坐標轉(zhuǎn)換求解算法分析與研究*

李　勇，楊德宏

(1.大理州國土資源規(guī)劃研究院，云南 大理　671000； 2.昆明理工大學(xué) 國土資源工程學(xué)院，云南 昆明　650093)

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坐標轉(zhuǎn)換求解算法分析與研究*

李勇1，楊德宏2

(1.大理州國土資源規(guī)劃研究院，云南 大理671000； 2.昆明理工大學(xué) 國土資源工程學(xué)院，云南 昆明650093)

在大地測量或工程測量實踐中，不可避免的需要解決測量坐標系統(tǒng)建立及坐標轉(zhuǎn)換的問題。文章以布爾沙轉(zhuǎn)換模型為基礎(chǔ)，對坐標轉(zhuǎn)換的5種求解算法進行分析，并以某工程為例，采用MATLAB軟件編程進行計算比對分析，結(jié)果表明：坐標重心化算法求解轉(zhuǎn)換參數(shù)和轉(zhuǎn)換坐標，其結(jié)果出現(xiàn)異常，計算結(jié)果和理論分析發(fā)現(xiàn)，該算法不適合布爾沙轉(zhuǎn)換模型，而其余4種算法求出的坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)和坐標轉(zhuǎn)換結(jié)果相當，能保證精度，具有可靠性。

布爾沙模型；坐標轉(zhuǎn)換算法；對比分析

0　引言

實施坐標轉(zhuǎn)換，如果已知轉(zhuǎn)換參數(shù)，那么應(yīng)用轉(zhuǎn)換公式直接進行坐標轉(zhuǎn)換計算即可，但實際面臨的情況往往是轉(zhuǎn)換參數(shù)未知，為此需要使用公共點求解轉(zhuǎn)換參數(shù)，且一般都有多余方程，為得到唯一解，在滿足最小二乘原則的基本前提下有最小二乘算法、坐標重心化算法、基于尺度因子算法、最小二乘分解算法等擴展算法。本文以布爾沙模型為基礎(chǔ)，以某工程為例，分析不同算法的適宜性和解算精度。

1　布爾沙模型

布爾沙模型計算公式如下：

2　衡量坐標轉(zhuǎn)換精度指標

重合點殘差：

V=重合點轉(zhuǎn)換坐標值-重合點已知坐標值

(2)

空間點位中誤差：

(3)

3　幾種坐標轉(zhuǎn)換求解算法分析

3.1傳統(tǒng)最小二乘算法

以重合點的原坐標系坐標和目標坐標系坐標為觀測值，建立誤差方程，按VTPV=min的原則組成法方程，進而求逆解算法方程得到作為未知數(shù)的轉(zhuǎn)換參數(shù)。

3.2最小二乘分解法

用傳統(tǒng)最小二乘算法，需要對7階矩陣求逆，坐標轉(zhuǎn)換中坐標數(shù)據(jù)量較大，可能出現(xiàn)求逆的數(shù)值不穩(wěn)定。為此，可采用最小二乘分解算法，其基本思想是把布爾沙7參數(shù)法模型作線性表達[2]：

AS=B

(4)

S=[ΔxΔyΔzkεxεyεz]T；

B=[XTYTZT]T。

把系數(shù)矩陣A分解為以下形式：

A=QR

(5)

式中：Q為N×7列的正交矩陣；R為7×7階的上三角矩陣。式(4)表達為：

RS=QTB

(6)

運用以上方法求解坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)過程中不需要對矩陣求逆也可得到坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)S的最小二乘解。

3.3坐標重心化求解算法

工程實際應(yīng)用中，重合坐標點在局部區(qū)域，可能僅分布在空間直角坐標系中的某一象限，并不是均勻的分布在空間直角坐標系中，其轉(zhuǎn)換過程中會影響布爾沙7參數(shù)的精度，增加轉(zhuǎn)換模型的誤差。為此，提出原點坐標重心化算法。該方法是先將兩個坐標系的原點平移至公共點的重心位置，重新建立空間直角坐標，使坐標點在新坐標系中均勻分布，進而得到7參數(shù)，得到過渡的布爾沙模型，解算出重心化坐標系中的坐標，然后再平移換算到相應(yīng)坐標系中[3]。

3.4基于尺度因子求解算法

坐標轉(zhuǎn)換模型本身是一個非線性函數(shù)，通常是將非線性轉(zhuǎn)化為線性后求解，這種線性處理增加旋轉(zhuǎn)矩陣中各項旋轉(zhuǎn)參數(shù)的誤差。針對尺度因子，從兩個空間直角坐標系中同一線段的長度比出發(fā)，通過多個公共點組成的多條公共線段，首先通過條件平差，得出具有高精度的尺度因子m，然后將尺度因子m作為已知值代入7參數(shù)轉(zhuǎn)換模型中，變成含有6參數(shù)的轉(zhuǎn)換模型，通過公共點以及最小二乘配置法得出剩余6參數(shù)[4]。

3.5總體最小二乘算法

在高斯-馬爾科夫模型中采用最小二乘配置法對其誤差方程進行求解過程中，首先假設(shè)觀測向量L中含有偶然誤差，而其系數(shù)矩陣A中是不含有偶然誤差的。如果系數(shù)矩陣A中存在偶然誤差或者擾動時，基于統(tǒng)計學(xué)觀點看來，基于最小二乘配置法求出的估值將不再是最優(yōu)解，是存有偏差的。最小二乘也就是ATPA=min，其中由于A中存在偏差，則其偏差的協(xié)方差因噪聲誤差的影響而增加。所以，在考慮系數(shù)矩陣A中存在偏差時，應(yīng)考慮采用其他的推廣最小二乘配置方法[5]。由于總體最小二乘算法中，解算方法多樣，本文采用傳統(tǒng)的迭代算法[6]。

