關(guān)于方程f（k）+Ak-1f（k-1）+…＋Asf（s）+…+A1f′＋A0f＝0解的增長(zhǎng)性

胡夢(mèng)薇，孫桂榮

（蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009）

關(guān)于方程f（k）+Ak-1f（k-1）+…＋Asf（s）+…+A1f′＋A0f＝0解的增長(zhǎng)性

胡夢(mèng)薇，孫桂榮*

（蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009）

研究高階微分方程f（k）+Ak-1f（k-1）+…＋Asf（s）+…+A1f′＋A0f＝0解的增長(zhǎng)性，運(yùn)用Nevanlinna理論和復(fù)域微分方程理論，在一定條件下得到上述方程的每一個(gè)非零解都是無窮級(jí)，推廣并完善了文獻(xiàn)[1]的結(jié)果。

增長(zhǎng)級(jí)；線性微分方程；整函數(shù)

1　引言及其主要結(jié)果

文中將考慮高階的線性微分方程

其中，Aj（j=0，1，…，k-1）是整函數(shù)。文中將使用亞純函數(shù)理論的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)[2-3]。特別地，對(duì)于一個(gè)亞純函數(shù)f（z），用ρ（f）表示f（z）的增長(zhǎng)級(jí)，用λ（f），λ（1/f）分別表示f（z）的零點(diǎn)和極點(diǎn)的收斂指數(shù)。

目前，許多學(xué)者針對(duì)下面的二階方程

已經(jīng)作了許多研究。并且知道當(dāng)方程（2）的系數(shù)是整函數(shù)時(shí)，方程所有的解都是整函數(shù)。特別地，如果A，B至少有一個(gè)為超越時(shí)，并且當(dāng)f1，f2是方程（2）的兩個(gè)線性無關(guān)解時(shí)，這兩個(gè)線性無關(guān)解中至少有一個(gè)解的增長(zhǎng)級(jí)是無窮。然而，也存在一些形如（2）式的方程，它們具有有限級(jí)的非零解。例如f（z）=e-z-1滿足方程f″+ ezf′-f=0。然后，有學(xué)者繼續(xù)考慮當(dāng)系數(shù)A（z），B（z）滿足何種條件時(shí)可以保證方程（2）的每一個(gè)非零解都是無窮級(jí)的情況，得出：若A（z），B（z）都是整函數(shù)且ρ（A）＜ρ（B）；或者A（z）是多項(xiàng)式，B（z）是超越整函數(shù)；或者ρ（B）＜ρ（A）＜1/2，則方程（2）的所有非零解都是無窮級(jí)[4-5]。

自然地，如果考慮當(dāng)ρ（A）=ρ（B）或者ρ（A）＞1/2且ρ（B）＜ρ（A）時(shí)，方程（2）的所有非零解是否具有無窮級(jí)呢？一般地，這個(gè)猜想是不成立的，可以在文獻(xiàn)[6]中找到許多的反例。注意到，當(dāng)P（z）是n次多項(xiàng)式，關(guān)于形如f″+P（z）f=0的微分方程，前人已經(jīng)作了很多研究，并且總結(jié)出此方程的解的許多重要的性質(zhì)[7-8]。在文獻(xiàn)[1]中，作者通過考察方程系數(shù)的性質(zhì)，得到了如下的結(jié)果。

定理1設(shè)A（z）是方程f″+P（z）f=0的非零解，其中P（z）=anzn+…+a0（an≠0），B（z）是超越整函數(shù)且ρ（B）≤1/2，則方程f″+Af′+Bf=0的每一個(gè)非零解都是無窮級(jí)。

那么，如果繼續(xù)考慮把這里的二階方程f″+Af′+Bf=0推廣到高階方程（1）的情形，會(huì)不會(huì)同樣也有方程（1）的每一個(gè)非零解都是無窮級(jí)呢？

