基于導(dǎo)數(shù)背景下的函數(shù)題解答策略

云浮市教育局教研室（527300）　胡明輝

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基于導(dǎo)數(shù)背景下的函數(shù)題解答策略

云浮市教育局教研室（527300）胡明輝

本文對2016年全國乙卷理科第21題與近幾年全國卷的函數(shù)題進行了分析比較，將乙卷理科函數(shù)解答題的一些解法進行了歸類，現(xiàn)將自己的一些心得體會寫出來，與讀者共享.

題目（2016年全國乙卷理科第 21題）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（1）求a的取值范圍；

（2）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2＜2.

一、國標的解答及分析

本題國標給出的解答方式是：第（1）問用單調(diào)性法；第（2）問用轉(zhuǎn)化的方法.

（一）第（1）問的解答

f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.

（i）設(shè)a=0，則f（x）=（x-2）ex，f（x）只有一個零點.

（ii）設(shè)a＞0，則當(dāng)x∈（-∞,1）時，f′（x）＜0；

當(dāng)x∈（1,+∞）時，f′（x）＞0.

故f（x）存在兩個零點.

（iii）設(shè)a＜0，由f′（x）=0得x=1或x=ln（-2a）.

故當(dāng)x∈（1,+∞）時，f′（x）＞0，因此f（x）在（1,+∞）單調(diào)遞增.

又當(dāng)x≤1時f′（x）＜0，所以f（x）不存在兩個零點.

故當(dāng)x∈（1,ln（-2a））時，f′（x）＜0，

當(dāng)x∈（ln（-2a）,+∞）時，f′（x）＞0.因此f（x）在（1,ln（-2a））單調(diào)遞減，在（ln（-2a）,+∞）單調(diào)遞增.

又當(dāng)x≤1時f（x）＜0所以f（x）不存在兩個零點.

綜上，a的取值范圍為（0,+∞）.

（二）第（2）問的解答

不妨設(shè)x1＜x2，由（II）知，x1∈（-∞,1），x2∈（1,+∞），2-x2∈（-∞,1），f（x）在（-∞,1）單調(diào)遞減，所以x1+x2＜2等價于f（x1）＞f（2-x2）即f（2-x2）＜0............轉(zhuǎn)

由于

所以當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0，而g（1）=0，故當(dāng)x＞1時g（x）＜0.從而g（x2）=f（2-x2）＜0，故x1+x2＜2.

（三）問題分析

應(yīng)該說上述解答是很好的，第（1）問解答很好地利用了導(dǎo)數(shù)和零點存在定理，從單調(diào)性入手進行分類討論，符合考生的認知規(guī)律和解題習(xí)慣；第（2）問利用轉(zhuǎn)化的方式將兩個零點的函數(shù)值關(guān)系聯(lián)系起來，具有一般性.

1.問題的產(chǎn)生極其解決辦法

（1）問題的產(chǎn)生

①是怎樣找到這個b的？

③有什么可以替代的嗎？

（2）問題的回答

辦法一：可以畫出如下圖形解釋：如圖1，當(dāng)a＞0時，由于f（1）=-e＜0，f（2）=a＞0，f（x）的圖象與x軸有兩個交點，如果能找到一個小于0的b，使得f（b）＞0就行了.

圖1　

2.看完解答之后，我們還發(fā)現(xiàn)下列問題

（1）求導(dǎo)就考倒了不少學(xué)生；

（2）分類討論時，a=0、a＞0、a＜0討論的方式完全不一樣；

（3）當(dāng)a＞0時，b很難找到；

（4）很難畫出函數(shù)f（x）的圖象；

（5）轉(zhuǎn)化很難想得到；

這5個問題都是難點，而且針對性強，舉步維艱（步步驚心、步步糾心），不易突破，我們不禁要想，還有其它方法嗎？

二、解決第（1）問的另一思路：轉(zhuǎn)·變·造·形

（一）確定解題思路

思路一：函數(shù)的零點就是使f（x）=0的實數(shù)x，如果能找到兩個零點也是不錯的.“意外”發(fā)現(xiàn)：f（x1）=f（x2）=0，對第（2）問解決很有幫助.

思路二：函數(shù)的零點就是方程（x-2）ex+a（x-1）2=0的兩個根，移項，斷分成兩個函數(shù)來解決也是可以的.

思路三：函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，用數(shù)形結(jié)合也是不錯的方法.

