不確定高階MIMO系統(tǒng)的指對數(shù)型終端滑?？刂?/h1>
2016-10-27 14:11:00傅佳燁牛玉剛華東理工大學化工過程先進控制和優(yōu)化技術(shù)教育部重點實驗室上海200237
華東理工大學學報(自然科學版) 2016年1期
傅佳燁， 牛玉剛（華東理工大學化工過程先進控制和優(yōu)化技術(shù)教育部重點實驗室，上海 200237）
不確定高階MIMO系統(tǒng)的指對數(shù)型終端滑?？刂?/p>
傅佳燁， 牛玉剛
（華東理工大學化工過程先進控制和優(yōu)化技術(shù)教育部重點實驗室，上海 200237）
針對一類不確定高階MIMO線性系統(tǒng)，提出了一種新型指對數(shù)型終端滑?？刂品椒āＫO(shè)計的非線性指對數(shù)型終端滑模面，不僅能保證滑模動態(tài)的有限時間穩(wěn)定，而且具有更快的收斂速度。同時，滑?？刂破髂軌虮ＷC滑模面的有限時間可達性。最后，通過數(shù)值仿真驗證了本文方法的有效性。
終端滑?？刂疲籑IMO系統(tǒng)；指對數(shù)型
在實際工業(yè)生產(chǎn)過程中，控制系統(tǒng)常常受到各種不確定性的影響，包括系統(tǒng)參數(shù)攝動以及外界干擾等，這些不確定性不僅會影響系統(tǒng)性能，嚴重時甚至會導致系統(tǒng)失穩(wěn)，因而對于不確定系統(tǒng)的研究一直都是控制領(lǐng)域的研究熱點?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制由于其對系統(tǒng)參數(shù)攝動以及外界干擾具有良好的魯棒性［1］，成為處理不確定系統(tǒng)控制問題的一種有效的魯棒控制方法。
傳統(tǒng)的線性滑模面雖然能保證系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面漸近穩(wěn)定（即當時間趨于無窮大時，狀態(tài)漸近收斂于狀態(tài)原點），卻不能實現(xiàn)有限時間收斂。然而在許多實際應用中（例如剛性機器人的控制、航天航空中的飛行器控制等），常常要求系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時間內(nèi)收斂到平衡點。終端滑?？刂疲═erminal Sliding Mode Control，TSMC）方法正是針對這個問題提出的［2-3］，其主要思想是采用非線性滑模面，使得系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面后能夠在有限時間內(nèi)收斂到平衡點。針對二階系統(tǒng)，文獻［4-7］分別提出了快速、指數(shù)型、對數(shù)型、指對數(shù)型等終端滑模面，提高了系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上的收斂速度。文獻［8-9］提出非奇異終端滑模面，解決了終端滑?？刂频钠娈愋詥栴}。文獻［10］提出了非奇異快速終端滑模面。然而，針對高階MIMO線性系統(tǒng)，終端滑模控制的研究成果相對比較少［11-14］，主要是因為終端滑模最初是針對二階系統(tǒng)提出的，不像傳統(tǒng)的線性滑?？刂品椒?，很難直接推廣到高階多輸入系統(tǒng)。這也是目前終端滑?？刂圃诟唠A多輸入系統(tǒng)研究中的一個難點。
本文針對一類不確定高階MIMO線性系統(tǒng)，提出了一種新型指對數(shù)型終端滑模面，同時設(shè)計相應的滑?？刂破?，使得系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時間內(nèi)收斂到平衡點，且收斂速度快于已有的高階終端滑?？刂?。
1 系統(tǒng)描述
其中：X（t）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)變量；U（t）∈Rm為系統(tǒng)控制輸入；A∈Rn×n和B∈Rm×n是已知的系統(tǒng)參數(shù)矩陣；ΔA（t）和F（t）分別代表未知的系統(tǒng)參數(shù)攝動矩陣和外界干擾。假定系統(tǒng)滿足以下假設(shè)：
（1）標稱系統(tǒng)（A，B）可控，且B列滿秩；（2）ΔA（t）、F（t）滿足以下匹配條件：
不同于文獻［11］，本文考慮的系統(tǒng)模型滿足式（2）～式（3）所示的匹配條件，是為了在后面的設(shè)計過程中使得系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂到平衡點，而不是平衡點附加的一個鄰域內(nèi)。
考慮如下不確定高階MIMO線性系統(tǒng)
2 指對數(shù)型終端滑模面的設(shè)計
