基于三種亞格子模型的空腔振蕩流動計算

白海濤， 賴煥新（華東理工大學(xué)承壓系統(tǒng)與安全教育部重點實驗室，上海 200237）

基于三種亞格子模型的空腔振蕩流動計算

白海濤， 賴煥新
（華東理工大學(xué)承壓系統(tǒng)與安全教育部重點實驗室，上海 200237）

使用三種亞格子應(yīng)力模型，對長深比（L/D）為5的三維矩形開式空腔的可壓縮流體進(jìn)行大渦模擬計算。研究得到的空腔自激振蕩頻率與Rossiter公式計算結(jié)果和實驗結(jié)果吻合良好，結(jié)果顯示振蕩能量主要集中在較低頻率區(qū)域，壓力幅值主要出現(xiàn)在前三階模態(tài)。Dynamic Smagorinsky-Lilly（DSM）模型在空腔前后壁面附近區(qū)域的脈動強度分布比Smagorinsky-Lily （SM）模型更為接近實驗值，Wall Adapting Local Eddy Viscosity（WALE）模型的脈動強度分布與實驗值最為接近。由空腔底部監(jiān)測點聲壓級分布及聲壓頻譜圖可以看出：WALE模型性能最佳，DSM模型結(jié)果也與實驗結(jié)果相符合，SM模型的預(yù)測性能略差。

開式空腔；自激振蕩；大渦模擬；亞格子應(yīng)力模型；氣動噪聲

流體流過物體表面的空腔或缺口時，由于腔外剪切流與腔內(nèi)流動的相互作用，會出現(xiàn)自激振蕩現(xiàn)象，同時出現(xiàn)劇烈的壓力、速度脈動，并輻射產(chǎn)生強烈的噪聲，該物理現(xiàn)象稱為空腔自激振蕩?？涨蛔约ふ袷幀F(xiàn)象廣泛存在于飛行器的起落架艙、武器艙及燃燒室等部位，是典型的聲-渦干涉、非定常流和流體動力不穩(wěn)定問題。從20世紀(jì)50年代開始，人們對空腔自激振蕩流動特性做了大量研究。關(guān)于開式空腔自激振蕩物理機制，雖然有多種解釋，但最被人們接受的是Rossiter［1］提出的空腔流聲共振反饋模型并給出了預(yù)估振蕩頻率的半經(jīng)驗公式，該公式在一定精度范圍內(nèi)能夠較為準(zhǔn)確地預(yù)測空腔流激振蕩的峰值頻率，成為評價數(shù)值模擬結(jié)果的重要標(biāo)準(zhǔn)。

隨著計算流體力學(xué)的發(fā)展，空腔聲學(xué)特性的數(shù)值研究得到廣泛開展［2］。湍流直接模擬（DNS）能夠分辨所有能量尺度的渦，但目前局限于低雷諾數(shù)的情況。雷諾平均（RANS）能夠較為準(zhǔn)確地預(yù)測前幾階模態(tài)頻率，但由于平均方法抹掉了湍流脈動部分信息，對于脈動強度的預(yù)測存在偏差。大渦模擬（LES）使用網(wǎng)格尺度的空間平均和濾波，可以保留大尺度渦運動湍流瞬態(tài)信息［3］，是目前被認(rèn)為最有前景的數(shù)值方法。目前被廣泛應(yīng)用的亞格子湍流模型有Smagorinsky-Lily（SM）模型、Dynamic Smagorinsky-Lilly（DSM）模型和Wall Adapting Local Eddy Viscosity（WALE）模型。SM模型［4］適用于各向同性的湍流流動計算，因為形式簡單，應(yīng)用方便而得到廣泛使用。湍流在黏性底層的脈動很小，相應(yīng)的雷諾應(yīng)力也很小，而壁面附近速度梯度卻很大。此時，在壁面附近SM模型產(chǎn)生過大的耗散，尤其在邊界層轉(zhuǎn)捩問題中，往往抑制了轉(zhuǎn)捩的發(fā)生或?qū)е铝鲃又匦聦恿骰?］。為了彌補SM模型的缺陷，Germano等［6］提出DSM模型，通過建立隨著時間與空間變化的亞尺度黏性系數(shù)公式，給出固體壁面上正確漸進(jìn)關(guān)系，并能預(yù)測能量逆向傳遞因而得到更廣泛關(guān)注。Moin等［7］于1991年將DSM模型應(yīng)用于可壓縮湍流。然而，DSM模型在某些流場中會得到不合理亞格子黏性系數(shù)［8］。Nicoud等［9］于1999年提出WALE模型，該模型采用速度梯度張量的平方，除了變形率張量，還考慮了旋轉(zhuǎn)張量的影響，在近壁面尺度下可以較好得到渦黏性。