眾所周知，當(dāng)方程（1）的系數(shù)Aj（j=0，1，…，k-1）都是多項(xiàng)式時(shí)，方程的解都是有限級(jí)的；當(dāng)方程（1）的系數(shù)都是整函數(shù)并且ρ（Aj）＜ρ（A0）≤1/2時(shí)，方程（1）的每一個(gè)非零解都是無窮級(jí)。文中考慮，如果有其中一個(gè)系數(shù)As（s≠0）的級(jí)ρ（As）＞1/2且ρ（Aj）＜ρ（A0）≤1/2（j≠0，s）時(shí)的情況，經(jīng)過證明得到下面的結(jié)果。

定理2把f″+P（z）f=0的一個(gè)非零解當(dāng)做微分方程（1）的系數(shù)，記為As（z）（s≠0），而Aj（j≠0，s）是有限級(jí)超越整函數(shù)，并且有ρ（Aj）＜ρ（A0）≤1/2。則微分方程（1）的每一個(gè)非零解都是無窮級(jí)。

2　引理

首先需要給出一些記號(hào)，假設(shè)α＜β且β-α＜2π，則對(duì)于任意r＞0，文中分別定義S（α，β）={z：α＜argz＜β}和S（α，β，r）={z：α＜argz＜β}∩{z：|z|≤r}。假設(shè)f（z）是一個(gè)有窮正級(jí)整函數(shù)，S={z：α≤argz≤β}是一個(gè)角域，對(duì)任意θ（α＜θ＜β），有

則稱f（z）在角域S中以指數(shù)形式趨于零。類似地，如果對(duì)任意θ（α＜θ＜β），有

則稱f（z）在角域S中以指數(shù)形式趨于無窮。

為給出下面的引理，對(duì)于E?[0，∞），記E的Lebesgue測(cè)度為m（E）；對(duì)于E?[1，∞），定義E的對(duì)數(shù)測(cè)度為，并且E的上對(duì)數(shù)密度和下對(duì)數(shù)密度分別定義為

下面的引理1在文中定理的證明中有著重要作用。

引理1[8]假設(shè)f（z）是方程f″+P（z）f=0的一個(gè)非零解，其中P（z）=anzn+…+a0（an≠0），且設(shè)

其中，j=0，1，2，…，n+1，則f（z）具有下列性質(zhì)：

（1）在每一個(gè)角域Sj中，f要么以指數(shù)形式趨于無窮，要么以指數(shù)形式趨于零。

（2）若f在角域Sj中以指數(shù)形式趨于零，則f在角域Sj-1和角域Sj+1（若j=n+1則Sj+1=S0）中都以指數(shù)形式趨于無窮。然而，f（z）可以在任意兩個(gè)相鄰角域內(nèi)以指數(shù)形式趨于無窮。

（3）若在角域Sj中f指數(shù)形式趨于零，那么在角域的任意閉子集中，f至多具有有窮多個(gè)零點(diǎn)。

（4）若在相鄰角域Sj-1和Sj中，f都以指數(shù)形式趨于無窮，那么對(duì)任意ε＞0，在角域θj-ε≤argz≤θj+ε中f（z）具有無窮多個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)r→∞時(shí)，有

其中n（Ω（θ-ε，θ+ε，r），f＝0）表示f（z）在角域Ω（θ-ε，θ+ε，r）＝{z：θ-ε≤argz≤θ+ε，0＜|z|≤r}中的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，重級(jí)零點(diǎn)按其重?cái)?shù)計(jì)算。

引理2[9]假設(shè)（f，Γ）是滿足如下要求的有序數(shù)對(duì)：f（z）是一個(gè)有窮級(jí)超越亞純函數(shù)，Γ={（k1，j1），（k2，j2），…（kq，jq）}是一個(gè)互不相同的二元整數(shù)組構(gòu)成的有限集，使得ki，＞ji≥0，i=1，2，…，q，則對(duì)任意給定的常數(shù)ε＞0，下列三個(gè)論斷成立：

（1）存在集合E1?[0，2π），其測(cè)度m（E1）＝0，使得當(dāng)ψ0∈[0，2π）-E1，存在常數(shù)R0=R0（ψ0）＞0，使得對(duì)所有滿足argz＝ψ0，|z|≥R0的z及所有的（k，j）∈Γ，下列不等式

