數(shù)學(xué)分析中微分概念探究教學(xué)的實(shí)踐與思考

謝海斌 陳迪三 葉潔

摘要：《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)應(yīng)打破傳統(tǒng)教學(xué)模式，積極開展自主、合作和探究式教學(xué).微分概念探究教學(xué)應(yīng)從概念的形成、概念的理解與鞏固、學(xué)生認(rèn)知水平三個(gè)角度開展.通過實(shí)踐分析和總結(jié)得到：數(shù)學(xué)分析課程探究式課堂教學(xué)要重視良好課堂氛圍的營造，探究活動(dòng)核心環(huán)節(jié)的掌控以及學(xué)生認(rèn)知水平的發(fā)展三個(gè)環(huán)節(jié)，循序漸進(jìn)地開展科學(xué)合理有效的課堂探究教學(xué)活動(dòng).關(guān)鍵詞：微分；探究教學(xué)；情境問題；認(rèn)知水平中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）38-0131-03

一、引言

目前，很多從事高校數(shù)學(xué)課程教學(xué)的教育工作者，仍然采用教師教，學(xué)生學(xué)；教師講，學(xué)生聽的傳統(tǒng)教學(xué)模式，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高，學(xué)習(xí)興趣逐漸喪失，因此，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式不利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和創(chuàng)造性思維能力.2015年國務(wù)院辦公廳關(guān)于深化高等學(xué)校創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育改革的實(shí)施意見中指出：“高校課程教學(xué)和考核方式要開展啟發(fā)式、討論式、參與式教學(xué)，……，注重考查學(xué)生分析、解決問題的能力.”針對這一要求，高校數(shù)學(xué)教師應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)課程自身特點(diǎn)積極開展探究式教學(xué)改革.近年來，有關(guān)數(shù)學(xué)探究教學(xué)的研究主要集中在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域[1-4]，然而高校數(shù)學(xué)探究教學(xué)的研究比較少，針對這一現(xiàn)狀，本文以高師《數(shù)學(xué)分析》課程中微分概念探究教學(xué)為例，提出《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)應(yīng)積極開展自主、合作、探究的有效教學(xué)模式，為學(xué)生提供更多主動(dòng)參與、合作交流、探究發(fā)現(xiàn)的教學(xué)活動(dòng)，從而促進(jìn)學(xué)生主體學(xué)習(xí)意識(shí)和能力的培養(yǎng).

二、微分概念的教學(xué)探究實(shí)踐與分析

Klausmeier指出概念是簡化世界的類目，是將一系列物體、事件和思想進(jìn)行分類的心智結(jié)構(gòu).概念是重要的，概念反應(yīng)思想，但概念并不出思想，不是通過概念的變換產(chǎn)生思想的，相反，思想產(chǎn)生概念.[5]事實(shí)上，人類社會(huì)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)概念都是在人類社會(huì)歷史發(fā)展的過程中，隨著勞動(dòng)實(shí)踐和社會(huì)經(jīng)驗(yàn)的積累，在經(jīng)驗(yàn)概括的基礎(chǔ)上形成的.[6]因此，教師在微分概念教學(xué)過程中，應(yīng)從微分概念知識(shí)起源中尋找切入點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，創(chuàng)設(shè)合理情景，引導(dǎo)學(xué)生從具體事例抽象出微分的實(shí)質(zhì)，自主構(gòu)建微分概念，并感悟概念形成中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，逐步培養(yǎng)自身的數(shù)學(xué)概括能力.

1.注重學(xué)生從具體到抽象的思維能力的培養(yǎng)，體會(huì)概念形成過程.微分概念比較抽象，若教師直接引入，學(xué)生很難理解與接受，故可以結(jié)合微分在實(shí)際的生產(chǎn)生活領(lǐng)域中的應(yīng)用來引入微分概念.在實(shí)際生活中，往往需要根據(jù)測量值來近似計(jì)算某些物理量，故教師可以設(shè)計(jì)如下教學(xué)情境引入課題.