雖然前人在空腔自激振蕩方面做了很多工作［10-11］，但迄今為止，關(guān)于不同亞格子模型在預(yù)測空腔自激振蕩方面的差異鮮見報道。本文采用SM、DSM和WALE三種亞格子模型對空腔自激振蕩流動特性和振蕩機理進(jìn)行分析，并將模擬計算結(jié)果與實驗結(jié)果進(jìn)行對比，分析這三種亞格子模型的優(yōu)劣，為進(jìn)一步研究空腔自激振蕩發(fā)聲機理提供參考和借鑒。

1　研究對象及網(wǎng)格

本文研究對象是M219三維矩形空腔［12］，長深比L/D=5。因為該空腔底部不會出現(xiàn)剪切層再附著情況，按照空腔靜態(tài)流動特性［13］，該空腔為開式空腔。自由來流馬赫數(shù)為M=0.85，進(jìn)口滯止壓力p0=100 996 Pa，滯止溫度T0=309.3 K，對應(yīng)的自由流速度U∞=280.2 m/s，基于空腔長度的雷諾數(shù)ReL=6.8×106。計算區(qū)域由空腔和空腔上方主流區(qū)域兩部分組成，坐標(biāo)原點在空腔底板中心處，主流區(qū)長（L′）、寬（W′）、深（D′）分別平行于空腔長（L）、寬（W）、深（D）。對整個流體區(qū)域劃分結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格采用分區(qū)劃分和局部加密技術(shù)，離壁面近處稠密，遠(yuǎn)離壁面稀疏［2］。模型尺寸及網(wǎng)格分布情況如表1和圖1所示，表1中Y＋表示第一層網(wǎng)格到壁面距離的量綱為一量，用來考察網(wǎng)格質(zhì)量的優(yōu)劣。

表1　模型尺寸及網(wǎng)格參數(shù)Table 1 Model size and mesh parameters

圖1　計算區(qū)域及網(wǎng)格分布情況Fig.1 Computational domain and distribution of the grid

在空腔底板Y=－25.4 mm的線上均勻分布P1～P10共10個監(jiān)測點，點與點之間的距離為50.8 mm，10個監(jiān)測點位置對應(yīng)英國國防科技公司QinetiQ對該空腔進(jìn)行壓力脈動測量實驗的監(jiān)測點，各個監(jiān)測點分布情況如圖2所示。

圖2　監(jiān)測點分布Fig.2 Distribution of monitoring points

2　數(shù)值計算方法

2.1控制方程與方法

可壓縮流動的連續(xù)方程、動量方程和能量方程的量綱為一形式如下：

其中：i，j分別表示沿x，y方向分量；ρ，t，u，p分別表示密度，時間，速度，壓力；σ，ET，q，S分別表示正應(yīng)力，總能量，熱通量和源項；符號頂部“－”表示普通濾波變量；“～”表示Favre濾波變量。

參考進(jìn)口自由流變量進(jìn)行量綱為一化，參照長度為空腔深度。亞格子應(yīng)力張量τij有如下定義：

采用Boussinesq假定，亞格子應(yīng)力使用式（5）計算：

其中：μt為亞網(wǎng)格湍流黏性力；τkk為亞網(wǎng)格尺度各向同性的部分；δij為應(yīng)變率；S—ij為應(yīng)力張量的速率，定義為

計算時依據(jù)實驗數(shù)據(jù)，進(jìn)口給定總溫T0和總壓p0，出口給出無反射壓力邊界條件，主流區(qū)前、后、上表面采用對稱邊界條件，其他面為無滑移固體壁面。使用Fluent軟件計算流場，采用標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型計算得到的穩(wěn)態(tài)流場作為LES的初始場。LES模型中的亞格子湍流模型分別選取SM、DSM 和WALE模型，壓力-速度耦合采用PISO算法，動量方程使用二階迎風(fēng)格式離散。時間推進(jìn)步長為5×10－6s，相當(dāng)于流體從流場流入到流出時間的1/1 488，計算總時長為0.3 s。

2.2三種亞格子（SGS）模型

SM模型是參照雷諾平均模式最早提出的SGS渦黏模型，以各向同性湍流為基礎(chǔ)，認(rèn)為亞網(wǎng)格湍流具有混合長度型渦黏系數(shù)：

1

DSM模型通過兩個不同的亞尺度應(yīng)變率張量，從已求解的區(qū)域信息計算得到Cs，Cs使用以下公式計算：

其中：Lij和Mij為二階張量；k和h為常數(shù)；a為濾波寬度比為格子過濾尺寸，模型中的其他參數(shù)與SM模型計算方法相同。模型系數(shù)Cs在空間上的變化會導(dǎo)致計算不穩(wěn)定，為了保證計算穩(wěn)定，通常將模型系數(shù)在空間沿均勻流動方向進(jìn)行特定的平均處理。