2.1系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換
由B列滿秩可知，存在可逆矩陣T使得TB= ［0 B2］T成立，其中B2∈Rm×m是滿秩矩陣，且有
由于Z（t）與X（t）呈線性關(guān)系，當Z（t）→0時，X（t）→0。這樣所研究的問題等價于對系統(tǒng)（4）進行終端滑模設(shè)計，使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂到零。
2.2指對數(shù)型終端滑模面設(shè)計及穩(wěn)定性分析
文獻［7］提出了如下的指對數(shù)型終端滑模面：
式中：x∈R；a＞0；β＞0；p，q滿足q＜p＜2q且為正奇數(shù)。從式（5）可以看出，一般指對數(shù)型終端滑模面適用于SISO系統(tǒng)，而不能直接應用到MIMO系統(tǒng)。
本文將式（5）所示的指對數(shù)型終端滑模面拓展到式（4）所示的MIMO系統(tǒng)中，設(shè)計指對數(shù)型終端滑模面為
式中，G（t）和H（t）分別定義如下：
其中：pi，qi滿足qi＜pi＜2qi，（i=1，…，n－m）且為正奇數(shù)。
另外，式（6）中C1∈Rm×（n－m），C2∈Rm×m，C3∈Rm×（n－m），C4∈Rm×（n－m）為終端滑模面的參數(shù)矩陣，其中C2是一個滿秩矩陣，即rank（C2）=m。設(shè)計C1、C2、C3、C4滿足以下條件：
其中，ai＞0，βi＞0，（i=1，…，n－m）。
按照滑?？刂评碚?，當系統(tǒng)（4）沿指對數(shù)型終端滑模面式（5）運動時，系統(tǒng)的狀態(tài)方程降為n－m階。由式（5）可以得到
將式（8）代入式（4），可以得到n－m階滑模動態(tài)方程為
下面分析不確定高階MIMO系統(tǒng)沿指對數(shù)型終端滑模面（式（6））運動時，系統(tǒng)動態(tài)在有限時間內(nèi)收斂到平衡點，同時系統(tǒng)（8）也在有限時間內(nèi)收斂到平衡點。
定理1 對于不確定高階MIMO線性系統(tǒng)（4），設(shè)計指對數(shù)型終端滑模面（式（6）），且滑模面參數(shù)矩陣滿足條件式（7），則系統(tǒng)狀態(tài)Z1（t）在到達滑模面后將在有限時間內(nèi)收斂到平衡點，同時Z2（t）也將在有限時間內(nèi)收斂到平衡點。
證明
（1）穩(wěn)定性。當系統(tǒng)狀態(tài)變量進入滑模面后，可以得到式（9）所示的滑動模態(tài)方程，將滑模面參數(shù)矩陣條件式（7）代入式（9），有
即Z1（t）每個標量zi均滿足：
由式（11）可知，zi滿足一般指對數(shù)型終端滑模面的形式。
選取Lyapunov函數(shù)V1：
對式（12）求導，可得
由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。
（2）有限時間可達。當系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面時，由以上分析過程可知，式（11）可以表示為
由式（14）、式（15）可得
由一階線性微分方程通解求解理論，式（16）的解為
其中，tr為系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)到達滑模面的時刻。
我們知道，當系統(tǒng)狀態(tài)到達平衡點時f（zi，tsi）= 0，即y（tsi）=0。根據(jù)式（17），可求得zi將在有限時間tsi內(nèi)沿滑模面到達平衡點：
由此證明Z1（t）是有限時間穩(wěn)定的，并且根據(jù)式（8）可知Z2（t）也是有限時間穩(wěn)定的，即系統(tǒng)狀態(tài)在到達滑模面后將在有限時間內(nèi)收斂到平衡點，且有限時間滿足證畢。
3 終端滑?？刂破鞯脑O(shè)計
對式（19）求導，可得
定理1給出了系統(tǒng)狀態(tài)沿終端滑模面有限時間穩(wěn)定的充分條件。進一步設(shè)計終端滑模控制器保證系統(tǒng)狀態(tài)軌跡能在有限時間內(nèi)到達滑模面S（t）=0。
為使滑動模態(tài)的可達性條件成立，設(shè)計終端滑模控制器如下：
將所設(shè)計的終端滑?？刂破魇剑?2）、式（23）代入式（21），可以得到
由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知，系統(tǒng)（4）在有限時間內(nèi)到達滑模面，收劍時間滿足
由以上分析過程可以得到定理2。
定理2 對于不確定高階MIMO系統(tǒng)（4）和指對數(shù)型終端滑模面（式（5）～式（7）），終端滑?？刂破鳛槭剑?2）、式（23）可以保證系統(tǒng)（4）在有限時間內(nèi)到達滑模面S=0。
