在多項(xiàng)式空間中full spark框架的構(gòu)造

王莉莉，楊守志

（汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東汕頭515063）

在多項(xiàng)式空間中full spark框架的構(gòu)造

王莉莉，楊守志

（汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東汕頭515063）

Hilbert空間中的full spark框架在框架理論中具有很好的性質(zhì)—最大魯棒性.本文所做的一個(gè)重要工作是將序列空間中的full spark框架推廣到了函數(shù)空間中，先后構(gòu)造出了一元n次多項(xiàng)式空間Hn（x）及m元n次多項(xiàng)式空間Hn（x1，x2，…，xm）空間中的full spark框架，并舉出了一些實(shí)例.

框架；full spark框架；多項(xiàng)式空間

0　引言

1952年，Duffin R J和Schaeffer A C[1]在抽象Gaber D[2]有關(guān)信號(hào)分解的方法后，定義了Hilbert空間中的框架的概念.直至1986年，框架理論才被Daubechies I和Grossmann A[3]等人重視起來(lái).現(xiàn)如今，對(duì)框架理論的研究已非常廣泛，涉及數(shù)學(xué)[4-6]、物理[7-8]、生物[9]、通信[10]、結(jié)構(gòu)工程[11]等眾多領(lǐng)域.

Hilbert空間中的full spark框架是由Alexeev B和Cahill J等[12]人在研究有限框架理論的應(yīng)用時(shí)引入的，它具有很好的性質(zhì)——最大魯棒性.近年來(lái)，越來(lái)越多的學(xué)者投入到了對(duì)full spark框架的研究中.目前，full spark框架中仍有許多問(wèn)題未被研究，尤其是還未發(fā)現(xiàn)有人將full spark框架理論推廣到連續(xù)的函數(shù)空間上.本文的工作重點(diǎn)是將離散點(diǎn)列空間中的full spark框架理論推廣到連續(xù)函數(shù)空間，構(gòu)造一元連續(xù)函數(shù)空間中的full spark框架，并將這種構(gòu)造方法推廣到多元連續(xù)函數(shù)空間.

1　預(yù)備知識(shí)

令Hn（x）為一元n次實(shí)多項(xiàng)式空間f=a0+a1x+…+anxn（其中ai∈R），則Hn（x）空間中的內(nèi)積定義為：

在此內(nèi)積定義下，Hn（x）空間中的正交基是存在的.例如｛在上述內(nèi)積定義下為H1（x）空間中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.｛1，x，x2，…，xn｝在上述內(nèi)積定義下為Hn（x）空間中的一組正交基.

定義1.1令Hn為n次多項(xiàng)式空間，｛fi｝i∈N為Hn空間中的一個(gè)函數(shù)序列，如果存在0＜A≤B＜∞，使得

則稱｛fi｝i∈N為Hn中的一個(gè)框架，其中A、B分別稱為｛fi｝i∈N的框架下界與框架上界.

定義1.2令｛Pi｝i∈N為多項(xiàng)式空間Hn中的一個(gè)具有界A與B的框架，如果｛Pi｝i∈N滿足以下任意一條：

（1）從｛Pi｝i∈N中任取n+1個(gè)元素所組成的集合構(gòu)成Hn的一個(gè)框架.

（2）從｛Pi｝i∈N中任取n+1個(gè)元素都能張成Hn空間.

（3）從｛Pi｝i∈N中任取n+1個(gè)元素都是線性無(wú)關(guān)的.

那么，稱｛Pi｝i∈N是多項(xiàng)式空間Hn中的一個(gè)具有界A與界B的full spark框架.

問(wèn)題：定義1.2中所描述的多項(xiàng)式空間Hn中的full spark框架是否存在？

答案是肯定的.在第2小節(jié)中，定理2.1.1給出了一類一元多項(xiàng)式空間中full spark框架的構(gòu)造方法，推論2.1.3給出了一系列一元多項(xiàng)式空間中full spark框架的構(gòu)造方法，定理2.2.1與推論2.2.2是一元多項(xiàng)式空間的推廣形式.

注：本文所考慮的常數(shù)均為實(shí)數(shù)R，若常數(shù)為復(fù)數(shù)C時(shí)也有同樣的結(jié)論.

2　多項(xiàng)式空間中的full spark框架

2.1一元多項(xiàng)式空間中的full spark框架

在連續(xù)的一元多項(xiàng)式空間中構(gòu)造full spark框架.

定理2.1.1設(shè)Hn（x）為一元n次多項(xiàng)式空間，若對(duì)?i≠j有xi≠xj，那么：｛Pi（x）｝i∈N=｛（x-xi）n｝i∈N（xi∈R）構(gòu)成Hn（x）空間中的一個(gè)full spark框架.

證明：要證明｛P0（x），P1（x），…，Pn（x），…｝=｛（x-x0）n，（x-x1）n，…，（x-xn）n，…｝為Hn（x）空間中的一個(gè)full spark框架，只需證明，在一元n次多項(xiàng)式集合｛（x-x0）n，（x-x1）n，…，（x-xn）n，…｝中任取n+1個(gè)元素（x-xi0）n，（x-xi1）n，…，（x-xin）n是線性無(wú)關(guān)的即可.