在WALE模型中，渦黏模型：

其中：Cw默認(rèn)為0.325；gij為浮力產(chǎn)生項，其他符號與SM模型相同。WALE模型針對近壁面的流動，優(yōu)化了亞網(wǎng)格黏性的計算方式，使預(yù)測結(jié)果更加符合真實的流動。

3　結(jié)果分析

3.1空腔的平均特性

圖3給出了三種亞格子模型XOZ中心對稱面平均流向速度和平均縱向速度分布情況。

圖3中1.0＜Z/D＜2.0的區(qū)域表示主流區(qū)，三種模型的平均流向速度和平均縱向速度在主流區(qū)均吻合良好，表明了數(shù)值模擬的準(zhǔn)確性。由于剪切流與腔內(nèi)流動的相互作用，空腔內(nèi)特別是空腔后壁面附近會出現(xiàn)劇烈的壓力和速度脈動，渦黏模型的過分耗散會降低局部有效雷諾數(shù)［10］，導(dǎo)致各個亞格子模型在0＜Z/D＜1.0范圍內(nèi)的平均流向速度和平均縱向速度均有所差異。從總體上看，SM模型平均流速分布與DSM模型和WALE模型差異較大，主要是由于在空腔壁面附近存在強剪切作用，小尺度渦的強度會得到明顯加強，導(dǎo)致渦的黏性耗散作用比SM模型給定的要強，從而出現(xiàn)了上述差異［14］。在流場復(fù)雜多變的空腔后壁面處，WALE模型的平均縱向速度表現(xiàn)出與SM和DSM模型的差異，是由于上游剪切層產(chǎn)生的渦核與空腔后壁面發(fā)生碰撞，變成碎片并表現(xiàn)出高度的不規(guī)則性，造成空腔后壁面處速度分布不具備嚴(yán)格的周期性［10］，因此，即使采樣時間足夠長，不同模型的采樣時間平均值也會有一定差異。另一方面，本文LES采樣時間可能還不夠長，也是造成上述差異的原因。

圖3　XOZ中心對稱面平均流向速度和平均縱向速度Fig.3 Mean longitudinal velocity and mean vertical velocity of the central XOZ plane

圖4所示曲線為圖2中10個監(jiān)測點所在Y= －25.4 mm線上的聲壓級（SPL）分布情況，三種亞格子模型的預(yù)測結(jié)果都比實驗值略高，是由于當(dāng)用LES計算具有強剪切運動湍流時，常用的亞格子模型都會出現(xiàn)平均值偏高的現(xiàn)象［14］。自激振蕩能量從空腔后壁面到前壁面大體上呈現(xiàn)單調(diào)遞減分布，主要是因為空腔內(nèi)的自激振蕩由剪切層在空腔后壁面碰撞產(chǎn)生壓力波，當(dāng)壓力波以渦旋的形式向上游運動時，一部分能量由于在空氣中傳播衰減而變?nèi)酰硗庖徊糠帜芰吭谕牧鬟\動中，由大尺度渦旋向小尺度渦旋逐級傳遞，直到有分子黏性起顯著作用的尺度，并在該尺度下耗散為熱能。因此，出現(xiàn)了下游自激振蕩能量比上游大的趨勢。

圖4　空腔底部Y=－25.4 mm處聲壓級分布Fig.4 Sound pressure level distribution of Y=－25.4 mm in the bottom of the cavity

由SM模型與實驗結(jié)果的對比情況來看，模擬值與實驗值差別最大的地方是在空腔前、后壁面附近區(qū)域，在這兩個區(qū)域，SM渦黏模型的過分耗散降低了局部雷諾數(shù)而使大尺度渦旋的預(yù)測結(jié)果比實驗值偏大［15］。DSM模型由于動態(tài)計算CS，使得空腔前、后壁面處的聲壓級得到明顯改善。WALE模型在空腔前半段與DSM模型預(yù)測結(jié)果一致，在后半段更加接近實驗值，明顯優(yōu)于DSM模型，充分表現(xiàn)出其準(zhǔn)確預(yù)測空腔底部聲壓級分布的優(yōu)越性。

