解析2016年全國高考數(shù)學(xué)理科I卷第18題

華南師大附中（510630） 周建鋒

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解析2016年全國高考數(shù)學(xué)理科I卷第18題

華南師大附中（510630） 周建鋒

本文結(jié)合2016年全國高考數(shù)學(xué)理科I卷的立體幾何解答題，全面闡述了立體幾何中求解二面角的幾種常用方法：向量法（包括平面法向量法和棱法向量法）、三垂線法及變式、定義法、三面角公式等，其中還包含了三垂線法中，同時探討了如何構(gòu)造面面垂直從而為考慮線面垂直創(chuàng)造條件等問題.

2016年全國高考理科I卷第18題是一道立體幾何題，乍一看題目有些怪異，有些考生考后甚至質(zhì)疑題目條件有問題，其實仔細(xì)分析還是可以分析清楚的.我們先來看看原題：

如圖1，在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90?，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60?.

圖1　

（I）證明：平面ABEF⊥平面EFDC；

（II）求二面角E-BC-A的余弦值.

第一小題容易證明，這里就不再贅述.在第二小題中，有些考生認(rèn)為點C沒法確定，其實是因為他們沒有看清題目條件“五面體”，也就是說D、C、E、F共面，A、B、C、D共面，這樣由AB//EF可推出AB//平面DCEF，再由線面平行的性質(zhì)，AB//DC，從而DC//EF，而且易證∠CEF是二面角C-BE-F的平面角即為60?，C點的位置是可以確定的.

下面談?wù)劦诙☆}的做法.

一、向量法

解一由（1）知∠DFE=∠CEF=60?，因為AB//EF，AB??平面EFDC，EF?平面EFDC，所以AB//平面ABCD，AB?平面ABCD，因為面ABCD∩面EFDC= CD，所以AB//CD，所以CD//EF，所以四邊形EFDC為等腰梯形.

圖2　

其實用向量法除了用平面法向量法之外，也可以用棱法向量法.

解二如圖3，分別作AG⊥BC，垂足為G，作EH⊥BC，垂足為H，則向量的夾角即為二面角E-BC-A的平面角.設(shè)則

用棱法向量法的優(yōu)點是不必?fù)?dān)心兩個向量的夾角與二面角大小不一致，但前提是兩個棱法向量的起點要選棱上的垂足點.

圖3　

圖4　

二、定義法作二面角的平面角

在不方便作三垂線法的時候，作二面角的平面角可以考慮用定義法，先過點E作棱BC的垂線，再過垂足點在另一個半平面內(nèi)作棱的垂線，構(gòu)成二面角的平面角.

解三如圖4，過點E作EG⊥BC，垂足為G，再過點G在平面ABCD內(nèi)作BC的垂線，與BA延長線交于點H，連結(jié)HE，則∠EGH即為二面角E-BC-A的平面角.設(shè)DF=1，在Rt△BEC中，CE=1，BE=2，EG是斜邊BC上的高，則

在等腰梯形ABCD中，

三、三垂線法作二面角的平面角

本題中若直接用三垂線法作二面角E-BC-A的平面角是不可能的，可以考慮作二面角E-BC-A的補角的平面角.

解法四在梯形ABCD中，過點B作AB的垂線，交DC延長線于點G，連結(jié)EG.過點E作GB的垂線，垂足為M，過點M作BC的垂線，垂足為N，連結(jié)EN.因為AB⊥BE，AB⊥BG，BE∩BG=B，所以AB⊥平面BEG，所以平面BCG⊥平面BEG，所以EM⊥平面BCG，所以EM⊥BC，而BC⊥MN，MN∩EM=M，所以BC⊥平面MNE，所以BC⊥NE，所以MNE是二面角E-BC-A的補角E-BC-G的平面角.

圖5　

在Rt△BEC中，

在解法三中用到了兩個技巧，一是作原二面角的補角，二是構(gòu)造了過點E與平面ABCD垂直的平面EBG，為過點E作平面ABCD的垂線創(chuàng)造了有利條件.

四、三垂線法的變式

圖6　

圖7　

解法五在本題中，過點E作EG⊥BC，垂足為G.連結(jié)AE、AG.

由（I）的結(jié)論，平面ABEF⊥平面EFDC，所以點C到平面ABEF的距離即為點C到EF的距離，也即為梯形EFDC的高h(yuǎn)1，

五、三面角公式

如圖8，從O點出發(fā)的三條線OP、OM、ON組成了三個面角∠POM、∠MON、∠NOP，以及三個二面角P-OM-N、M-ON-P、N-OP-M.不妨設(shè)二面角N-OP-M的平面角為θ，∠POM=α、∠NOP=β、∠MON=γ，則有cosγ=cosαcosβ+sinαsinβ cosθ.這就是三面角公式.

注意到這個等式中θ是二面角，其余三個角都是面角，而面角的計算通常都是比較容易的，所以把二面角公式轉(zhuǎn)化為三個面角的計算體現(xiàn)了空間角向平面角的轉(zhuǎn)化思想.雖然三面角公式不在高考考綱范圍內(nèi)，但可以作為一個引理先證明再使用，它的證明并不復(fù)雜.

圖8　

圖9　

另一方面，在△ABC中，

現(xiàn)在再回過頭來看原題，

圖10　

［1］周建鋒.利用空間中的動點解決立體幾何求值問題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2009，3.

［2］羅碎海等.數(shù)學(xué)探究與欣賞［M］.廣州：暨南大學(xué)出版社，2010.