設(shè)k0（x-xi0）n+k1（x-xi1）n+…+kn（x-xin）n=0

則有

上述方程組未知量的個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相同，且由范德蒙德行列式知，其系數(shù)行列式為

故有k0=k1=…=kn=0，從而（x-xi0）n，（x-xi1）n，…，（x-xin）n（對(duì)?ik∈N，xik∈R且對(duì)?ik≠im，xik≠xim）是線性無(wú)關(guān)的.

即得證.

例2.1.2｛（x-1），（x-2），…，（x-n），…｝構(gòu)成H1空間中的一個(gè)full spark框架.

｛（x-1）2，（x-2）2，…，（x-n）2，…｝構(gòu)成H2空間中的一個(gè)full spark框架.

證明：span｛（x-i），（x-j）｝=H1（對(duì)?i≠j）顯然成立.

在集合｛（x-1）2，（x-2）2，…，（x-n）2，…｝中任取三個(gè)元素，不妨設(shè)為（x-p）2，（x-q）2，（x-r）2.

令k1（x-p）2+k2（x-q）2+k3（x-r）2=0，分別取x=p，q，r，得到：

解得k1=k2=k3=0，從而（x-p）2，（x-q）2，（x-r）2線性無(wú)關(guān)，這也就證明了｛（x-1）2，（x-2）2，…，（x-n）2，…｝是H2空間中的一個(gè)full spark框架.

接下來(lái)，構(gòu)造一元多項(xiàng)式空間Hn中具有類似形式的一系列full spark框架.

推論2.1.3設(shè)Hn（x）為一元n次多項(xiàng)式空間，若對(duì)?i，j∈N，i≠i時(shí)xi＜xj，則有

中的任意一組，即?i∈｛0，1，…n｝，都有

xi∈R）為Hn（x）空間中的一個(gè)full spark框架.

例2.1.4｛（x-1）（x-2），（x-2）（x-3），…，（x-n）（x-n-1），…｝構(gòu)成H2（x）空間中的一個(gè)full spark框架.

證明：設(shè)（x-i）（x-j），（x-m）（x-n），（x-u）（x-v）（其中i＜j＜m＜n＜u＜v）為集合｛（x-1）（x-2），（x-2）（x-3），…，（x-n）（x-n-1），…｝中任取的三個(gè)元素.

令

分別取x=i，m，u，得k1，k2，k3的系數(shù)行列式為：

于是k1=k2=k3=0，從而（x-i）（x-j），（x-m）（x-n），（x-u）（x-v）線性無(wú)關(guān).

這也就證明了｛（x-1）（x-2），（x-2）（x-3），…，（x-n）（x-n-1），…｝構(gòu)成H2（x）空間中的一個(gè)full spark框架.

2.2多元多項(xiàng)式空間中的full spark框架

作為一元多項(xiàng)式空間中full spark框架的推廣，接下來(lái)將構(gòu)造多元多項(xiàng)式空間中的full spark框架.

令Hn（x1，x2，…，xm）為m元n次實(shí)多項(xiàng)式空（其中ai∈R，對(duì)每一個(gè)i∈｛1，2，…，s｝，j∈｛1，2，…，n｝，kij為非負(fù)整數(shù)，且有ki1+ki2+…+kin≤n），給出Hn（x1，x2，…，xm）空間中的內(nèi)積：

如果，

那么，

定理2.2.1設(shè)Hn（x1，x2，…，xm）為m元n次多項(xiàng)式空間，若對(duì)?i≠j，ai≠aj則：

證明：在m元n次多項(xiàng)式集合｛P0（x1，x2，…，xm），…，Pn（x1，x2，…，xm），…｝=（對(duì)?i∈N，ai∈R，且對(duì)?p≠q，ap≠aq）中任取n+1個(gè)元素，不妨設(shè)為：（對(duì)?ik∈N，aik∈R，且對(duì)?ip≠iq，aip≠aiq）.

令：

通過(guò)推導(dǎo)，可得到未知量k0，k1，…，kn的系數(shù)行列式是一個(gè)范德蒙德行列式，即有：

于是得到k0=k1=…=kn=0，從而證得

是線性無(wú)關(guān)的，定理成立.

多元多項(xiàng)式空間中的full spark框架構(gòu)造方法并不唯一，下面將給出多元多項(xiàng)式空間中full spark框架的其他構(gòu)造方法.

推論2.2.2設(shè)Hn（x1，x2，…，xm）為m元n次多項(xiàng)式空間，若對(duì)?i，j∈R，i＜j時(shí)，有ai＜aj，則：

中的任意一組，即?i∈｛0，1，…n｝，都有

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Construct of Full Spark Frame in Polynomial Space

WANG Lili,YANG Shouzhi
（Department of Mathematics,Shantou University,Shantou 515063,GuangdongChina）

Full spark frame in Hilbert space has a greater property than other frames--the maximum robustness.In this paper,the most important work is to extent the full spark frame in the sequence space to the function space.The full spark frame is constructed in Hn（x）and Hn（x1，x2，…，xm）and some examples are qiven.

frame;full spark frame;polynomial space

O 151.2

A

1001-4217（2016）01-0007-06

2015-03-24

王莉莉（1991—），女，山東平度人，在讀碩士研究生.研究方向：小波分析及其應(yīng)用. E-mail：675139090@qq.com