基于應變梯度理論的納米懸臂梁的大位移分析

劉建林，曹高峰

（中國石油大學儲運與建筑工程學院，山東青島266580）

基于應變梯度理論的納米懸臂梁的大位移分析

劉建林，曹高峰

（中國石油大學儲運與建筑工程學院，山東青島266580）

以Aifantis發(fā)展的應變梯度理論為基礎，探討微納米尺度下線彈性懸臂梁受集中載荷作用下的大變形問題。基于Euler-Bernoulli梁理論，考慮應變梯度的影響，建立懸臂梁發(fā)生大變形時的彈性微分方程，并給出相應的邊界條件。通過打靶法并借助于MathCAD軟件，求得考慮應變梯度時懸臂梁在自由端集中載荷作用下的撓度數(shù)值解。結(jié)果表明，在微納米尺度下應變梯度對懸臂梁的變形有較大影響，彈性變形梯度系數(shù)對梁發(fā)生大變形比發(fā)生小變形時的影響更明顯，且彈性梯度系數(shù)對于梁的變形有抑制作用。

納米懸臂梁；大變形；應變梯度；能量法；變分

隨著國際上微納米技術的發(fā)展，對于納米線、納米管、納米纖維等一維納米結(jié)構(gòu)進行精確的變形分析成為當前研究的熱點。材料在微納米尺度下的力學特性與其在宏觀尺度下的力學特性有很大的差異，表現(xiàn)出很強的尺寸依賴性［1-7］。如何定量刻畫該效應則成為當今連續(xù)介質(zhì)力學中具有挑戰(zhàn)性的工作。由于經(jīng)典彈塑性理論的本構(gòu)關系中未包含任何特征尺度，因此，這些理論不能合理地解釋上述尺寸依賴性的實驗現(xiàn)象。為了全面研究微納米尺度下材料的尺寸效應，國內(nèi)外很多研究人員相繼提出了各種應變梯度理論。例如Aifantis等［8-10］用等效應變的一次和二次拉普拉斯算子表示應變梯度，并將其引入到經(jīng)典塑性理論的本構(gòu)中。然而在該理論中未定義應變梯度的功共軛量。Fleck和 Hutchin-son［11-12］及 Fleck等［1］從位錯觀點出發(fā)考慮了材料的塑性變形，并先后發(fā)展了兩種應變梯度塑性理論：CS理論［1，11］和SG理論［12］。這兩種理論本質(zhì)上都是偶應力理論，在經(jīng)典塑性理論的基礎上考慮了應變梯度的影響，其理論預測基本與實驗結(jié)果吻合。高華健和黃永剛等［13-14］基于位錯機制發(fā)展了一種應變梯度塑形理論，這種理論給出了一個多尺度、分層次的框架，從而實現(xiàn)了宏觀塑性理論和位錯理論的聯(lián)系。陳少華等［15］在連續(xù)介質(zhì)力學的框架內(nèi)提出了一種基于納米材料的表面能量密度的新理論，該理論利用表面能量密度和表面弛豫參數(shù)表征FCC金屬納米薄膜的雙軸拉伸性能，理論分析與實驗結(jié)果基本吻合。在微納米器件的工作過程中，作為其基本元件的納米線往往會承受極為復雜的變形，甚至產(chǎn)生大變形現(xiàn)象。筆者基于該理論分析微納米尺度下線彈性懸臂梁在自由端受豎直方向的集中載荷作用下的大變形問題。這一問題涉及到細長結(jié)構(gòu)的幾何非線性，同時材料的本構(gòu)關系中又包含了應變梯度效應，因而該問題更具有挑戰(zhàn)性。在經(jīng)典彈性力學理論下對微梁的彈性應變表達式進行修正，推導出考慮應變梯度效應的控制微分方程組。采用打靶法求得懸臂梁發(fā)生大變形時撓度的數(shù)值解。所得結(jié)果與微懸臂梁發(fā)生小變形時的解答進行對比。