4　不同坐標轉(zhuǎn)換求解算法的計算結(jié)果及對比分析

4.1應(yīng)用實例

本文采用某測區(qū)11個工程實測重合點的WGS-84和1980西安坐標系，利用MATLAB軟件編程，進行計算對比分析，坐標數(shù)據(jù)見表1，由于測繪數(shù)據(jù)的保密性，坐標數(shù)據(jù)的前5位省略。

表1　工程實例數(shù)據(jù)

4.2不同坐標轉(zhuǎn)換求解算法計算結(jié)果對比與分析

在此針對最小二乘算法，坐標重心化算法，最小二乘分解算法，基于尺度因子求解算法，總體最小二乘算法這5種算法進行分析。因測區(qū)呈面狀，1、2、3、4、5號點為四等點，保存較好，1、2、3號點相對分布均勻，6、7、8、9、10、11號點為一級點，為此設(shè)計兩種方案：計算方案一，以1、2、3號點作為公共點，4、5號點作為檢驗比對點；計算方案二，以1、2、3、4、5號點作為公共點，10、11號點作為檢驗比對點。分別以5種方法計算轉(zhuǎn)換參數(shù)并將WGS-84坐標系坐標轉(zhuǎn)換為1980西安坐標系坐標，根據(jù)計算結(jié)果進行對比分析。結(jié)果顯示：兩種方案計算結(jié)果一致，因篇幅限制僅列出方案1的計算成果。

應(yīng)用MATAB軟件編程，得到幾種不同轉(zhuǎn)換算法求解的轉(zhuǎn)換參數(shù)，見表2。

表2　坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)

表2(續(xù))

轉(zhuǎn)換參數(shù)傳統(tǒng)最小二乘算法重心化求解算法最小二乘分解算法尺度因子求解算法總體最小二乘算法ΔZ4.35329687375.45866666674.3532968564.37606401774.3729663268m-0.0000011261-0.0000089755-0.0000011261-0.0000011343-0.0000011341εX0.00000291052-0.00000032390.000002910520.00000291050.0000029010εY-0.00000668760.0000105875-0.000006687639-0.0000066876-0.00000668751εZ0.000017087480.99999571460.00001708750.00001708750.00001708671

求得轉(zhuǎn)換參數(shù)后，對4、5號點進行坐標轉(zhuǎn)換，得到的坐標殘差及點位偏差，見表3。

表3　坐標點位殘差及偏差

通過表2及表3對比發(fā)現(xiàn)：坐標重心化算法求解轉(zhuǎn)換參數(shù)偏差較大，其余4種算法坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)結(jié)果相當；坐標重心化求解方法得出的4、5號點位偏差分別為215.590 7 mm與389.243 4 mm，而其余4種算法得出的4、5號點位偏差平均值分別為6.550 9 mm與6.321 0 mm。

5　結(jié)論

通過前文的分析，筆者得出如下結(jié)論：

1)傳統(tǒng)最小二乘算法和最小二乘分解算法結(jié)果一致，尺度因子求解算法和總體最小二乘算法結(jié)果一致，這4種算法求得的坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)和坐標轉(zhuǎn)換結(jié)果相當，能保證精度，具有可靠性；

2)坐標重心化算法實施坐標轉(zhuǎn)換計算誤差較大，從理論上分析其根本原因是布爾沙模型旋轉(zhuǎn)參數(shù)和平移參數(shù)相關(guān)性較強[7]，坐標重心化算法中因原點重心化改變了平移性質(zhì)進而影響旋轉(zhuǎn)參數(shù)求解精度，導(dǎo)致轉(zhuǎn)換誤差較大，實際應(yīng)用中坐標重心化算法不適宜于布爾沙模型。

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Analysis and Research on Algorithm of Coordinate Transformation

LI Yong1，YANG De-hong2

(1.Dali Institute of Land and Resources Planning and Research，Dali Yunnan 671000，China； 2.College of Land and Resources Engineering，Kunming University of Science and Technology，Kunming Yunnan 650093，China)

In the practice of geodetic surveying and engineering surveying，it is inevitable to solve the problem of establishment of measuring coordinate system and coordinate transformation.This paper analyses and studies 5 kinds of coordinate transformation algorithm based on the Bursa model.The related calculation and comparison analysis are carried out by using engineering instance data and MATLAB software programming.The results indicate that using coordinate centralization algorithm to solve conversion parameters and coordinate appear abnormal.Through the calculation results and theoretical analysis，the coordinate centralization algorithm is not suitable for Bursa model.The coordinate conversion parameters and results obtained by the other 4 algorithms are very close,and can ensure the accuracy.Therefore，the other 4 algorithms are reliable.

Bursa model；coordinate transformation algorithm；comparative analysis

2016-04-01

P 226+.3

B

1007-9394(2016)03-0029-03

李勇(1975～)，男，云南大理人，學(xué)士，高級工程師，現(xiàn)主要從事工程測量與土地規(guī)劃設(shè)計方面的工作。