全國(guó)課標(biāo)卷命題趨勢(shì)分析及備考策略探討*

廣州市教育研究院（510030） 曾辛金

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全國(guó)課標(biāo)卷命題趨勢(shì)分析及備考策略探討*

廣州市教育研究院（510030） 曾辛金

2016年的高考已經(jīng)落下帷幕，但圍繞2016年的高考話題卻從沒(méi)間斷.2016年又有七個(gè)省進(jìn)入使用全國(guó)課標(biāo)卷，使用全國(guó)課標(biāo)卷高考的省市自治區(qū)達(dá)到24個(gè)，教育部考試中心考慮到各省市自治區(qū)數(shù)學(xué)教學(xué)的差異，共命制了I卷、II卷、III卷共3套數(shù)學(xué)試卷，那么，全國(guó)高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷有何特點(diǎn)？難易程度如何？對(duì)未來(lái)的考生備考有何啟示？這是從學(xué)校到家長(zhǎng)、從教師到學(xué)生尤為關(guān)注的焦點(diǎn).

高考數(shù)學(xué)命題的主要依據(jù)是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）、《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱-數(shù)學(xué)（文、理科）》（以下簡(jiǎn)稱《考試大綱》）和《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（課標(biāo)卷）考試大綱的說(shuō)明-數(shù)學(xué)（文、理科）》（以下簡(jiǎn)稱《考試說(shuō)明》）.

2016年全國(guó)高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷文理科試題整體難度與往年全國(guó)卷大致相當(dāng)，試題的結(jié)構(gòu)與考查內(nèi)容沒(méi)有本質(zhì)變化，命題者在選擇題與填空題方面作了一定的調(diào)整，選擇題與填空題相對(duì)往年的全國(guó)卷降低了部分試題的難度.命題充分體現(xiàn)能力立意的理念，突出“理性思維”和“應(yīng)用能力”的考查.以下通過(guò)對(duì)2016年全國(guó)課標(biāo)卷命題特點(diǎn)的分析探討高考數(shù)學(xué)備考的策略，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)斧正.

一、2016年全國(guó)高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷的命題特點(diǎn)

1.從2016年全國(guó)高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷知識(shí)點(diǎn)分布看命題特點(diǎn)

表1　2016年全國(guó)高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷（文科）試題考查知識(shí)點(diǎn)分布表

解三角形4 15 17 9 17數(shù)學(xué)5數(shù)列17不等式16 14 13常用邏輯用語(yǔ)選修1-1圓錐曲線與方程5/20 5/21 12/20導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用9/12/21 20 16/21統(tǒng)計(jì)案例18選修1-2推理與證明16復(fù)數(shù)2 2 2框圖幾何證明選講22 22 22選做題坐標(biāo)系與參數(shù)方程23 23 23不等式選講24 24 24

表2　2016年全國(guó)高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷（理科）試題考查知識(shí)點(diǎn)分布表

從表1、表2可以看出：

（1）2016年全國(guó)高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷考查的知識(shí)點(diǎn)基本一致，在客觀題中必考的有集合、函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三視圖、算法初步、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、平面向量、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、復(fù)數(shù)等.

（2）文理科必做解答題第17題的考查內(nèi)容在解三角形與數(shù)列中選擇一個(gè)，2016年側(cè)重考查了數(shù)列，立體幾何由于《考試說(shuō)明》要求不同（主要體現(xiàn)在第（II）問(wèn)）而不同，其余3道試題（統(tǒng)計(jì)與概率或統(tǒng)計(jì)案例、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)）考查的知識(shí)點(diǎn)基本相同，但對(duì)文理科在難度與要求上不同，若考查統(tǒng)計(jì)案例則文理科要求相同.值得注意的是，在近三年統(tǒng)計(jì)案例的考查中，2014年、2015年、2016年分別在全國(guó)課標(biāo)II卷、I卷、III卷考查了回歸方程問(wèn)題.

（3）選做題的三個(gè)模塊各卷文理科內(nèi)容與要求完全相同.

2.從2016年全國(guó)高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷試題看命題特點(diǎn)

2016年全國(guó)高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷貫徹了“立德樹(shù)人”的理念，突出理性思維，考查實(shí)際應(yīng)用，關(guān)注社會(huì)發(fā)展，體現(xiàn)時(shí)代特征.試卷根據(jù)《考試大綱》的內(nèi)容與要求，在基礎(chǔ)性、思想性、創(chuàng)新性等方面作了深入的研究和積極的探索.試卷突出考查邏輯推理能力，重視學(xué)科基礎(chǔ)性、綜合性，加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用能力的考查.縱觀2016年全國(guó)高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷有以下主要特點(diǎn).