3.2空腔的瞬時特性

圖5給出了空腔自激振蕩已充分發(fā)展之后XOZ中心面一個周期（T）不同時刻的渦量等值線圖。在0.25T，空腔前緣剪切層形成了一個脫落渦（圖5 （a）），在0.50T～0.75T，脫落渦經(jīng)過空腔中部繼續(xù)向下游發(fā)展，同時渦旋強度不斷加強（圖5（b）～圖5 （c）），一個周期結(jié)束時，第1個脫落渦與空腔后壁發(fā)生碰撞，碰撞后一部分渦沿著主流區(qū)向下游運動，另一部分沿著空腔后壁向空腔底部運動，此時空腔中下游區(qū)域產(chǎn)生劇烈的自激振蕩現(xiàn)象，同時，空腔前緣剪切層又形成一個新的脫落渦（圖5（d））。因此，空腔剪切層形成的具有一定脫落頻率的渦與空腔內(nèi)流場發(fā)生相互作用，產(chǎn)生復(fù)雜的非定常特性。

圖5　空腔內(nèi)瞬時渦量發(fā)展歷程Fig.5 Instantaneous vorticity development in the cavity

采用Q準(zhǔn)則可以對流場的渦結(jié)構(gòu)進(jìn)行識別和顯示，定義為

其中，Dij和Ωij分別為速度梯度的對稱和反對稱量，因此Q是速度矢量梯度的第二Halmiton不變量，Q等值面包絡(luò)區(qū)定義了渦核分布情況。圖6給出了使用Q指標(biāo)等值面定義的渦結(jié)構(gòu)。可以看出在空腔前方及展向區(qū)域都沒有渦核的存在，由于Kelvin-Helmholtz作用，準(zhǔn)周期性渦核在空腔前緣剪切層處產(chǎn)生并快速向空腔中下游發(fā)展，渦核不斷變大，直至與空腔后壁面發(fā)生碰撞變成碎片并表現(xiàn)出高度的不規(guī)則性。

由圖5中渦量等值線的變化歷程及圖6的渦結(jié)構(gòu)情況，對空腔自激振蕩機理分析：剪切層脫落渦與空腔后壁發(fā)生碰撞產(chǎn)生一次壓力波，一次壓力波向空腔前緣傳播，擾動剪切層并激發(fā)剪切層更大的不穩(wěn)定性，產(chǎn)生新的脫落渦，形成空腔自激振蕩，完成一次反饋過程。

圖6　Q指標(biāo)定義的瞬時三維渦結(jié)構(gòu)Fig.6 Instantaneous three-dimensional vortexstructure defined by Q criterion

在本文計算中，使用的工作站為3.0 GHz主頻、20核心的DellTMPower EdgeTMT7610。計算表明在同樣網(wǎng)格數(shù)目和相同邊界條件下計算300個時間推進(jìn)步長，SM模型需要40 min，DSM模型和WALE模型均需要41 min。因此可以看出這些模型在計算效率上沒有明顯差異。

經(jīng)過三種亞格子模型計算，各個監(jiān)測點的聲壓史被記錄。由于瞬態(tài)計算的流場是一個由不穩(wěn)定狀態(tài)逐步發(fā)展到準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)的過程，最終選用經(jīng)過0.1 ～0.3 s達(dá)到準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)的215個數(shù)據(jù)進(jìn)行快速傅里葉變換（FFT）。實驗采樣時間為本文FFT變換采樣時間的20倍，因此將實驗數(shù)據(jù)均分為20段，圖7中的實驗值的壓力頻譜是20段數(shù)據(jù)的整體平均。圖7將對空腔內(nèi)有代表性的P1、P4、P7和P10進(jìn)行重點分析。為清晰表明三種亞格子應(yīng)力模型在預(yù)測空腔自激振蕩方面的差異，在P10點分別列出三種亞格子模型結(jié)果與實驗結(jié)果的對比，P1，P4和P7點處為綜合對比。

圖7　聲壓頻譜圖Fig.7 Sound pressure spectrum

三種亞格子模型的模態(tài)頻率和聲壓級與實驗值吻合良好，都在合理預(yù)測范圍之內(nèi)?？涨蛔约ふ袷幠芰恐饕性?～1 000 Hz的低頻區(qū)域，前三階模態(tài)頻率對應(yīng)的聲壓級較大，是空腔自激振蕩的主要振蕩模式。在預(yù)測精準(zhǔn)度上，三種亞格子模型仍有一定差異。表2、表3給出了P10點處三種亞格子模型前四階模態(tài)頻率及對應(yīng)聲壓級與Rossiter公式和實驗值的對比情況，括號內(nèi)數(shù)值為計算值與實驗值的相對誤差。Rossiter公式如下：

