江衛(wèi)華,楊彩霞
(河北科技大學(xué)理學(xué)院,河北石家莊 050018)
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一類多點(diǎn)共振方程組邊值問題正解的存在性
江衛(wèi)華,楊彩霞
(河北科技大學(xué)理學(xué)院,河北石家莊050018)
求解共振微分方程邊值問題解的存在性比較困難,要得到共振微分方程邊值問題的正解更加困難。針對(duì)研究領(lǐng)域中這一問題,著重研究了一類多點(diǎn)共振微分方程組邊值問題正解的存在性。在前人研究成果的基礎(chǔ)上,選取的不同的算子,將方程擴(kuò)展為方程組。通過在合適的空間中定義恰當(dāng)?shù)姆稊?shù)使之成為Bananch空間,利用O'Regan和Zima所研究出來的范數(shù)形式的Leggett-Williams定理,對(duì)非線性項(xiàng)做出合理的假設(shè)條件,得到了共振微分方程組邊值問題正解的存在性定理。
常微分方程其他學(xué)科;邊值問題;共振;正解;方程組
本文研究多點(diǎn)共振微分方程組邊值問題:
(1)
正解的存在性。
對(duì)邊值問題解和正解的研究已經(jīng)取得了大量的研究成果[1-6]。特別是共振邊值問題一直以來受到廣泛關(guān)注,并且已經(jīng)取得了很多成果[7-14]。文獻(xiàn)[14]利用范數(shù)形式的Leggett-Williams定理給出了如下共振多點(diǎn)邊值問題:
(2)
受上述文獻(xiàn)啟發(fā),本文研究多點(diǎn)共振微分方程組邊值問題(1)正解的存在性。
本文所使用的一些預(yù)備知識(shí)如下,詳細(xì)可參見文獻(xiàn)[14]。
設(shè)X,Y是Banach空間,L:domL?X→Y為指數(shù)為零的Fredholm算子,即ImL是閉集且dimKerL=codimImL<∞。此時(shí)存在連續(xù)投影算子P:X→X,Q:Y→Y使得ImP=KerL,KerQ=ImL。又dimImQ=codimImL,因此存在同構(gòu)J:ImQ→KerL,若限制L在KerP∩domL上,記為L(zhǎng)P,則它的逆算子存在,記為KP:ImL→KerP∩domL。方程Lx=Nx等價(jià)于x=(P+JQN)x+KP(1-Q)Nx。
引理1[14]設(shè)C為X中一個(gè)錐,則對(duì)每個(gè)u∈C{θ},存在一個(gè)正數(shù)σ(u)使得‖x+u‖≥σ(u)‖x‖,對(duì)?x∈C。
令γ:X→C為保核收縮,即γ為一連續(xù)映射,且γx=x,x∈C。并記Ψ:=P+JQN+KP(I-Q)N和Ψγ:=Ψ°γ。
1°在X的任意有界子集上,QN:X→Y連續(xù)有界,KP(I-Q)N:X→X是緊的;
2°對(duì)任何x∈?Ω2∩domL,λ∈(0,1),Lx≠λNx;
4°dB([I-(P+JQN)γ]|Ker L,KerL∩Ω2,0)≠0,其中dB代表Brouwer度;
5°存在u0∈C{0}使得當(dāng)x∈C(u0)∩?Ω1,有‖x‖≤σ(u0)‖Ψx‖成立,其中C(u0)={x∈C:μu0?x},μ為某些大于0的數(shù),并且σ(u0)滿足對(duì)?x∈C不等式‖x+u0‖≥σ(u0)‖x‖都成立;
6° (P+JQN)γ(?Ω2)?C;
定義算子L:domL?X→Y,L(u,v)=(L1u,L2v)=(-u″(t),-v″(t)),t∈[0,1],
其中,
domL=domL1×domL2,
定義N:X→Y為N(u,v)=(N1(u,v),N2(u,v)),其中N1(u,v)=f(t,u(t),v(t)),N2(u,v)=g(t,u(t),v(t)),t∈[0,1]。那么邊值問題(1)等價(jià)于L(u,v)=N(u,v)。顯然,KerL={(u,v)∈domL:(u(t),v(t))=(c1,c2),t∈[0,1],c1,c2∈R}。
定義函數(shù)G(s),H(s),s∈[0,1]:
顯然,0≤G(s)≤1,0≤H(s)≤1,s∈[0,1]。
定義函數(shù)U1(t,s),U2(t,s)如下:
定義正數(shù):