由定理1和定理2可知，對于任意初始狀態(tài)，系統(tǒng)狀態(tài)Z（t）將在有限時間t=ts＋tr內(nèi)到達平衡點，因此，系統(tǒng)狀態(tài)X（t）將在有限時間內(nèi)到達平衡點。
4 仿真研究
考慮不確定高階MIMO系統(tǒng)（1），其參數(shù)分別為
則變換后系統(tǒng)（4）的參數(shù)分別為
根據(jù)滑模面參數(shù)矩陣滿足條件式（7），選取指對數(shù)型終端滑模面各參數(shù)如下：
按照所設(shè)計的滑?？刂破鳎ㄊ剑?9）～式（20）），選取控制器各參數(shù)：
為驗證本文設(shè)計的指對數(shù)型終端滑模控制（ELTSMC）的有效性，分別與已有的快速終端滑模控制（FTSMC）和指數(shù)型終端滑?？刂疲‥TSMC）進行仿真比較。其中，快速終端滑?？刂茷?/p>
指數(shù)型終端滑?？刂茷?/p>
其余參數(shù)相同，仿真步長設(shè)為0.1 s，系統(tǒng)初始狀態(tài)X（0）=［－0.4－0.6 0.5 0.1］T。
圖1～圖3和圖4～圖6分別示出了系統(tǒng)狀態(tài)變量和滑模變量在3種控制方法下的響應曲線。在快速終端滑?？刂品椒ㄏ拢到y(tǒng)狀態(tài)經(jīng)過大約1.7 s到達滑模面；在指數(shù)型終端滑模控制方法下，系統(tǒng)狀態(tài)1.4 s左右后到達滑模面；而本文提出的指對數(shù)型終端滑?？刂品椒梢员ＷC狀態(tài)到達滑模面所需的時間最短，大約為1.2 s。由仿真結(jié)果可知，指對數(shù)型終端滑?？刂频氖諗克俣瓤煊诳焖俳K端滑模控制和指數(shù)型終端滑?？刂?。
圖1 快速終端滑模狀態(tài)響應曲線Fig.1 System state trajectories of FTSMC
圖2 指數(shù)型終端滑模狀態(tài)響應曲線Fig.2 System state trajectories of ETSMC
圖3 指對數(shù)型終端滑模狀態(tài)響應曲線Fig.3 System state trajectories of ELTSMC
圖4 快速終端滑模滑模面曲線Fig.4 Sliding variables trajectories of FTSMC
圖5 指數(shù)型終端滑?；Ｃ媲€Fig.5 Sliding variables trajectories of ETSMC
圖6 指對數(shù)型終端滑模滑模面曲線Fig.6 Sliding variables trajectories of ELTSMC
圖7～圖9示出了3種控制方法下的控制信號。可以看出，指對數(shù)型終端滑?？刂品椒ㄅc快速終端滑?？刂品椒ㄏ啾?，它的控制輸入曲線波動要更大一點；但是與指數(shù)型終端滑?？刂品椒ㄏ啾龋瑑烧叩妮斎肭€波動就相差不大了。
圖7 快速終端滑?？刂戚斎肭€Fig.7 Control inputs trajectories of FTSMC
圖8 指數(shù)型終端滑?？刂戚斎肭€Fig.8 Control inputs trajectories of ETSMC
圖9 指對數(shù)型終端滑模控制輸入曲線Fig.9 Control inputs trajectories of ELTSMC
5 結(jié) 論
本文研究了不確定MIMO線性系統(tǒng)的終端滑?？刂茊栴}，提出了新型指對數(shù)型終端滑?？刂品椒āＤ軌虮ＷC不確定MIMO線性系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，并使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)以較快的速度收斂到平衡點，收斂速度快于快速終端滑?？刂坪蛯?shù)型終端滑?？刂品椒ǎ瑫r對系統(tǒng)的時變不確定部分也有較強的魯棒性。但是，相較于快速終端滑模控制方法，指對數(shù)型終端滑模控制方法的快速收斂性是以控制信號的增大為代價的。因此，如何將控制信號輸入波動限定在系統(tǒng)可承受的范圍內(nèi)是下一步工作的重點。
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［4］ YU Xinghuo，MAN Zhihong.Fast terminal sliding-mode control design for nonlinear dynamical systems［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems，2002，49（2）：261-264.