成立。

（2）存在具有有限對(duì)數(shù)測(cè)度的集合E2?（1，∞），使得對(duì)于滿足|z|（E2∪[0，1]）的所有z及所有的（k，j）∈Γ，不等式（3）成立。

（3）存在具有有限線性測(cè)度的集合E3?[0，∞），使得對(duì)于滿足|z|E3的z及所有的（k，j）∈Γ，下列不等式

成立。

引理3[10]假設(shè)A0（z）堍0，A1（z），…，Ak-1（z）是整函數(shù)，對(duì)任意實(shí)常數(shù)k，δ，ε，β，θ1，θ2，其中kδ＜1，k（≥2）是正整數(shù)，δ是任意正實(shí)數(shù)，α＞0，β＞0且θ1＜θ2，當(dāng)|z|＝r≥rδ時(shí)，在角域中S（0）={z：θ1≤argz≤θ2}，對(duì)某個(gè)s（s=1，2，…，k-1），以及所有的j（j=0，1，…，k-1）且j≠s，有

對(duì)任意給定的常數(shù)ε＞0，記角域S（ε）={z：θ1+ε≤argz≤θ2-ε}。若f堍0是方程（1）的超越解，且ρ（f）＜∞，則下列結(jié)論成立：

（1）當(dāng)z→∞時(shí)，在角域S（ε）中，存在不為零的常數(shù)bj（j→∈{0，…，s-1}），使得f（j）→bj。更進(jìn)一步，有

（2）當(dāng)z→∞時(shí)，在角域S（3ε）中，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)m≥j+1，有

文中定理的證明依賴于下面的引理。

引理4[11]假如f（z）是一個(gè)整函數(shù)，滿足ρ（f）≤1/2，則如下兩個(gè)論斷必有一個(gè)成立：

（1）對(duì)每一個(gè)η＜ρ（f），存在序列rn，rn=rn（η），使得對(duì)所有滿足|z|＝rn的z，有

（2）對(duì)每一個(gè)η＜ρ（f），定義集合

3　定理2　的證明

假設(shè)As（z）是方程

的一個(gè)非零解，其中P（z）=anzn+…+a0（an≠0）。由引理1知，As（z）至多有n+2條零點(diǎn)聚值線。

下面將定理的證明分成兩種情形進(jìn)行討論，為了導(dǎo)出矛盾，現(xiàn)假設(shè)f是方程（1）的有限級(jí)非零解。

情形1假設(shè)As（z）恰有n+2條零點(diǎn)聚值線。根據(jù)引理1容易得到在這n+2個(gè)角域Sj（j=0，…，n+1）中，As（z）都以指數(shù)形式趨于無窮。則對(duì)于任意的正數(shù)ε，，以及j=0，1，…，n+1，在角域Sj（ε）中，當(dāng)z→∞時(shí)，可以得到

其中α，η是不依賴ε的正的常數(shù)。對(duì)0≤j≤n+1，由（11），（12）式和引理3知存在相應(yīng)的bj≠0，使得在角域Sj（ε）中，當(dāng)z→∞時(shí)，有下式成立

特別地，j=0時(shí)，有

從而f（z）在Sj（ε）中有界。因此，由Phragmen-Lindel觟f定理知，f（z）在整個(gè)復(fù)平面上有界。再由Liouville’s定理可得f（z）是非零的常數(shù)函數(shù)，但是這與f（z）是方程（1）的解矛盾，所以ρ（f）＝∞。

情形2假設(shè)As（z）的零點(diǎn)聚值線條數(shù)少于n+2。那么，根據(jù)引理1可知，至少存在一個(gè)角域Sj0（0≤j0≤n+1），使得As（z）在Sj0里以指數(shù)形式趨于零。即

這里z＝reiθ∈Sj0。

另外，因?yàn)棣眩ˋj）＜ρ（A0）≤1/2，所以取max{ρ（Aj）}＜γ1＜γ＜ρ（A0）≤1/2，使得

所以，在角域Sj0內(nèi)，有

再由方程（1）可得

因?yàn)锳0是整函數(shù)，根據(jù)引理4，下面分兩種情況進(jìn)行討論以尋找矛盾。

第一種情況。假設(shè)引理4的推斷（1）成立，即對(duì)于γ＜ρ（A0），存在序列{rn}，rn=rn（γ），當(dāng)rn→∞時(shí)，使得對(duì)滿足z的，有下式成立

