正規(guī)權(quán)Bloch空間到QT,S空間的積分型算子

古勇毅，袁文俊，孟凡寧

(廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東廣州　510006)

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正規(guī)權(quán)Bloch空間到QT,S空間的積分型算子

古勇毅，袁文俊，孟凡寧

(廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510006)

算子理論是解析函數(shù)空間理論研究的重要內(nèi)容，為了尋找通過(guò)探討聯(lián)立算子與函數(shù)空間的方法研究算子以及函數(shù)空間的有效途徑，假設(shè)φ為單位圓盤(pán)Δ上的一個(gè)解析自映射，正規(guī)權(quán)Bloch空間μ-B是單位圓盤(pán)Δ上的一個(gè)Banach空間，定義Cφ∶Cφ(f)=f°φ為μ-B上的復(fù)合算子，對(duì)所有的f∈μ-B，并由積分算子以及復(fù)合算子推廣得到積分型算子JhCφ和CφJ(rèn)h，主要討論了正規(guī)權(quán)Bloch空間到QT,S空間的積分型算子JhCφ的有界性和緊性，以及正規(guī)權(quán)Bloch空間到QT,S空間的積分型算子CφJ(rèn)h的有界性，并給出了相關(guān)的充要條件。

函數(shù)空間；正規(guī)權(quán)Bloch空間;QT,S空間; 積分型算子; 有界性; 緊性

1　預(yù)備知識(shí)

當(dāng)h(ξ)=z時(shí)，可得(CφJ(rèn)hf)(z)=(JhCφf(shuō))(z)=f(φ(z))=f°φ，即為復(fù)合算子。積分型算子的相關(guān)研究可參見(jiàn)文獻(xiàn)[8—13]。

定義4[19]QT,S空間與小QT,S空間分別定義為

當(dāng)s=2時(shí)，QT,2=QT；當(dāng)取T(r)=rp(0

本文中的C表示一個(gè)正常數(shù)，并且在不同地方可以表示不同的值。

2　主要結(jié)果

引理2μ-B到QT,S的積分型算子JhCφ是緊算子當(dāng)且僅當(dāng)μ-B中的序列{fn}滿足‖fn‖μ-B≤1且{fn}在Δ的緊子集上一致收斂于零,則JhCφf(shuō)n在QT,S中收斂到零。

證明由Montel定理和緊算子的定義容易證得。

定理1設(shè)0

(1)

證明充分性。

對(duì)任意的f∈μ-B有，

由于式(1)成立，則可得JhCφ:μ-B→QT,S有界。

必要性。

設(shè)JhCφ:μ-B→QT,S有界，且由引理1可得：

故式(1)成立。證畢。

定理2設(shè)0

①JhCφ:μ-B→QT,S,0有界；

②JhCφ:μ-B→QT,S,0緊；

證明②?①顯然成立。

①?③的證明，由引理1得：

故結(jié)論③成立。

③?②的證明，由類(lèi)似定理1的充分性證明可知，當(dāng)③成立,若f∈μ-B則JhCφf(shuō)∈QT,S,0,故要證JhCφ:μ-B→QT,S,0緊，只需證JhCφ:μ-B→QT,S緊，而由引理2，任取μ-B中的序列{fn}滿足‖fn‖μ-B≤1且{fn}在Δ的緊子集上一致收斂于零，只需證明‖JhCφ(fn)‖QT,S→0，n→∞。

由結(jié)論③成立，?γ:0<γ<1，使得：

(2)

設(shè)a∈Δ,0k},令

(3)

故結(jié)論②成立。證畢。

定理3設(shè)0

(4)

證明充分性。

設(shè)式(4)成立，則對(duì)?f∈μ-B有：

由式(4)成立，可得CφJ(rèn)h:μ-B→QT,S有界。

必要性。

若CφJ(rèn)h:μ-B→QT,S是有界的，則對(duì)所有的f∈μ-B，有CφJ(rèn)h(f)∈QT,S，由引理1有：

則式(4)成立。證畢。

3　結(jié)　論

積分型算子由積分算子和復(fù)合算子推廣得到，研究正規(guī)權(quán)Bloch空間到QT,S空間之間的積分型算子是有意義的。本文給出了正規(guī)權(quán)Bloch空間到QT,S空間的積分型算子JhCφ的有界性和緊性成立的充分必要條件，以及CφJ(rèn)h的有界性成立的充分必要條件。

/< class="emphasis_italic">References

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IntegraltypeoperatorsfromnormalweightedBlochspacestoQT,Sspaces

GUYongyi,YUANWenjun,MENGFanning

(SchoolofMathematicsandInformationScience,GuangzhouUniversity,Guangzhou,Guangdong510006,China)

Operatortheoryisanimportantresearchcontentoftheanalyticfunctionspacetheory.Thediscussionofsimultaneousoperatorandfunctionspaceisaneffectivewaytostudyoperatorandfunctionspace.AssumingthatφisananalyticselfmapontheunitdiskΔ,andthenormalweightedblochspaceμ-BisaBanachspaceontheunitdiskΔ,definingacompositionoperatorCφ∶Cφ(f)=f°φonμ-Bforallf∈μ-B,integraltypeoperatorJhCφandCφJ(rèn)haregeneralizedbyintegraloperatorandcompositionoperator.TheboundenessandcompactnessoftheintegraltypeoperatorJhCφactingfromnormalweightedBlochspacestoQT,Sspacesarediscussed,aswellastheboundenessoftheintegraltypeoperatorsCφJ(rèn)hactingfromnormalweightedBlochspacestoQT,Sspaces.Therelatedsufficientandnecessaryconditionsaregiven.

functionspace;normalweightedBlochspaces; QT,Sspaces;integraltypeoperator;boundedness;compactness

1008-1542(2016)04-0335-05

10.7535/hbkd.2016yx04004

2015-12-13；

2016-04-18；責(zé)任編輯：張軍

國(guó)家自然科學(xué)基金(11271090)；教育部留學(xué)回國(guó)人員科研啟動(dòng)基金(教外司留[2015]1098號(hào))；廣東省自然科學(xué)基金(2015A030313346)

古勇毅(1985—)，男，廣東清遠(yuǎn)人，博士研究生，主要從事復(fù)分析等方面的研究。

孟凡寧博士。E-mail:mfnfdbx@163.com

O174.5;O177.2MSC(2010)主題分類(lèi)：47B38

A

古勇毅，袁文俊，孟凡寧.正規(guī)權(quán)Bloch空間到QT,S空間的積分型算子[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào),2016,37(4):335-339.

GUYongyi,YUANWenjun,MENGFanning.IntegraltypeoperatorsfromnormalweightedBlochspacestoQT,Sspaces[J].JournalofHebeiUniversityofScienceandTechnology,2016,37(4):335-339.