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An Exponent-Logarithmic Terminal Sliding Mode Control for Uncertain High-Order MIMO Systems
FU Jia-ye， NIU Yu-gang
（Key Laboratory of Advanced Control and Optimization for Chemical Process，Ministry of Education，East China University of Science and Technology，Shanghai 200237，China）
In this paper，an exponent-logarithmic terminal sliding mode control scheme is presented for a class of uncertain high-order MIMO systems.An exponent-logarithmic nonlinear sliding surface is proposed such that the states along the specified sliding surface attain the equilibrium point in finite time with a faster convergence rate.Moreover，a sliding mode controller is designed to guarantee the finite-time reachability of the specified sliding surface.Finally，the simulation results illustrate the effectiveness of the proposed exponent-logarithmic terminal sliding mode control strategy.
terminal sliding mode control；MIMO systems；exponent-logarithmic
TP273
A
1006-3080（2016）01-0085-06 DOI：10.14135/j.cnki.1006-3080.2016.01.014
2015-04-21
國家自然科學基金（61273073，61374107）；上海市優(yōu)秀科技帶頭人（14XD1420900）
傅佳燁（1990-），女，浙江寧波人，碩士生，研究方向為終端滑?？刂啤-mail：940324037@qq.com
牛玉剛，E-mail：acniuyg@ecust.edu.cn
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傅佳燁， 牛玉剛（華東理工大學化工過程先進控制和優(yōu)化技術(shù)教育部重點實驗室，上海 200237）
不確定高階MIMO系統(tǒng)的指對數(shù)型終端滑?？刂?/p>
傅佳燁， 牛玉剛
（華東理工大學化工過程先進控制和優(yōu)化技術(shù)教育部重點實驗室，上海 200237）
針對一類不確定高階MIMO線性系統(tǒng)，提出了一種新型指對數(shù)型終端滑?？刂品椒āＫO(shè)計的非線性指對數(shù)型終端滑模面，不僅能保證滑模動態(tài)的有限時間穩(wěn)定，而且具有更快的收斂速度。同時，滑?？刂破髂軌虮ＷC滑模面的有限時間可達性。最后，通過數(shù)值仿真驗證了本文方法的有效性。
終端滑?？刂疲籑IMO系統(tǒng)；指對數(shù)型
在實際工業(yè)生產(chǎn)過程中，控制系統(tǒng)常常受到各種不確定性的影響，包括系統(tǒng)參數(shù)攝動以及外界干擾等，這些不確定性不僅會影響系統(tǒng)性能，嚴重時甚至會導致系統(tǒng)失穩(wěn)，因而對于不確定系統(tǒng)的研究一直都是控制領(lǐng)域的研究熱點?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制由于其對系統(tǒng)參數(shù)攝動以及外界干擾具有良好的魯棒性［1］，成為處理不確定系統(tǒng)控制問題的一種有效的魯棒控制方法。