（二）解第（1）問的方法

解法一

先考慮式子①：（x-2）ex=-a（x-1）2............變

令g（x）=（x-2）ex，h（x）=-a（x-1）2，...........造

則g′（x）=ex+（x-2）ex=（x-1）ex.............導(dǎo)

當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，當(dāng)x＜1時，g′（x）＜0，

所以，g（x）在（1,+∞）上是增函數(shù)，在（-∞,1）上是減函數(shù).

因此gmin（x）=g（1）=-e.

畫出g（x）、h（x）的大致圖象（如圖2），...............形

圖2　

由圖可以看出，要使f（x）有兩個零點，即g（x）、h（x）的圖象有兩個交點，拋物線h（x）=-a（x-1）2開口必須向下，即-a＜0，從而a＞0.所以，a的取值范圍是（0,+∞）.

這種解法雖然最終結(jié)果沒有錯，但是風(fēng)險很大—拋物線h（x）=-a（x-1）2開口向上就與函數(shù)g（x）=（x-2）ex的圖象沒有兩個交點嗎？試問：y=x2與y=2x的圖象在第一象限有幾個交點？下面的方法可以規(guī)避風(fēng)險：

解由f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0，得（x-2）ex= -a（x-1）2.............................................變

令g（x）=（x-2）ex，h（x）=-a（x-1）2...........造

則g′（x）=ex+（x-2）ex=（x-1）ex..............導(dǎo)

畫出g（x）的大致圖象（如圖3），.....................形

圖3　

（1）當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）=（x-2）ex只有一個零點.

（2）當(dāng)a＜0時，f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2的圖象相當(dāng)于g（x）=（x-2）ex的圖象向下移動，所以，只有一個零點.

（3）當(dāng)a＞0時，拋物線h（x）=-a（x-1）2開口向下，與g（x）=（x-2）ex的圖象必有兩個交點，即函數(shù)f（x）有兩個零點.所以，a的取值范圍是（0,+∞）.

解法二 由f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2，得

圖4　

由圖可以看出，要使f（x）有兩個零點，即g（x）、h（x）的圖象有兩個交點，必須a＞0.所以，a的取值范圍是（0,+∞）.此解法要比上一種解法好，但要注意x?=1（因為x=1時，（x-2）ex=-a（x-1）2不成立）

（三）歸納與小結(jié)

我把以上的解決方法稱之為：轉(zhuǎn)·變·造·形，要注意以下問題：

1.基本要求：導(dǎo)數(shù)的公式、法則記憶必須過關(guān).

2.轉(zhuǎn)：在不失原意的基礎(chǔ)上將問題進行轉(zhuǎn)化，

3.變：

（1）變的含義：復(fù)雜問題斷開成兩部分處理；

（2）變的依據(jù)：復(fù)雜函數(shù)是由幾部分初等基本函數(shù)捏合而成；

（3）變的適用：對導(dǎo)數(shù)背景下的含參的復(fù)合函數(shù)問題、函數(shù)證明題比較有效；

（4）變的方法：不含參數(shù)的部分可以復(fù)雜一點，含參的部分盡可能“干凈”（比較理想的是化為：常函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)）.

（5）變的目的：求導(dǎo)，畫圖.

4.造：構(gòu)造新函數(shù)（可操控、好操控）

5.形：數(shù)形結(jié)合（以形助數(shù)）

（1）分析：分析圖形的變化趨勢（單調(diào)性、極值、大致走向）；

（2）判斷：考慮要周全（尤其是特殊點、特殊位置、近漸線等）；

（3）畫圖：畫出函數(shù)大致圖象；

（4）優(yōu)點：直觀（可以得到不錯的分數(shù)）；

（5）缺點：因為是大致圖象，其完備性容易受到質(zhì)疑.

6.導(dǎo)：對“變”的較復(fù)雜部分求導(dǎo)（一定要準確）；

其實，“轉(zhuǎn)·變·造·形”就是數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，只不過這種提法更直接、具體，針對性更強一些.

（四）“轉(zhuǎn)·變·造·形”方法的再次應(yīng)用

（1）當(dāng)a為何值時，x軸為曲線y=f（x）的切線；

（2）用min｛m,n｝表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x）= min｛f（x）,g（x）｝（x＞0），討論h（x）零點的個數(shù).

第（1）問不在此分析，主要分析如何解決第（2）問.

圖5　

三、第（2）問的解答的另一思路：造

（一）用“造”的方法解決第（2）問

解法一 構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-f（2-x）.

令h（x）=f（x）-f（2-x），則

所以，h（x）是增函數(shù)，且

不妨設(shè)x1＜1＜x2＜2，則2-x1＞1.且

即f（x1）-f（2-x1）＜0.而

所以f（x2）＜f（2-x1）.因此，由

可得，f（x）在（1,+∞）內(nèi)嚴格單調(diào)遞增，故x2＜2-x1，即x1+x2＜2.