1 考慮應變梯度效應的本構(gòu)關系

對于宏觀尺寸的均勻材料，如經(jīng)典的線彈性、小變形、各向同性彈性體，其本構(gòu)關系滿足Hooke定律，一般可以寫為

式中，σij為應力張量分量；εij為應變張量分量；μ和λ為材料的拉梅系數(shù)；E為彈性模量；υ為泊松比。

當材料的尺寸縮小到微納米尺度范疇，將會表現(xiàn)出迥異于宏觀材料的物理、化學和力學行為。為了全面分析這些力學行為的來源，須考慮其表征尺寸效應的內(nèi)稟長度，此時須修正經(jīng)典的Hooke定律的本構(gòu)關系。根據(jù)Aifantis發(fā)展的應變梯度理論［8］，考慮應變梯度效應的線彈性材料本構(gòu)方程可以寫成：

將納米線簡化為一根一維的梁，則其應力和應變分量僅存在著沿軸向的數(shù)值σ和ε，從而其本構(gòu)關系可以退化為

其中，拉普拉斯算子▽2（）=（），mm。

采用該修正的本構(gòu)關系研究一根微納米尺度的懸臂梁在集中力作用下的大變形。

2 懸臂梁變形

2.1 大位移

如圖1所示，建立笛卡爾直角坐標系O-xy。圖中，一根懸臂梁左端固定于O點，其自由端承受豎

圖1 懸臂梁發(fā)生大變形時的示意圖Fig.1 Schematic diagram of cantilever beam with large deformation

直方向的集中載荷P作用。梁的縱向?qū)ΨQ面位于平面xy之中。梁的模型假設為經(jīng)典的Euler-Bernoulli類型，即其橫截面僅僅發(fā)生剛性的轉(zhuǎn)動。懸臂梁的長度表示為L。在集中力P作用下，梁的自由端將沿著x軸的負方向移動，其在水平方向的位移表示為Δx。用w=w（x）表示懸臂梁上任意一點的撓度，則其在直角坐標系里的坐標為（x，w）。由于梁發(fā)生大位移，故引入圖1中所示的弧坐標，其起點為坐標原點，梁軸線上任意一點的的弧長設為s。懸臂梁上任意一點的切線與水平線的夾角記為傾斜角θ=θ（s）。

根據(jù)Euler-Bernoulli梁假設，梁的橫截面仍為剛性?？紤]其幾何關系，則懸臂梁上任意一截面內(nèi)任意一點的應變可以表示為

式中，ρ為懸臂梁上該點的曲率半徑。

對圖示懸臂梁的彈性線存在幾何關系：

在左側(cè)固定端，懸臂梁的固有邊界條件為位移和轉(zhuǎn)角均為零，故可以描述為

對于發(fā)生大變形的懸臂梁，根據(jù)式（3）、（4），則該處橫截面上任一點的應力可以寫成

利用式（7）的表達式，考慮到應變能可以通過應力和應變的表達式積分而來，則該懸臂梁的應變能為

式中，A為懸臂梁的橫截面面積；I為截面慣性矩。該懸臂梁系統(tǒng)的總勢能包含彈性應變能和外力功兩部分，故其表達式寫為

其中，λ為Lagrange乘子，以約束式（5）中的幾何關系。

對方程（9）的總勢能進行變分，并且進行分部積分，可以得到

根據(jù)最小勢能原理，則總勢能變分的駐值為零，故有δΠ=0。對式（10）進行合并同類項，并利用固有邊界條件（6），以及考慮到變分的任意性，可以得到：

綜上所述，納米懸臂梁發(fā)生大位移時的常微分控制方程組可以寫成封閉的邊值問題（BVP）：

2.2 小變形

當梁發(fā)生小變形時，其軸線上任意一點處的傾角均為小量，即θ=w′?1，故cos θ≈1，因此控制方程（15）可以退化成：

其邊界條件變?yōu)閣（0）=0，w′（0）=0，w"（L）=0，w?（0）=0。式（17）中第二式表明此時自變量為x，即在小變形時，可以忽略梁變形前后構(gòu)型的變化。