傳統(tǒng)的線性滑模面雖然能保證系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面漸近穩(wěn)定（即當時間趨于無窮大時，狀態(tài)漸近收斂于狀態(tài)原點），卻不能實現(xiàn)有限時間收斂。然而在許多實際應用中（例如剛性機器人的控制、航天航空中的飛行器控制等），常常要求系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時間內(nèi)收斂到平衡點。終端滑?？刂疲═erminal Sliding Mode Control，TSMC）方法正是針對這個問題提出的［2-3］，其主要思想是采用非線性滑模面，使得系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面后能夠在有限時間內(nèi)收斂到平衡點。針對二階系統(tǒng)，文獻［4-7］分別提出了快速、指數(shù)型、對數(shù)型、指對數(shù)型等終端滑模面，提高了系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上的收斂速度。文獻［8-9］提出非奇異終端滑模面，解決了終端滑?？刂频钠娈愋詥栴}。文獻［10］提出了非奇異快速終端滑模面。然而，針對高階MIMO線性系統(tǒng)，終端滑模控制的研究成果相對比較少［11-14］，主要是因為終端滑模最初是針對二階系統(tǒng)提出的，不像傳統(tǒng)的線性滑?？刂品椒?，很難直接推廣到高階多輸入系統(tǒng)。這也是目前終端滑?？刂圃诟唠A多輸入系統(tǒng)研究中的一個難點。
本文針對一類不確定高階MIMO線性系統(tǒng)，提出了一種新型指對數(shù)型終端滑模面，同時設(shè)計相應的滑?？刂破?，使得系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時間內(nèi)收斂到平衡點，且收斂速度快于已有的高階終端滑?？刂?。
1 系統(tǒng)描述
其中：X（t）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)變量；U（t）∈Rm為系統(tǒng)控制輸入；A∈Rn×n和B∈Rm×n是已知的系統(tǒng)參數(shù)矩陣；ΔA（t）和F（t）分別代表未知的系統(tǒng)參數(shù)攝動矩陣和外界干擾。假定系統(tǒng)滿足以下假設(shè)：
（1）標稱系統(tǒng)（A，B）可控，且B列滿秩；（2）ΔA（t）、F（t）滿足以下匹配條件：
不同于文獻［11］，本文考慮的系統(tǒng)模型滿足式（2）～式（3）所示的匹配條件，是為了在后面的設(shè)計過程中使得系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂到平衡點，而不是平衡點附加的一個鄰域內(nèi)。
考慮如下不確定高階MIMO線性系統(tǒng)
2 指對數(shù)型終端滑模面的設(shè)計
2.1系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換
由B列滿秩可知，存在可逆矩陣T使得TB= ［0 B2］T成立，其中B2∈Rm×m是滿秩矩陣，且有
由于Z（t）與X（t）呈線性關(guān)系，當Z（t）→0時，X（t）→0。這樣所研究的問題等價于對系統(tǒng)（4）進行終端滑模設(shè)計，使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂到零。
2.2指對數(shù)型終端滑模面設(shè)計及穩(wěn)定性分析
文獻［7］提出了如下的指對數(shù)型終端滑模面：
式中：x∈R；a＞0；β＞0；p，q滿足q＜p＜2q且為正奇數(shù)。從式（5）可以看出，一般指對數(shù)型終端滑模面適用于SISO系統(tǒng)，而不能直接應用到MIMO系統(tǒng)。
本文將式（5）所示的指對數(shù)型終端滑模面拓展到式（4）所示的MIMO系統(tǒng)中，設(shè)計指對數(shù)型終端滑模面為
式中，G（t）和H（t）分別定義如下：
其中：pi，qi滿足qi＜pi＜2qi，（i=1，…，n－m）且為正奇數(shù)。
另外，式（6）中C1∈Rm×（n－m），C2∈Rm×m，C3∈Rm×（n－m），C4∈Rm×（n－m）為終端滑模面的參數(shù)矩陣，其中C2是一個滿秩矩陣，即rank（C2）=m。設(shè)計C1、C2、C3、C4滿足以下條件：
其中，ai＞0，βi＞0，（i=1，…，n－m）。
按照滑?？刂评碚?，當系統(tǒng)（4）沿指對數(shù)型終端滑模面式（5）運動時，系統(tǒng)的狀態(tài)方程降為n－m階。由式（5）可以得到
將式（8）代入式（4），可以得到n－m階滑模動態(tài)方程為
下面分析不確定高階MIMO系統(tǒng)沿指對數(shù)型終端滑模面（式（6））運動時，系統(tǒng)動態(tài)在有限時間內(nèi)收斂到平衡點，同時系統(tǒng)（8）也在有限時間內(nèi)收斂到平衡點。