解法二 構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（1-x）-f（1+x）.

先證明：f（1-t）＜f（1+t）,t∈（0,1）.設(shè)

則

直接計算知，f′′（x）=xex+2a是（0,+∞）內(nèi)增函數(shù)，所以

因此h′（t）在［0,1）上嚴格遞減，故

從而 h（t）=f（1-t）-f（1+t）＜h（0）=0,t∈（0,1）.

即 f（1-t）＜f（1+t）,t∈（0,1）.

因為f（x）在（1,+∞）內(nèi)嚴格遞增，1+t,x2∈（1,+∞）以及

所以x2＜1+t，故x1+x2＜（1-t）+（1+t）=2.

毋庸置疑，以上構(gòu)造函數(shù)的兩種方法對解決本題很有幫助，為什么可以這樣構(gòu)造呢？其理由如下：

（1）函數(shù)g（x）=a（x-1）2的圖象關(guān)于直線x=1對稱，于是有：

① g（x）=g（2-x），即g（x）-g（2-x）=0；

② g（1-x）=g（1+x），即g（1-x）-g（1+x）=0.

（2）證明目標是x1+x2＜2，它也為我們提供了相應(yīng)的構(gòu)造信息.

（二）歸納與小結(jié)

1.“造”的含義：構(gòu)造一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，

2.“造”的要求：構(gòu)造的函數(shù)必須不失原意，而且必須恰當(dāng)，要在認真審題的基礎(chǔ)上，根據(jù)一定的解題經(jīng)驗和能力才能做到，要見多識廣、有大局觀，甚至要有高等數(shù)學(xué)的意識.

3.“造”的優(yōu)點：使問題得以快速、準確地解決.

4.“造”的缺點：很難想到，能力要求不低，一旦構(gòu)造失誤，不僅耗時、耗力，且對考生心態(tài)造成負面影響.

（三）“造”之再應(yīng)用

（2013年全國高考乙卷理21）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+ b，g（x）=ex（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0,2），且在點P處有相同的切線y=4x+2.

（I）求a，b，c，d的值.

（II）若x≥-2時，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍.

解（I）f′（x）=2x+a，因此

又因為g′（x）=ex（cx+d+c）,因此

（II）f（x）=x2+4x+2，g（x）=ex（2x+2）.原式等價于

在［-2,+∞）上恒成立.

（2）當(dāng)x?=-1時，令

① 若x≥0，則F′（x）≤0，即F（x）在［0,+∞）上是減函數(shù)，所以，F(xiàn)（x）的最大值為F（0）=1，即k≥1.

② 若-2≤x≤0（x?=-1），則F′（x）≥0，即F（x）在［-2,0］（x?=-1）上是增函數(shù).所以，F(xiàn)（x）的極大值為F（0）=1，極小值為F（-2）=e2.

當(dāng)-2≤x＜-1時，2x+2＜0，所以

當(dāng)-1＜x≤0時，2x+2＞0，所以

所以，k∈［1,e2］.

四、“轉(zhuǎn)·變·造”方法之再應(yīng)用

（2014年全國高考乙卷理21）設(shè)函數(shù)

曲線y=f（x）在點（1,f（1））處的切線為y=e（x-1）+2.

（1）求a，b；

（2）證明：f（x）＞1.

解（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0,+∞），

由題意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2.

綜上所述，當(dāng)x＞0時，h（x）＜g（x），即f（x）＞1.

從以上第（2）問解答看出，當(dāng)轉(zhuǎn)化后，左右兩邊的式子都不是基本初等函數(shù)時，分別構(gòu)造、分別求導(dǎo)，得出其最值，再進行比較，不失為一種好的方法.

以上二、三、四小節(jié)是我對近幾年全國高考乙卷函數(shù)解答題的處理方法，不難看出，無論是求參數(shù)的范圍，還是函數(shù)證明題，用“轉(zhuǎn)·變·造·形”的方法都比較容易解決，對這種方法的優(yōu)點及其局限性也做出了客觀的分析，如果對今后的高考備考有一點點幫助，我將感到非常欣慰.

五、分析、總結(jié)及建議

（一）2016年全國高考函數(shù)解答題特點及考生答題情況

（1）題目設(shè)計合理：考題滲透了高等數(shù)學(xué)的思想；很好地體現(xiàn)了選拔功能，不同能力和水平的考生在答卷中一下就能分辨出來.