然后，由引理2知由于角域Sj0的張開角度為，所以必然可在Sj0中找到θ0E1，是對(duì)于點(diǎn)列zn=rneiθ0有（3）式成立，故，結(jié)合（14）和（15）式，有

這里的M是正的常數(shù)。

因?yàn)棣茫鸡?，上式顯然是矛盾的。

第二種情況。對(duì)于γ＜ρ（A0），令

則存在E2＝E2（γ）?[0，∞），，使當(dāng)r→∞，r∈E，有m（Kr）→0。由引理2知，存在集合E3?[1，∞），其對(duì)數(shù)測(cè)度ml（E3）＜∞，使得當(dāng)z滿足|z|＝rE3∪[0，1]時(shí)，有

記E4＝E2（E3∪[0，1]），則E4是無窮對(duì)數(shù)測(cè)度集。取zn=rneiθ∈Sj0且rn∈E4，θnKr，由（14），（17）式和|As（zn）|→0以及l(fā)og|A0（zn）|≥rnγ，當(dāng)n→∞，r→∞時(shí)，同樣會(huì)有（16）式的矛盾情況出現(xiàn)。

綜合上述兩種情況，所以有ρ（f）＝∞。

[1]吳秀碧，伍鵬程.關(guān)于方程f″+Af′+Bf=0解的增長(zhǎng)性，其中系數(shù)A是一個(gè)二階線性微分方程的解[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2013，33A（1）：46-52.

[2]HAYMAN W K.Meromorphic Functions[M}.Oxford：Clarendon Press，1964.

[3]YANG Lo.Value Distribution Theory[M].Berlin：Spring-Verlag；Beijing：Science Press，1993.

[4]BANK S B，LAINE I，LANGLEY J.On the frequency of zeros of solutions of second order linear differential equations[J].Results Math，1986，10：8-24.

[5]FUCHS W H J.Topics in Nevanlinna Theory[M].Washington，DC：Naval Research Laboratory，1970：1-32.

[6]GUNDEONDONRSEN G G.Finite order solution of second order linear differential equations[J].Trans Amer Math Soc，1988，305：415-429.

[7]STRODT W.Contributions to the asymptotic theory of ordinary differential equations in the complex domain[J].Mem Amer Math Soc，1954，13：22-34.

[8]HILLE E.Lectures on Ordinary Differential Equations[M].California，London，Don Mills，Ontario：Addison-Wesley Publiching Company，Reading，Massachusetts-Menlo Park，1969.

[9]GUNDERSEN G G.Estimates for the logarithmic derivative of a meromorphic function，plus similar estimates[J].J London Math Soc，1988，37：88-104.

[10]LAINE I，YANG R H.Finite order solutions of complex linear differential equations[J].Electronic Journal of Differential Equations，2004，65：1-8.

[11]HELLERSTEIN S，MILES J，ROSSI J.On the growth of solutions of f″+gf′+hf=0[J].Trans Amer Math Soc，1991，324（2）：693-706.

On the growth of the solutions of f（k）+Ak-1f（k-1）+…＋Asf（s）+…+A1f′＋A0f＝0

HU Mengwei，SUN Guirong
（School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

This paper studies the growth of the solutions of f（k）+Ak-1f（k-1）+…＋Asf（s）+…+A1f′＋A0f＝0 by using the Nevanlinna theory and the complex oscillation theory of differential equations.We obtained the precise estimation of the growth of the solutions of this equation,which generalized and improved the results of Reference[1].

order of the growth；linear differential equations；entire function

O174.5MR（2000）Subject Classification：30D35；34M10

A

1672－0687（2016）01－0031－05

責(zé)任編輯：謝金春

2013－10－22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11001057）；江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（BK2010234）

胡夢(mèng)薇（1987-），女，河南商丘人，碩士研究生，研究方向：復(fù)域微分方程，差分方程。*

孫桂榮（1975-），女，講師，碩士，E－mail：sguirong@139.com。