定理1 對于不確定高階MIMO線性系統(tǒng)（4），設(shè)計指對數(shù)型終端滑模面（式（6）），且滑模面參數(shù)矩陣滿足條件式（7），則系統(tǒng)狀態(tài)Z1（t）在到達滑模面后將在有限時間內(nèi)收斂到平衡點，同時Z2（t）也將在有限時間內(nèi)收斂到平衡點。
證明
（1）穩(wěn)定性。當系統(tǒng)狀態(tài)變量進入滑模面后，可以得到式（9）所示的滑動模態(tài)方程，將滑模面參數(shù)矩陣條件式（7）代入式（9），有
即Z1（t）每個標量zi均滿足：
由式（11）可知，zi滿足一般指對數(shù)型終端滑模面的形式。
選取Lyapunov函數(shù)V1：
對式（12）求導，可得
由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。
（2）有限時間可達。當系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面時，由以上分析過程可知，式（11）可以表示為
由式（14）、式（15）可得
由一階線性微分方程通解求解理論，式（16）的解為
其中，tr為系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)到達滑模面的時刻。
我們知道，當系統(tǒng)狀態(tài)到達平衡點時f（zi，tsi）= 0，即y（tsi）=0。根據(jù)式（17），可求得zi將在有限時間tsi內(nèi)沿滑模面到達平衡點：
由此證明Z1（t）是有限時間穩(wěn)定的，并且根據(jù)式（8）可知Z2（t）也是有限時間穩(wěn)定的，即系統(tǒng)狀態(tài)在到達滑模面后將在有限時間內(nèi)收斂到平衡點，且有限時間滿足證畢。
3 終端滑?？刂破鞯脑O(shè)計
對式（19）求導，可得
定理1給出了系統(tǒng)狀態(tài)沿終端滑模面有限時間穩(wěn)定的充分條件。進一步設(shè)計終端滑模控制器保證系統(tǒng)狀態(tài)軌跡能在有限時間內(nèi)到達滑模面S（t）=0。
為使滑動模態(tài)的可達性條件成立，設(shè)計終端滑模控制器如下：
將所設(shè)計的終端滑?？刂破魇剑?2）、式（23）代入式（21），可以得到
由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知，系統(tǒng)（4）在有限時間內(nèi)到達滑模面，收劍時間滿足
由以上分析過程可以得到定理2。
定理2 對于不確定高階MIMO系統(tǒng)（4）和指對數(shù)型終端滑模面（式（5）～式（7）），終端滑?？刂破鳛槭剑?2）、式（23）可以保證系統(tǒng)（4）在有限時間內(nèi)到達滑模面S=0。
由定理1和定理2可知，對于任意初始狀態(tài)，系統(tǒng)狀態(tài)Z（t）將在有限時間t=ts＋tr內(nèi)到達平衡點，因此，系統(tǒng)狀態(tài)X（t）將在有限時間內(nèi)到達平衡點。
4 仿真研究
考慮不確定高階MIMO系統(tǒng)（1），其參數(shù)分別為
則變換后系統(tǒng)（4）的參數(shù)分別為
根據(jù)滑模面參數(shù)矩陣滿足條件式（7），選取指對數(shù)型終端滑模面各參數(shù)如下：
按照所設(shè)計的滑?？刂破鳎ㄊ剑?9）～式（20）），選取控制器各參數(shù)：
為驗證本文設(shè)計的指對數(shù)型終端滑模控制（ELTSMC）的有效性，分別與已有的快速終端滑模控制（FTSMC）和指數(shù)型終端滑?？刂疲‥TSMC）進行仿真比較。其中，快速終端滑?？刂茷?/p>
指數(shù)型終端滑?？刂茷?/p>
其余參數(shù)相同，仿真步長設(shè)為0.1 s，系統(tǒng)初始狀態(tài)X（0）=［－0.4－0.6 0.5 0.1］T。
圖1～圖3和圖4～圖6分別示出了系統(tǒng)狀態(tài)變量和滑模變量在3種控制方法下的響應曲線。在快速終端滑?？刂品椒ㄏ拢到y(tǒng)狀態(tài)經(jīng)過大約1.7 s到達滑模面；在指數(shù)型終端滑模控制方法下，系統(tǒng)狀態(tài)1.4 s左右后到達滑模面；而本文提出的指對數(shù)型終端滑?？刂品椒梢员ＷC狀態(tài)到達滑模面所需的時間最短，大約為1.2 s。由仿真結(jié)果可知，指對數(shù)型終端滑?？刂频氖諗克俣瓤煊诳焖俳K端滑模控制和指數(shù)型終端滑?？刂?。
圖1 快速終端滑模狀態(tài)響應曲線Fig.1 System state trajectories of FTSMC
圖2 指數(shù)型終端滑模狀態(tài)響應曲線Fig.2 System state trajectories of ETSMC
圖3 指對數(shù)型終端滑模狀態(tài)響應曲線Fig.3 System state trajectories of ELTSMC