經(jīng)過推導，考慮梯度效應的發(fā)生小變形的懸臂梁可以很方便地求得解析解［16］：

3 結(jié)果及討論

與小變形相比，對于發(fā)生大變形的懸臂梁，其撓度的解析求解非常困難。采用打靶法（shooting method），并在解微分方程時采用高階的 Runge-Kutta法進行迭代求解。對該問題進行打靶法求解的基本思路為：首先固定懸臂梁左端的邊界，此時該問題轉(zhuǎn)化為一初值問題（IVP），則可以直接進行求解。求得的結(jié)果在右側(cè)邊界處與已知的數(shù)值進行比較，如果在誤差范圍內(nèi)則為該問題的真解。

基于此思路，借助于數(shù)值軟件MathCAD（試用版）編寫了程序并對之進行求解。求解過程中梁發(fā)生大變形時的參數(shù)選為：P/（EI）=2.5×10-5nm-2，長度L=400 nm。由文獻［16］可知，參數(shù) c/L一般在0～1取值，故本文中在計算時取梯度系數(shù)c在0～0.16 μm2內(nèi)的數(shù)值。經(jīng)過計算，梁發(fā)生大變形和小變形時的撓曲線分別繪制于圖2。其中，梁的梯度系數(shù)c分別取0、0.08和0.16 μm2。圖2中的曲線1、2、3代表梁發(fā)生小變形時的撓曲線，曲線4、5、6則代表梁發(fā)生大變形時的撓曲線。

圖2 懸臂梁在不同梯度系數(shù)下發(fā)生大變形和小變形時的撓曲線Fig.2 Deflections of cantilever beam with different strain gradient coefficient

由圖2可見，懸臂梁在發(fā)生大變形后，其水平方向上的位移Δx有明顯的變化，而發(fā)生小變形時則變化不明顯。這是由于經(jīng)典的小變形假設忽略了梁發(fā)生變形前后構(gòu)型的變化，故以x坐標為自變量就足夠精確。同時也發(fā)現(xiàn)根據(jù)小變形理論預測出的梁的變形較大（曲線1、2、3），而根據(jù)大變形理論預測的結(jié)果偏?。ㄇ€4、5、6），這與經(jīng)典的大變形理論是一致的。另外，不同的彈性梯度系數(shù)對懸臂梁的撓曲線具有較大影響。彈性梯度系數(shù)越大，懸臂梁自由端的撓度越小，其撓曲線變形越??；反之彈性梯度系數(shù)越小，其變形越明顯。特別是當c=0時，沒有梯度效應，此時懸臂梁的變形最為明顯。這說明梯度系數(shù)對于梁抵抗變形能力起到了強化作用。

根據(jù)上述計算結(jié)果可以進一步得到懸臂梁發(fā)生大變形和發(fā)生小變形時，其自由端最大撓度與梯度系數(shù)c之間的關系，如圖3所示。由圖3可見，當懸臂梁發(fā)生大變形時，其最大撓度與梯度系數(shù)的關系曲線不是一條直線，而是一條下凹的曲線，表現(xiàn)出很強的非線性。隨著梯度系數(shù)的減小，該曲線的斜率逐漸增大；而當梯度系數(shù)增大到一定范圍時，梯度效應對于梁的變形的影響逐漸減弱。當梁發(fā)生小變形時，梯度系數(shù)對于其變形的影響不如其對于梁發(fā)生大變形時的影響明顯。這更說明在梁發(fā)生大變形時，采用應變梯度理論對其進行分析的必要性。為了便于工程設計，對梁發(fā)生大變形的曲線進行了三次多項式擬合，擬合度為0.99952，其表達式可以寫為

圖3 懸臂梁最大撓度與梯度系數(shù)的關系Fig.3 Relation between maximum deflection and gradient coefficient

根據(jù)式（18）得到梁發(fā)生小變形時自由端撓度的解析解：

二者之間的對比如圖3所示，圖3中曲線又一次顯示了小變形理論的預測值比大變形理論的預測值偏大。

進一步得到自由端的轉(zhuǎn)角與梯度系數(shù)c的關系曲線，如圖4所示。根據(jù)式（19）可以得到梁發(fā)生小變形時其自由端轉(zhuǎn)角的解析表達式：