（1）體現(xiàn)基礎(chǔ)性，弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化

2016年全國(guó)I卷數(shù)學(xué)選擇題與填空題相對(duì)往年的全國(guó)I卷降低了部分試題的難度，起點(diǎn)明顯降低了門檻，壓軸題也沒(méi)有刻意創(chuàng)新.

例如，全國(guó)I卷文理科第（1）題考查了簡(jiǎn)單集合的運(yùn)算，第（2）題考查了復(fù)數(shù)的基本概念與運(yùn)算，知識(shí)點(diǎn)的考查要求與往年全國(guó)課標(biāo)卷比較有所降低.

I卷文科（1）設(shè)集合A=｛1,3,5,7｝，B=｛x|2≤x≤5｝，則A∩B=（）.

A.｛1,3｝B.｛3,5｝C.｛5,7｝D.｛1,7｝

I卷理科（1）設(shè)集合A= ｛x|x2-4x+3＜ 0｝，B=｛x|2x-3＞0｝，則A∩B=（）.

說(shuō)明 文理科第（1）題主要考查集合的運(yùn)算.在求解有關(guān)集合之間的交集、并集、補(bǔ)集問(wèn)題時(shí)，必須對(duì)集合的相關(guān)概念有深刻的理解，善于抓住代表元素的特征，通過(guò)觀察集合之間的關(guān)系，借助數(shù)軸使問(wèn)題直觀準(zhǔn)確地得到解決.

I卷文科（2）設(shè)（1+2i）（a+i）的實(shí)部與虛部相等，其中a為實(shí)數(shù)，則a=（）.

A.-3B.-2C.2D.3

說(shuō)明 本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的概念.熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)的概念和已知條件，尋找關(guān)于參數(shù)的方程（組），通過(guò)解方程，求出參數(shù)的值.

I卷理科（2）設(shè)（1+i）x=1+yi，其中x,y是實(shí)數(shù)，則|x+yi|=（）.

說(shuō)明 本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)相等的充要條件、復(fù)數(shù)的模等基礎(chǔ)知識(shí).熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，尋找關(guān)于參數(shù)的方程（組），通過(guò)解方程，求出參數(shù)的值，再利用復(fù)數(shù)模的定義求解.

全國(guó)I卷文科第（12）題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，理科第（12）題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，文理科第（16）題考查線性規(guī)劃問(wèn)題，這些壓軸題與考生的認(rèn)知水平基本相當(dāng)，與往年全國(guó)卷選擇題、填空題的壓軸題比較相對(duì)容易理解.

說(shuō)明 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)與三角函數(shù)相交匯的不等式的恒成立問(wèn)題.但本題需求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)文科生有“超標(biāo)”嫌疑.對(duì)于已知函數(shù)f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增（減）求參數(shù)的取值范圍，常轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0（f′（x）≤0）在D上恒成立，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求最值或轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像都不在x軸上（下）方的問(wèn)題.

A.11B.9C.7D.5

說(shuō)明 本題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí).要熟練掌握三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，并能利用換元的思想處理一般的情形.

I卷文理科（16）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為_(kāi)___元.

說(shuō)明 本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí).解決此類題目的關(guān)鍵：一是構(gòu)建模型，讀懂應(yīng)用背景（最好用列表的形式把有關(guān)數(shù)據(jù)列出），構(gòu)建簡(jiǎn)單線性規(guī)劃模型；二是判斷二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法“選點(diǎn)法”：直線定邊界，分清虛實(shí)，選點(diǎn)定區(qū)域，常選原點(diǎn)；三是求線性目標(biāo)函數(shù)的最值：一畫二移三求.

此外，今年的數(shù)學(xué)試題設(shè)計(jì)努力發(fā)掘我國(guó)古代數(shù)學(xué)的精髓.例如，全國(guó)II卷理科第（8）題（文科第（9）題）的程序框圖考查我國(guó)南宋時(shí)期著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出的求多項(xiàng)式值的算法，題目不僅考查考生對(duì)程序框圖基本邏輯結(jié)構(gòu)以及算法的含義的理解和應(yīng)用，更重要的是通過(guò)解題使考生深刻認(rèn)識(shí)到中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深和源遠(yuǎn)流長(zhǎng).

II卷理科（8）（文科（9））中國(guó)古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法，下圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x=2，n=2，依次輸入的a為2,2,5，則輸出的s=（）.