圖4 快速終端滑模滑模面曲線Fig.4 Sliding variables trajectories of FTSMC
圖5 指數(shù)型終端滑?；Ｃ媲€Fig.5 Sliding variables trajectories of ETSMC
圖6 指對數(shù)型終端滑模滑模面曲線Fig.6 Sliding variables trajectories of ELTSMC
圖7～圖9示出了3種控制方法下的控制信號。可以看出，指對數(shù)型終端滑?？刂品椒ㄅc快速終端滑?？刂品椒ㄏ啾?，它的控制輸入曲線波動要更大一點；但是與指數(shù)型終端滑?？刂品椒ㄏ啾龋瑑烧叩妮斎肭€波動就相差不大了。
圖7 快速終端滑?？刂戚斎肭€Fig.7 Control inputs trajectories of FTSMC
圖8 指數(shù)型終端滑?？刂戚斎肭€Fig.8 Control inputs trajectories of ETSMC
圖9 指對數(shù)型終端滑模控制輸入曲線Fig.9 Control inputs trajectories of ELTSMC
5 結(jié) 論
本文研究了不確定MIMO線性系統(tǒng)的終端滑?？刂茊栴}，提出了新型指對數(shù)型終端滑?？刂品椒āＤ軌虮ＷC不確定MIMO線性系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，并使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)以較快的速度收斂到平衡點，收斂速度快于快速終端滑?？刂坪蛯?shù)型終端滑?？刂品椒ǎ瑫r對系統(tǒng)的時變不確定部分也有較強的魯棒性。但是，相較于快速終端滑模控制方法，指對數(shù)型終端滑模控制方法的快速收斂性是以控制信號的增大為代價的。因此，如何將控制信號輸入波動限定在系統(tǒng)可承受的范圍內(nèi)是下一步工作的重點。
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An Exponent-Logarithmic Terminal Sliding Mode Control for Uncertain High-Order MIMO Systems
FU Jia-ye， NIU Yu-gang
（Key Laboratory of Advanced Control and Optimization for Chemical Process，Ministry of Education，East China University of Science and Technology，Shanghai 200237，China）
In this paper，an exponent-logarithmic terminal sliding mode control scheme is presented for a class of uncertain high-order MIMO systems.An exponent-logarithmic nonlinear sliding surface is proposed such that the states along the specified sliding surface attain the equilibrium point in finite time with a faster convergence rate.Moreover，a sliding mode controller is designed to guarantee the finite-time reachability of the specified sliding surface.Finally，the simulation results illustrate the effectiveness of the proposed exponent-logarithmic terminal sliding mode control strategy.
terminal sliding mode control；MIMO systems；exponent-logarithmic
TP273
A
1006-3080（2016）01-0085-06 DOI：10.14135/j.cnki.1006-3080.2016.01.014
2015-04-21
國家自然科學基金（61273073，61374107）；上海市優(yōu)秀科技帶頭人（14XD1420900）
傅佳燁（1990-），女，浙江寧波人，碩士生，研究方向為終端滑?？刂啤-mail：940324037@qq.com
牛玉剛，E-mail：acniuyg@ecust.edu.cn
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