教學(xué)片段1：教師拿出三個(gè)正方形紙板如下圖1所示，展示三個(gè)正方形紙板的面積的變化情況，并提出如下問題：

問題一：觀察三個(gè)圖形中面積增量主要取決于哪一部分？

問題二：思考當(dāng)邊長增量Δx→0時(shí)，ΔS，200Δx，（Δx）三者存在著怎樣的關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：通過動(dòng)態(tài)圖形演示，創(chuàng)造教學(xué)情景，引導(dǎo)學(xué)生觀察面積的變化規(guī)律，形成感官上的一種具體認(rèn)知和判斷.然后通過設(shè)置問題引導(dǎo)學(xué)生朝著預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)方向進(jìn)行思考，并檢測不同層次的學(xué)生對問題的分析理解能力.

學(xué)生在討論后給出答案：當(dāng)邊長增量Δx→0，故有

顯然，學(xué)生能夠利用已學(xué)導(dǎo)數(shù)的概念來分析問題，但是對問題的理解缺乏方向性，沒有刻畫ΔS，200Δx，（Δx）三者關(guān)系，此時(shí)教師可以做進(jìn)一步補(bǔ)充：

說明邊長增量越來越小時(shí)，面積增量的實(shí)際值主要決定于兩個(gè)小長方形的面積.再借助高階無窮小量可知

ΔS=200·Δx+ο（Δx）

從而使得微分概念的雛形自然而現(xiàn).進(jìn)而針對一般函數(shù)f（x），給出微分的一般定義形式

其中ο（Δx）是Δx的高階無窮小量.

教學(xué)分析：好的教學(xué)情境的引入，往往能營造良好的教學(xué)氛圍，提升學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)的積極性和主動(dòng)性.但是在這樣的教學(xué)過程中，學(xué)生的初步認(rèn)知往往是具體的，并且是不完整的，甚至是錯(cuò)誤的，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多思考如下問題：我的理解方式與已有的概念是否存在聯(lián)系？解決問題的關(guān)鍵在哪里？結(jié)論是否具有推廣性？若不能推廣，是否可通過修改條件實(shí)現(xiàn)結(jié)論的推廣？等等.學(xué)生在反思過程中，會(huì)對已有的認(rèn)知和理解進(jìn)行深入思考，從而使得自己對數(shù)學(xué)知識(shí)的體驗(yàn)不斷得以釋放，思維能力不斷提升，并逐步達(dá)到抽象思維的認(rèn)知水平.

2.注重學(xué)生對概念深化理解，通過變練演編等方式鞏固概念.王光明博士認(rèn)為：理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，“懂而不會(huì)的”現(xiàn)象說明學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)并未達(dá)到真正的理解[7].因此，當(dāng)微分概念給出后，并不代表著學(xué)生能準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)和理解概念，它需要教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從不同的側(cè)面和角度去挖掘概念，解釋概念，深化學(xué)生對概念的理解.

教學(xué)分析：本題的解題過程充分展現(xiàn)用定義法驗(yàn)證函數(shù)在某點(diǎn)可微需要一定的技巧和方法，并非易事.因此，教師在對微分概念講解時(shí)要循序漸進(jìn)，對問題的探究思路和角度要多元化，對教材例題要進(jìn)行剖析和演編，同時(shí)還要給學(xué)生一些與例題類似或演編的題目進(jìn)行訓(xùn)練，這樣可以進(jìn)一步加深學(xué)生對微分概念的理解.

3.在概念教學(xué)中逐步提升學(xué)生的認(rèn)知水平，幫助學(xué)生建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).教師對例題進(jìn)行總結(jié)和歸納是加深學(xué)生對概念理解的一種有效方法，同時(shí)也是促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問題或新規(guī)律的一個(gè)有效途徑.著名教育家波利亞在其著作《數(shù)學(xué)與猜想》中寫道：“數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程是與任何其他知識(shí)的創(chuàng)造一樣的.在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜測這個(gè)定理的內(nèi)容，在你完全做出詳細(xì)證明之前，你先得推測證明的思路.”[8]所以在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生對已有結(jié)論進(jìn)行反思、歸納和論證，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平逐步提高，并在原有的認(rèn)知水平上建立起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