圖1　

A.7B.12C.17D.34

說(shuō)明 本題主要考查程序框圖.當(dāng)程序框圖的運(yùn)行次數(shù)不多時(shí)，可以逐次列舉，若運(yùn)行次數(shù)較多，則可通過(guò)前幾次運(yùn)行結(jié)果發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

（2）突出選拔性，注重邏輯推理

2016年的全國(guó)課標(biāo)卷提高了考查邏輯推理能力試題的比例，把考查邏輯推理能力作為命題的首要任務(wù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體，考查考生縝密思維、嚴(yán)格推理能力.

例如，全國(guó)I卷理科第（7）題（文科第（9）題）將函數(shù)奇偶性、函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像等知識(shí)遷移到創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境中，結(jié)合圖形考查推理論證能力.

I卷理科（7）（文科（9））函數(shù)y=2x2-e|x|在［-2,2］的圖像大致為（）.

圖2　

說(shuō)明 本題主要考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí).在已知函數(shù)解析式，判斷函數(shù)的圖像問(wèn)題，不僅會(huì)用特殊點(diǎn)排除，還需利用圖像的特性（如單調(diào)性或幾何意義等）去識(shí)別.

全國(guó)II卷數(shù)學(xué)試題，一如既往保持了課標(biāo)卷“整體穩(wěn)定，適度創(chuàng)新”的風(fēng)格.全國(guó)II卷理科第（15）題（文科第（16）題）沒(méi)有公式、數(shù)字、符號(hào)，在自然的生活形式和狀態(tài)中考查考生的邏輯推理能力，更真實(shí)、有效.

II卷理科（15）（文科（16））有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是___.

說(shuō)明 本題主要考查推理的實(shí)際應(yīng)用.解決這類問(wèn)題可以將所有可能情況列舉出來(lái)，再排除不符合條件的即可.

三套課標(biāo)卷的立體幾何試題將空間想象能力、運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力的考查有機(jī)結(jié)合，考查考生的綜合素養(yǎng).全國(guó)I卷文科第（18）題立體幾何從理解正投影的概念，到作出正投影的位置，需具備很強(qiáng)的空間想象能力才能完成.

I卷文科（18）如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連結(jié)PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.

圖3　

（I）證明：G是AB的中點(diǎn)；

（II）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說(shuō)明作法及理由），并求四面體PDEF的體積.

說(shuō)明 本題主要考查空間幾何體的線面位置關(guān)系、體積的計(jì)算等.第（I）問(wèn)轉(zhuǎn)化為證明PG⊥AB；第（II）問(wèn)利用等體積法與三棱錐的體積公式求四面體PDEF的體積.

2016年高考數(shù)學(xué)試題突出了試題的創(chuàng)新設(shè)計(jì).全國(guó)II卷文理科第（17）題要求考生理解新的函數(shù)定義解決數(shù)列問(wèn)題；文理科第（24）題將參數(shù)滿足的條件用不等式的解集給出，設(shè)問(wèn)方法新穎，不落熟套.全國(guó)III卷文理科第（4）題要求考生讀懂“雷達(dá)圖”；理科第（12）題要求考生準(zhǔn)確理解“規(guī)范01數(shù)列”的定義.

II卷文科（17）等差數(shù)列｛an｝中，a3+a4=4，a5+a7= 6.

（I）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)bn=［an］，求數(shù)列｛bn｝的前10項(xiàng)和，其中［x］表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如［0.9］=0，［2.6］=2.

II卷理科（17）Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，且a1=1，S7=28.記bn=［lgan］，其中［x］表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如［0.9］=0，［lg99］=1.

（I）求b1,b11,b101；

（II）求數(shù)列｛bn｝的前1000項(xiàng)和.

說(shuō)明 全國(guó)II卷文理科第（17）題主要考查等差數(shù)列、數(shù)列求和的綜合應(yīng)用，考查考生的運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力，兩道試題均引入取整函數(shù)，讓考生理解取整函數(shù)的意義，再進(jìn)行數(shù)列的求和，這種求和方式在平時(shí)的訓(xùn)練中較少出現(xiàn)，考查考生的隨機(jī)應(yīng)變能力，解題的關(guān)鍵就是確定數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式（規(guī)律）.

（I）求M；

（II）證明：當(dāng)a,b∈M時(shí)，|a+b|＜|1+ab|.