定理2連續(xù)函數(shù)f:[0,1]×R×R→R與g:[0,1]×R×R→R滿足以下條件。
假設(shè)存在R∈(0,+∞),使得
H1)f(t,u,v)>-κ1u,g(t,u,v)>-κ2v,f(t,u,v)U1(t,s)≥-u,g(t,u,v)U2(t,s)≥-v,其中(u,v)∈[0,R]×[0,R],t,s∈[0,1]。
H2)f(t,R,v(t))<0,t∈[0,1],0≤v(t)≤R,v(t)∈C[0,1],g(t,u(t),R)<0,t∈[0,1],0≤u(t)≤R,u(t)∈C[0,1]。
則共振邊值問題(1)至少有1組正解。
(3)
(4)
顯然有ImP=KerL,P2(u,v)=P(u,v)且X=KerP⊕KerL。
由式(4)知:
Q2(y1,y2)=Q(y1,y2)且Y=ImL⊕ImQ,
dimImQ=dimKerL即dimKerL=codimImL。
故L是指數(shù)為0的Fredholm算子。
接下來將證明L|dom L∩Ker P的逆KP,KP:ImL→domL∩KerP,
其中:
通過計(jì)算有,LPKP=I。因此,LP的逆算子是KP。
定義錐C和有界集Ω1,Ω2如下:
C={(u,v)∈X:u(t)≥0,v(t)≥0,t∈[0,1]},
Ω1={(u,v)∈X:M1‖u‖<|u(t)| Ω2={(u,v)∈X:‖u‖ 因此有: ‖QN(u,v)‖=max{‖Q1N1(u,v)‖,‖Q2N2(u,v)‖}= 所以QN:X→Y有界。又QN:X→Y連續(xù),故QN:X→Y連續(xù)有界。 綜上分析有KP(I-Q)N:X→X是緊的。這說明定理1的條件1°成立。 假設(shè)存在(u0,v0)∈C∩?Ω2∩domL及λ0∈(0,1)使得L(u0,v0)=λ0N(u0,v0),即 u″0(t)+λ0f(t,u0(t),v0(t))=0,v″0(t)+λ0g(t,u0(t),v0(t))=0,t∈[0,1]。 設(shè)存在t1,t2∈[0,1]使得u0(t1)=R或者v0(t2)=R。 如果u0(t1)=R,有0≥u″0(t1)=-λ0f(t1,u0(t1),v0(t1))=-λ0f(t,R,v0(t1))。 如果v0(t2)=R,有0≥v″0(t2)=-λ0g(t2,u0(t2),v0(t2))=-λ0g(t2,u0(t2),R) 與條件H2)矛盾。所以條件2°成立。 定義Hλ:KerL∩Ω2→R,λ∈[0,1]如下: Hλ(c1,c2)=(I-λ(P+JQN)γ)(c1,c2):= (H1(c1,c2,λ),H2(c1,c2,λ))= 其中:ci∈[-R,R];λ∈[0,1]。 假設(shè)H1(c1,c2,λ)=0,H2(c1,c2,λ)=0。由條件H1)有: 因此H1(c1,c2,λ)=0意味著c1≥0以及H2(c1,c2,λ)=0意味著c2≥0。此外,有H1(R,c2,λ)≠0,或者H2(c1,R,λ)≠0。 事實(shí)上, 這與條件H2)矛盾。對(duì)(c1,c2)∈?Ω2∩KerL,λ∈[0,1]有Hλ(c1,c2)≠(0,0), 因此,有: dB([I-(P+JQN)γ]Ker L,KerL∩Ω2,0)= dB(H1(c1,c2),KerL∩Ω2,0)= dB(H1(c1,c2),KerL∩Ω2,0)= dB(I,KerL∩Ω2,0)= 1≠0。 因此4°成立。 設(shè) 其中: 對(duì)(u,v)∈?Ω2,有: 由于 所以,有(P+JQN)γ(?Ω2)?C。因此定理1中的條件6°,7°成立。 取(u(t0),v(t0))≡(1,1),t∈[0,1]和σ(u0,v0)=1,有 (u0,v0)∈C{0,0}, C(u0,v0)={(u,v)∈C:u(t)>0,v(t)>0,t∈[0,1]}。 設(shè)(u,v)∈C(u0,v0)∩?Ω1,有M1‖u‖≤u(t)≤r,M2‖v‖≤v(t)≤r,t∈[0,1]。 對(duì)(u,v)∈C(u0,v0)∩?Ω1,如果‖u‖=r有 M1‖u‖+(1-M1)‖u‖=‖u‖。 因此,有‖Ψ(u,v)‖=max{|Ψ1(u,v),Ψ2(u,v)|}≥max{‖u‖,‖v‖}=‖(u,v)‖。所以對(duì)所有(u,v)∈C(u0,v0)∩?Ω1,有‖(u,v)‖≤σ(u0,v0)‖Ψ(u,v)‖。定理1的條件5°成立。 