其中：fn為空腔振蕩的模態(tài)頻率，Hz；L為空腔長度，m；U∞為自由流速度；M∞為自由流馬赫數(shù)；n為模態(tài)數(shù)；κ為渦速度與自由流速度比相關(guān)的常數(shù)，κ=0.57；γ為渦通過與產(chǎn)生聲壓之間的時間延遲因子，Lionel Larcheveque認(rèn)為γ是與空腔長寬比相關(guān)的一個常數(shù)，當(dāng)L/D=5時，γ=0.29［16］。

由表2和表3可以看出，若以3%相對誤差為界限作為評價誤差大小依據(jù)，SM模型的第一、二和第四階模態(tài)頻率預(yù)測偏差較大，而WALE模型的第二階模態(tài)頻率預(yù)測準(zhǔn)確度較低。同時，SM模型和DSM模型的第一、四階模態(tài)對應(yīng)的聲壓級與實驗值差別較大。上述差異也體現(xiàn)在P1、P4和P7這三個點上。因此，可以看出，由于SM模型采用單一的Cs常數(shù)，不能準(zhǔn)確模擬有剪切流的固體壁面附近流動情況；DSM模型動態(tài)計算Cs常數(shù)的方法可以有效改善這一情況；WALE模型使用了正確的固體壁面流動的漸進(jìn)行為，各監(jiān)測點的聲壓頻譜預(yù)測與實驗值最為接近，表明WALE模型和DSM模型在預(yù)測監(jiān)測點頻率聲壓級分布方面要優(yōu)于SM模型。

表2　P10點前四階模態(tài)頻率Table 2 Frequency of the first four modes at P10

表3　P10點前四階模態(tài)聲壓級Table 3 SPL of the first four modes at P10

4　結(jié) 論

本文使用SM、DSM和WALE三種亞格子模型對三維矩形空腔自激振蕩流動進(jìn)行大渦數(shù)值模擬，并與實驗結(jié)果對比分析，得出以下結(jié)論：

（1）三種亞格子模型計算的前四階模態(tài)頻率與Rossiter公式計算結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)吻合良好，空腔自激振蕩能量主要集中在0～1 000 Hz的低頻區(qū)域，前三階模態(tài)是主要的振蕩模式，空腔自激振蕩并沒有嚴(yán)格的周期性。

（2）從計算的時間效率上來看，三種亞格子模型并無顯著差異。由空腔底部監(jiān)測點聲壓級分布及聲壓頻譜圖可以看出：WALE模型性能最佳，DSM模型也能給出與實驗相符合的結(jié)果，SM模型的預(yù)測性能略差。

（3）由于WALE模型在近壁區(qū)域計算的優(yōu)越性，相比SM和DSM模型，能更準(zhǔn)確地預(yù)測空腔自激振蕩的模態(tài)頻率和壓力幅值。該結(jié)果也間接說明亞格子模型對數(shù)值模擬結(jié)果的重要性。

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Calculation of Oscillation Flow in Open Cavity Using Three Sub-grid Scale Models

BAI Hai-tao， LAI Huan-xin
（Key Laboratory of Pressurized Systems and Safety，Ministry of Education，East China University of Science and Technology，Shanghai 200237，China）

Three sub-grid scale models are employed to calculate the compressible fluid in a three dimensional rectangular open cavity，which has a length-to-depth ratio of 5.The frequencies of sustainedoscillation in the cavity are in agreement with experimental results and the Rossiter formula.The oscillating energy mainly concentrates on the low frequency areas.The first three modes are the basic frequencies of the flow induced oscillation.The main discrepancies of sound pressure level（SPL）occur in the areas near the fore and aft walls.The results of dynamic Smagorinsky-Lilly（DSM）model are more closer to experimental data than that of Smagorinsky-Lily（SM）model.The results of Wall Adapting Local Eddy Viscosity（WALE）model are the closest to the experimental data.The results of sound pressure level and sound pressure spectrum at the bottom of the cavity demonstrate that WALE model is the best one to predict the self-sustained oscillation of the cavity，while DSM model is fairly good，SM model is slightly inaccurate.

open cavity；self-sustained oscillation；large eddy simulation；sub-grid scale model；aerodynamic noise

O353.4

A

1006-3080（2016）01-0125-07 DOI：10.14135/j.cnki.1006-3080.2016.01.020

2015-05-08

國家自然科學(xué)基金（51576067）

白海濤（1989-），男，河南南陽人，碩士生，主要從事氣動聲學(xué)的研究。E-mail：bht119@126.com

賴煥新，E-mail：hlai@ecust.edu.cn