（2）題目導(dǎo)向正確：教授概念、理解概念、掌握概念、活用概念，是我們堅持要做的事情.

（3）概念、公式、定理、法則考查非常到位：無論是函數(shù)的概念、乘法的求導(dǎo)法則，還是零點存在定理都得到較好體現(xiàn)，具有較好的選拔功能，本題廣東理科考生0分率為49.54%，1分以下（含1分）的考生占93.2%，選拔作用頗為突出！

（4）思想方法考查適合中學(xué)教學(xué)：運算、猜想及估算、數(shù)形結(jié)合、推理、等價轉(zhuǎn)化等都體現(xiàn)得非常好.

（5）能力要求不低：函數(shù)圖象的變化趨勢的判斷、構(gòu)造函數(shù)以及畫圖的技巧都有較高要求.

（6）關(guān)于考生出現(xiàn)的低級錯誤可參見本期上的文章：

劉秀湘，2016年廣東高考數(shù)學(xué)試題和答卷分析，中學(xué)數(shù)學(xué)研究［J］，2016，9（上半月）.

（二）近幾年全國高考函數(shù)解答題特點

（1）題型：求參數(shù)范圍、證明、利用方程（組）求系數(shù).

（2）背景：利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合零點（導(dǎo)數(shù)+零點）.

（3）方法：數(shù)形結(jié)合（求參數(shù)范圍），轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)（證明命題）.

（4）要求：具備較強的解題能力（講過做過未必會做，做過練過未必高分）.

（三）教學(xué)建議

1.教教材，教概念：數(shù)學(xué)推理與運算是從概念出發(fā)的.

很多老師值得反思的問題：我們認認真真地教過概念嗎？數(shù)學(xué)是玩概念的！數(shù)學(xué)思維的特點是用概念思維，是抽象思維.

如何進行概念教學(xué)呢？江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)陶維林老師說得好：數(shù)學(xué)概念的教學(xué)決不能簡單化，決不能采取直接告訴的方式，讓學(xué)生背誦概念條文，解釋關(guān)鍵詞，打預(yù)防針（要求注意這，注意那）.在概念教學(xué)中，必須讓學(xué)生參與概念的定義過程.應(yīng)當(dāng)是學(xué)生已經(jīng)有了一定的體驗、感受以后的一種自然的歸納、概括.不把概念“拋”給學(xué)生，“一個概念，三項注意”.

2.認真落實基礎(chǔ)知識，注重基本技能的培養(yǎng)：教學(xué)函數(shù)部分時，基本初等函數(shù)的概念不能馬虎，圖象變化趨勢要講清楚（指數(shù)爆炸、對數(shù)平緩、冪函數(shù)不溫不火），基本初等函數(shù)（尤其是一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）的性質(zhì)必須不留死角，適當(dāng)練習(xí)簡單的復(fù)合函數(shù)是必要的；導(dǎo)數(shù)的公式、法則的記憶一定不能出錯.

3.多做較簡易、可操作的數(shù)學(xué)，少做或不做晦澀、難懂的數(shù)學(xué)；做基本的（加、減、乘、除）數(shù)學(xué)運算，不做大難度的數(shù)學(xué)運算.

4.教方法：抽象、推理、建模是數(shù)學(xué)有別于其它學(xué)科的素養(yǎng)，也是數(shù)學(xué)的魅力之一，函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、劃歸或轉(zhuǎn)化這些數(shù)學(xué)思想方法是需要長期培養(yǎng)的.

5.養(yǎng)成認真審題的好習(xí)慣：深入分析，弄清題意.

6.防“忽悠”：函數(shù)題并不是太難，但命題者往往憑著心中有底（有圖象、有結(jié)論、），會依據(jù)不同學(xué)生的水平，故意設(shè)置一些看似難以逾越的坎，甚至一些干擾，人為地增加難度（包括知識的、心理的），如果能看穿其意圖，，以一定的經(jīng)驗、功底和方法，剔除“不合理”的、解決部分“合理”，花主要精力認真解決剩下的，問題就變得不復(fù)雜了.

7.積累解題方法：注意特殊點、特殊值、特殊函數(shù)，

8.考試時做明白人

（1）我的分數(shù)從哪里來？

（2）怎樣做才可以得分？

（3）如何更好地得分？

［1］陶維林.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實踐與思考］J］.中小學(xué)數(shù)學(xué).2011，3.

［2］章建躍.數(shù)學(xué)概念教學(xué)中培養(yǎng)創(chuàng)造能力［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2009（11），封底.