由圖4可見，彈性梯度系數(shù)對于懸臂梁自由端轉(zhuǎn)角的影響規(guī)律與其對自由端撓度的影響規(guī)律類似，即函數(shù)曲線為非線性。同時當梯度系數(shù)逐漸增大時，轉(zhuǎn)角函數(shù)逐漸趨近于某一常值。同樣為了便于工程應用，可以對梁發(fā)生大變形時的轉(zhuǎn)角曲線進行三次多項式擬合，擬合度為0.99974，其擬合表達式為

圖4 懸臂梁自由端轉(zhuǎn)角與梯度系數(shù)的關系Fig.4 Relation between slope angle at the free end and the gradient coefficient

對比圖3、4，可以發(fā)現(xiàn)彈性梯度系數(shù)對于梁發(fā)生大變形時的影響比其發(fā)生小變形時的影響更大，故而在微納米梁發(fā)生彈性大變形時，有必要考慮這一影響。

4 結(jié) 論

（1）在微納米尺度下應變梯度對懸臂梁的變形有較大影響，隨著應變梯度系數(shù)增加，梁的變形大幅減小。彈性梯度系數(shù)越大，懸臂梁自由端的撓度越小，其撓曲線變形越??；反之彈性梯度系數(shù)越小，其變形越大。當梯度系數(shù)增大到一定范圍時，梯度效應對于梁的變形的影響逐漸減弱。

（2）彈性應變梯度系數(shù)對于梁發(fā)生大變形比發(fā)生小變形時的影響更為明顯。彈性梯度系數(shù)對于微納米梁的變形會起到抑制作用。在微納米梁發(fā)生大變形時，應變梯度的影響更加值得考慮。

（3）小變形理論預測出的梁的變形較大，大變形理論預測的結(jié)果偏小，隨著梯度系數(shù)增大，大變形理論和小變形理論預測的結(jié)果吻合很好。

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（編輯 沈玉英）

Large deflection analysis of a nanoscaled cantilever beam with strain gradient effect

LIU Jianlin，CAO Gaofeng
（College of Pipeline and Civil Engineering in China University of Petroleum，Qingdao 266580，China）

In this study，we discuss the deformation of a micro/nanoscaled cantilever under a concentrated load.The modeling is based on the strain gradient theory developed by Aifantis.Based on the Euler-Bernoulli beam theory，and considering the effect of strain gradient，the governing equation of the large deformation of a cantilever was built，and the boundary conditions were given.Using the shooting method and the MathCAD software，we obtain the numerical solution of a cantilever with strain gradient，under a concentrated load at the free end.This solution is compared with that of a beam with infinitesimal deformation.The result shows that at the micro/nano scale，the strain gradient has a great effect on the cantilever?s deformation.In this case，the gradient coefficient affects a beam more significantly when it is in the finite deformation than in the infinitesimal deformation.Moreover，the gradient coefficient will restrain the deformation of the beam.

nanoscaled cantilever；large deformation；strain-gradient；energy method；variation

TB 383

A

1673-5005（2016）01-0116-05 doi：10.3969/j.issn.1673-5005.2016.01.016

2015-05-26

國家自然科學基金項目（11272357）；山東省杰出青年自然科學基金項目（JQ201302）

劉建林（1977-），男，教授，博士，研究方向為表面仿生力學、結(jié)構(gòu)非線性分析、軟物質(zhì)力學等。E-mail：liujianlin@upc.edu.cn。

引用格式：劉建林，曹高峰.基于應變梯度理論的納米懸臂梁的大位移分析［J］.中國石油大學學報（自然科學版），2016，40（1）：116-120.

LIU Jianlin，CAO Gaofeng.Large deflection analysis of a nanoscaled cantilever beam with strain gradient effect［J］.Journal of China University of Petroleum（Edition of Natural Science），2016，40（1）：116-120.