中的h1(r,θ)和h2(r,θ)分別描述為

(9)

式中,r和θ為裂紋尖端局部極坐標(biāo)。

在式(8)中的h3(r,θ)和h4(r,θ)分別描述為

(10)

在式(9)中的κ是一個(gè)與泊松比有關(guān)的系數(shù),對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題的取值情況為

(11)

對(duì)比式(4)和式(9)可以發(fā)現(xiàn),包含裂紋尖端單元的4個(gè)增強(qiáng)函數(shù)是線彈性斷裂力學(xué)裂紋尖端位移場(chǎng)解析解中的4個(gè)函數(shù)項(xiàng)?？梢?jiàn)含裂紋尖端單元的4個(gè)增強(qiáng)函數(shù)反映了裂紋尖端位移場(chǎng)的解析特性,可以有效地描述裂紋尖端引起的不連續(xù)性。

2.2 最大周向應(yīng)力理論

對(duì)于Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合平面裂紋,裂紋尖端局部極坐標(biāo)系下的環(huán)向拉應(yīng)力分量可描述為

(12)

其中

根據(jù)最大周向應(yīng)力理論,裂紋的擴(kuò)展方向和擴(kuò)展條件為:裂紋擴(kuò)展方向與最大周向拉應(yīng)力方向垂直,即Kθ最大值的方向;當(dāng)Kθ最大值達(dá)到極值時(shí)裂紋開始擴(kuò)展。

將Kθ帶入極大值條件

(13)

得到平面復(fù)合裂紋的擴(kuò)展方向角θ0的計(jì)算式為

(14)

平面復(fù)合裂紋的擴(kuò)展準(zhǔn)則為

(15)

式中,Kc為材料斷裂韌性,可通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定。

2.3 相互作用積分法

計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的常用數(shù)值方法包括:結(jié)點(diǎn)位移外推法、單元應(yīng)力外推法、相互作用積分法等。相互作用積分法具有很高的數(shù)值精度,在程序設(shè)計(jì)中容易實(shí)現(xiàn),因此采用相互作用積分法計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子。

相互作用積分是一個(gè)圖5所示的在包含裂紋尖端的回路Γ上的能量積分,為了便于數(shù)值計(jì)算可將回路積分轉(zhuǎn)換為圖5所示的積分區(qū)域?yàn)锳的面積分[17],即

(16)

圖5 相互作用積分法的積分區(qū)域Fig.5 Integral region for interaction integration method

應(yīng)力強(qiáng)度因子K與相互作用積分I間的關(guān)系為

(17)

E′對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題的取值情況為

(18)

3 數(shù)值算例

基于XFEM基本原理和巖石斷裂力學(xué),利用MATLAB編寫描述巖石斷裂力學(xué)特性的XFEM計(jì)算程序,對(duì)Ⅰ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子和Ⅱ型裂紋的裂紋擴(kuò)展路徑進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算。

3.1 應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算

如圖6所示邊長(zhǎng)W=2 m的正方形,左部居中有一個(gè)長(zhǎng)度為a的水平裂紋,作用在上下兩邊的拉伸載荷σ為1.0×106Pa,材料的彈性模量E為15×109Pa、泊松比ν為0.25、斷裂韌性Kc為8.22×106N/m1.5。

圖6 含Ⅰ型裂紋的幾何實(shí)體Fig.6 Geometrical model with crack of mode Ⅰ

圖7 XFEM計(jì)算模型Fig.7 Numerical calculating model based on XFEM

(19)

計(jì)算得到。

從表1的數(shù)值計(jì)算結(jié)果可以看出,XFEM計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子有較高的數(shù)值計(jì)算精度。

表1 應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ的計(jì)算結(jié)果

Table1CalculatingresultsofstressintensityfactorKⅠ

裂紋長(zhǎng)/mXFEM解/(106N·m-1.5)解析解/(106N·m-1.5)相對(duì)誤差/%0.150.77830.79191.720.251.09381.08171.120.351.40241.37811.760.451.74361.70262.410.552.13492.07113.080.652.58752.50323.37