教學(xué)片段3：教師請學(xué)生觀察分析上述例題中給出的微分表達(dá)式的特征有哪些，并猜想在具備同樣條件下的一般函數(shù)f（x）是否也有類似結(jié)論成立，若成立嘗試證明你的結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力，合情推理和歸納證明的能力等，通過對這些能力的培養(yǎng)，不斷提升學(xué)生的認(rèn)知水平，幫助學(xué)生建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

學(xué)生通過相互討論給出答案：（1）微分都是一個(gè)常數(shù)與自變量增量的乘積的結(jié)構(gòu)模型；（2）算例表明常數(shù)恰巧是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值；（3）由導(dǎo)數(shù)定義形式可推知

-f′（x）=ο（1）？圯Δy=f′（x）Δx+ο（Δx），

表明函數(shù)f（x）在點(diǎn)x可導(dǎo)一定可以推出f（x）在點(diǎn)x=x可微.

在了解學(xué)生的認(rèn)知情況后，教師可以對學(xué)生給出的答案做進(jìn)一步補(bǔ)充說明：一元函數(shù)可導(dǎo)一定可微，反之，可微也一定可導(dǎo)，證明如下

顯然根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知A=f′（x）.至此，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生對上述討論內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)函數(shù)可導(dǎo)與可微是等價(jià)的，同時(shí)也找到了判斷函數(shù)在某點(diǎn)是否可微的另外一種重要方法，此方法比微分定義法更容易證明.

教學(xué)分析：在課堂教學(xué)中，教師通過精心設(shè)置問題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行演練、搜集數(shù)據(jù)和觀察對比分析，并借助已有的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行大膽猜想，提出假說，進(jìn)而論證假設(shè)的真?zhèn)涡?在這一過程中，既發(fā)揮了教師在教學(xué)中主導(dǎo)作用，又體現(xiàn)了學(xué)生是課堂教學(xué)的主體.師生通過合作學(xué)習(xí)，共同探究，不僅增近了師生之間的情感交流，同時(shí)也讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升了自身的認(rèn)知水平，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)創(chuàng)造的艱辛歷程，并積累了豐富的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

三、數(shù)學(xué)分析課程探究教學(xué)的反思與建議

1.創(chuàng)設(shè)合理有效的問題情境，為學(xué)生營造良好的數(shù)學(xué)思維氛圍.合理有效地創(chuàng)設(shè)問題情境，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，讓學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)會(huì)思考，因此，數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)應(yīng)盡可能開展“情景—問題”探究式教學(xué)活動(dòng)，教師通過設(shè)置一些能夠與學(xué)生認(rèn)知產(chǎn)生沖突的情境問題，將學(xué)生置身于探究未知問題的氣氛中，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，從而形成學(xué)生積極思考的良好課堂氛圍.

2.開展探究教學(xué)活動(dòng)要以教材為核心，做到循序漸進(jìn)，問題解決方案多元化.數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)由于學(xué)習(xí)內(nèi)容比較抽象，學(xué)時(shí)又有限，所以在開展探究式教學(xué)活動(dòng)中，教師要以教材為核心，重點(diǎn)突出基本概念與定理，并且教學(xué)過程中所設(shè)置的問題要適中，難度有層次性，能夠形成問題鏈.問題提出循序漸進(jìn)，能夠體現(xiàn)思維水平由低到高的發(fā)展過程，此外，探究問題的解決方案盡可能多元化，學(xué)生在思考問題時(shí)可以從多角度、多方向、多途徑尋找切入點(diǎn)，提出多種新穎的見解，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng).

3.引導(dǎo)學(xué)生多回顧與反思，形成新的認(rèn)知水平.回顧與反思有利于學(xué)生養(yǎng)成“回到概念去”思考和解決問題的習(xí)慣，有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題及其解答的來龍去脈，有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，方法和理論之間的廣泛聯(lián)系，有利于發(fā)現(xiàn)許多相關(guān)結(jié)果中的交匯點(diǎn).[9]因此，教師在教學(xué)過程中，要多鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行反思，多聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，通過反思與總結(jié)去改編，引申或者推廣已有的問題和結(jié)論，進(jìn)而產(chǎn)生新的問題，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

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