考慮如下共振邊值問題: (5) 且 2)f(t,R,v(t))<0,t∈[0,1],0≤v(t)≤R,v(t)∈C[0,1], g(t,u(t),R)<0,t∈[0,1],0≤u(t)≤R,u(t)∈C[0,1] 。 因此滿足定理2的所有條件。因此共振問題(5)至少有1組正解。 / [1]MA R, WANG H. 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Existenceofpositivesolutionsformulti-pointresonancesystemsofdifferentialequationswithboundaryvalueconditions JIANGWeihua,YANGCaixia (SchoolofScience,HebeiUniversityofScienceandTechnology,Shijiazhuang,Hebei050018,China) Itisdifficulttostudytheexistenceofsolutionsforboundaryvalueproblemsofdifferentialequationsatresonance,moreover,togetpositivesolutionsofboundaryvalueproblemsfordifferentialequationsatresonanceismoredifficult.Toresearchthisproblem,theexistenceofpositivesolutionsforacoupleofdifferentequationswithmulti-pointboundaryvalueconditionsatresonanceisstudied.Onthebasisofpreviousresearches,choosingadifferentoperator,theequationisextendedtoacoupleofdifferentequations.BydefiningthecorrectnormintheproductspaceswhichbecomeBanachspaces,andusingtheLeggett-Williamsnorm-typetheoremduetoO'ReganandZima,thenonlineartermsatisfiesreasonableassumptions,andtheexistenceofpositivesolutionsforacoupledofdifferentequationswithmulti-pointboundaryvalueconditionsatresonanceisobtained. otherdisciplinesofordinarydifferentialequation;boundaryvalueproblem;resonance;positivesolution;differentialequation 1008-1542(2016)04-0340-09 10.7535/hbkd.2016yx04005 2016-01-26; 2016-04-26;責(zé)任編輯:張軍 國(guó)家自然科學(xué)基金(11171088);河北省自然科學(xué)基金(A2013208108) 江衛(wèi)華(1964—),女,河北邯鄲人,教授,博士,主要從事應(yīng)用泛函分析、常微分方程邊值問題方面的研究。 E-mail:jiangweihua64@163.com O175MSC(2010)主題分類:34B18 A 江衛(wèi)華,楊彩霞.一類多點(diǎn)共振方程組邊值問題正解的存在性[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào),2016,37(4):340-348. JIANGWeihua,YANGCaixia.Existenceofpositivesolutionsformulti-pointresonancesystemsofdifferentialequationswithboundaryvalueconditions[J].JournalofHebeiUniversityofScienceandTechnology,2016,37(4):340-348.3 例 子