3.2 裂紋擴(kuò)展路徑模擬

在計(jì)算模擬Ⅱ裂紋的裂紋擴(kuò)展路徑時(shí),所取的XFEM計(jì)算模型中的網(wǎng)格密度、單元類型、裂紋位置與長(zhǎng)度及材料參數(shù)與圖7所示的XFEM計(jì)算模型的完全相同。為模擬II裂紋的裂紋擴(kuò)展路徑,設(shè)定的邊界條件為:下側(cè)邊水平位移ux為-6.4 mm、上側(cè)邊水平位移ux為6.4 mm,上、下兩邊豎直位移uy均為0。

圖8 由XFEM計(jì)算的Ⅱ型裂紋的裂紋擴(kuò)展路徑Fig.8 Crack propagation path of mode Ⅱ calculated by XFEM

圖8為由XFEM計(jì)算得到的Ⅱ型裂紋的裂紋擴(kuò)展路徑,其中紅色粗實(shí)線為初始裂紋的位置、紅色粗虛線為裂紋的擴(kuò)展路徑。根據(jù)最大周向應(yīng)力理論,即式(14)可知，Ⅱ型裂紋擴(kuò)展的方向角θ0=-70.5°,圖9所示的裂紋擴(kuò)展方向與最大周向應(yīng)力理論確定的裂紋擴(kuò)展方向基本相同,可見(jiàn)XFEM能有效地預(yù)測(cè)裂紋的擴(kuò)展路徑。

圖9為Ⅱ型裂紋擴(kuò)展后的XFEM網(wǎng)格圖,其中的結(jié)點(diǎn)位移被放大15倍,可以發(fā)現(xiàn)其變形規(guī)律和所設(shè)定的邊界條件完全符合,數(shù)值計(jì)算結(jié)果是合理的,這也表明XFEM能有效地預(yù)測(cè)平面裂紋的擴(kuò)展路徑。

圖9 Ⅱ型裂紋擴(kuò)展后的XFEM網(wǎng)格圖Fig.9 XFEM mesh figure after crack of mode Ⅱ propagating

4 結(jié)束語(yǔ)

闡述了單元位移模式選擇、描述裂紋幾何的水平集法及特殊單元的數(shù)值積分方法,建立了描述巖石斷裂力學(xué)特性的擴(kuò)展有限元法。建立的巖石斷裂力學(xué)擴(kuò)展有限元法可對(duì)巖石材料的斷裂力學(xué)參數(shù)和裂紋擴(kuò)展路徑進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算,能有效地描述巖石斷裂力學(xué)特性。XFEM計(jì)算模型驗(yàn)證了數(shù)值計(jì)算結(jié)果的合理性,可有效地預(yù)測(cè)平面裂紋的擴(kuò)展路徑。

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(編輯 沈玉英)

Extended finite element method for fracture mechanics of rock

ZHOU Bo, SUN Bo, XUE Shifeng

(CollegeofPipelineandCivilEngineeringinChinaUniversityofPetroleum,Qingdao266580,China)

An extended finite element method (XFEM) was used to study the mechanical characteristics and crack propagation behaviors of rock materials, in which the methods for selecting the element displacement mode, the geometric description of plane cracks and the integration of special elements were introduced. The criteria for crack propagation in terms of the maximum hoop stress and an interaction integration method for calculating the stress intensity factor were introduced to formulate the fundamentals of the XFEM model in fracture mechanics of rocks. Then the XFEM model was developed to predict the mechanical behaviors of fractures in rocks, and the model was solved numerically using the MATLAB software. The stress intensity factors of the crack type I and the crack propagation paths of the crack type II were calculated and analyzed using the XFEM model, respectively. The calculation results show that the proposed XFEM method is viable to effectively simulate the crack propagation process and to calculate the fracture mechanics parameters in rock materials.

extended finite element method； level set method； stress intensity factor； interaction integral method；crack propagation criteria； crack propagation path

2015-10-22

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11472309);中石油重大專項(xiàng)(2012-ZG-002)

周博(1972-),男,教授,博士,博士生導(dǎo)師,研究方向?yàn)槭凸こ塘W(xué)、智能材料與結(jié)構(gòu)等。E-mail:zhoubo@upc.edu.cn。

1673-5005(2016)04-0121-06

10.3969/j.issn.1673-5005.2016.04.016

O 346.1

A

周博,孫博,薛世峰.巖石斷裂力學(xué)的擴(kuò)展有限元法[J].中國(guó)石油大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，40(4)：121-126.

ZHOU Bo, SUN Bo, XUE Shifeng. Extended finite element method for fracture mechanics of rock[J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natural Science),2016,40(4):121-126.