說(shuō)明 本題主要考查含有絕對(duì)值的不等式的解法以及不等式的證明，考查考生的推理論證能力以及運(yùn)算求解能力.第（I）問(wèn)利用零點(diǎn)分區(qū)間討論法去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單不等式組求解；第（II）問(wèn)利用作差比較法證明.

III卷文理科（4）某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15?C，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5?C.下面敘述不正確的是

圖4　

A.各月的平均最低氣溫都在0?C以上

B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D.平均氣溫高于20?C的月份有5個(gè)

說(shuō)明本題主要考查平均數(shù)、統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，考查考生通過(guò)“雷達(dá)圖”獲取數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的能力.

III卷理科（12）定義“規(guī)范01數(shù)列”｛an｝如下：｛an｝共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k≤2m，a1,a2,···,ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（）.

A.18個(gè)B.16個(gè)C.14個(gè)D.12個(gè)

說(shuō)明 本題主要考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用和新概念的閱讀與理解，考查考生的邏輯推理能力、分析能力.求解計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，如果遇到情況較為復(fù)雜，即分類較多，標(biāo)準(zhǔn)也較多，若所求計(jì)數(shù)結(jié)果不太大時(shí)，往往采用表格法、樹(shù)狀圖等將其所有可能一一列舉出來(lái).

（3）提高綜合性，考查通用方法

2016年全國(guó)課標(biāo)卷數(shù)學(xué)試題更加注重通性通法，淡化特殊技巧，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.以一道試題為載體，呈現(xiàn)給考生的是一類題，從而起到舉一反三的作用，也達(dá)到檢查能力水平的目的.全國(guó)I卷文理科第（8）題既考查了數(shù)形結(jié)合的方法，也考查了利用特殊值解決選擇題的方法；全國(guó)I卷文理科第（21）題和全國(guó)III卷文理科第（21）題考查了分類討論的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想；全國(guó)I卷理科第（18）題及II卷、III卷理科第（19）題考查求直線與平面、平面與平面所成角的方法；全國(guó)I卷文理科第（19）題及II卷、III卷文理科第（18）題考查了利用統(tǒng)計(jì)與概率思想解決實(shí)際問(wèn)題的方法.

I卷文科（8）若a＞b＞0，0＜c＜1，則（）.

A.logac＜logbcB.logca＜logcb

C.ac＜bcD.ca＞cb

I卷理科（8）若a＞b＞1，0＜c＜1，則（）.

A.ac＜bcB.abc＜bac

C.alogbc＜blogacD.logac＜logbc

I卷文科（21）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（I）討論f（x）的單調(diào)性；

（II）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

I卷理科（21）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn).

（I）求a的取值范圍；

（II）設(shè)x1，x2是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2＜2.

說(shuō)明 I卷文理科第（21）題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想，以及推理論證能力.要求考生能結(jié)合圖像討論函數(shù)的幾何特性，文科試題是將理科試題的第（I）問(wèn)分解為先求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，再判斷函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)a的取值范圍，理科則在此基礎(chǔ)上證明兩個(gè)零點(diǎn)的和小于2，顯然對(duì)理科考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想要求更高，無(wú)論是文科還是理科，兩問(wèn)之間都屬于遞進(jìn)關(guān)系.

III卷文科（21）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-x+1.

（I）討論f（x）的單調(diào)性；

（III）設(shè)c＞1，證明當(dāng)x∈（0,1）時(shí)，1+（c-1）x＞cx.

說(shuō)明 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的證明，考查考生的邏輯思維能力、推理論證能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.第（I）問(wèn)考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于基本要求，第（II）問(wèn)的兩個(gè)不等式證明，既可直接運(yùn)用第（I）問(wèn)的結(jié)果，也可通過(guò)構(gòu)造不等式證明，難度也不大，第（III）問(wèn)難度陡然增加，難點(diǎn)在構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)后，極值點(diǎn)的大小確定要有一定的技巧.本題相對(duì)I卷文科卷要容易入手.

III卷理科（21）設(shè)函數(shù)f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+ 1），其中a＞0，記|f（x）|的最大值為A.

（I）求f′（x）；

（II）求A；

（III）證明|f′（x）|≤2A.

說(shuō)明 本題主要考查三角恒等變換、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、三角函數(shù)的有界性，考查考生的三角恒等變換能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分類討論的思想與轉(zhuǎn)化思想.由于本題涉及到三角恒等變換與三角函數(shù)的有界性，加上a的范圍的限制，考生入手并不容易，不過(guò)命題者增加了第（I）問(wèn)的直接求導(dǎo)，屬于給考生送點(diǎn)分.

I卷理科（18）如圖，在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF= 2FD，∠AFD=90?，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60?.

圖5　

（I）證明：平面ABEF⊥平面EFDC；

（II）求二面角E-BC-A的余弦值.

說(shuō)明 本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系、求二面角等，考查考生邏輯推理能力、空間想象能力和運(yùn)算求解能力.本題給出一個(gè)考生不太熟悉的五面體，由此判斷并證明CD//EF，這是考生難以逾越的障礙，加上二個(gè)已知二面角，再求一個(gè)二面角，給考生不少心理壓力.

圖6　

（I）證明：D′H⊥平面ABCD；

（II）求二面角B-D′A-C的正弦值.

說(shuō)明 本題主要考查空間線面位置關(guān)系，求二面角等，考查考生邏輯推理能力、空間想象能力和運(yùn)算求解能力.第（I）問(wèn)證明線面垂直相對(duì)I卷證明面面垂直和III卷證明線面平行要容易入手，且比較直觀；第（II）問(wèn)由于有第（I）問(wèn)鋪墊，建系較直接，因此難度也就不大.

III卷理科（19）如圖，四棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABCD，AD//BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).

圖7　

（I）證明MN//平面PAB；

（II）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

說(shuō)明 本題主要考查空間直線與平面間的平行于垂直關(guān)系，棱錐的體積等，考查考生邏輯推理能力、空間想象能力和運(yùn)算求解能力.第（I）問(wèn)證明線面平行有一定的難度，這需要熟練掌握線線平行與線面平行之間的轉(zhuǎn)化，不過(guò)如果不證第（I）問(wèn)，可跳過(guò)它直接做第（II）問(wèn)，且求線面角的運(yùn)算量相對(duì)求二面角要少.

（4）關(guān)注差異性，體現(xiàn)文理有別

2016年全國(guó)卷對(duì)文科和理科的要求，無(wú)論是從容量設(shè)置和難度的設(shè)置上，均存在一定的差異，比如在統(tǒng)計(jì)與概率，理科生要比文科生多掌握排列組合等計(jì)數(shù)原理，二項(xiàng)式定理，離散型隨機(jī)變量的分布列.

2016年全國(guó)課標(biāo)卷在命題時(shí)充分考慮考生數(shù)學(xué)能力的個(gè)體差異，絕大多數(shù)試題的解答方法、思維方式不是唯一，而是多種多樣的，各卷的解析幾何試題將曲線的幾何性質(zhì)和數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)利用代數(shù)方法研究幾何的特點(diǎn)，都可以有多種方法求解.通過(guò)方法選擇、解題時(shí)間長(zhǎng)短，區(qū)分出考生能力的差異，為了區(qū)分文理科考生邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力的水平，全國(guó)I卷在命題方面想了不少方法體現(xiàn)這種差異性.如文理科相同序號(hào)的客觀題中，第（1）題是集合，文科主要考查點(diǎn)集的概念，理科主要考查數(shù)集的概念與解不等式；第（2）題是復(fù)數(shù)，文科主要考查實(shí)部與虛部的概念以及復(fù)數(shù)相等的條件，理科主要考查復(fù)數(shù)相等的條件和模的概念與運(yùn)算；第（5）題是解析幾何，文科主要考查求橢圓的離心率，理科主要考查求雙曲線中參數(shù)的取值范圍；第（13）題是平面向量，文科主要考查兩個(gè)向量垂直的條件、數(shù)量積的運(yùn)算，理科主要考查平面向量的模長(zhǎng)、平面向量的坐標(biāo)表示.而所有解答題的要求也不盡相同，如第（17）題，文科考比較容易入手的數(shù)列，理科考解三角形；第（18）題是立體幾何，文科考正三棱錐中的線面位置關(guān)系與體積計(jì)算，理科考五面體中的線面位置關(guān)系與二面角；第（19）題是統(tǒng)計(jì)與概率，雖然背景相同，但要求明顯不同，文科主要考查柱狀圖、頻數(shù)與平均數(shù)，理科主要考查柱狀圖、頻數(shù)與離散型隨機(jī)變量的分布列和期望；第（20）題是解析幾何，文科主要考查拋物線的圖像和性質(zhì)、直線和拋物線的位置關(guān)系，理科主要考查橢圓的定義、橢圓與圓的圖像和性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系以及四邊形的面積計(jì)算；第（21）題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，文科主要考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，理科主要考查函數(shù)的零點(diǎn)、不等式的證明、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

說(shuō)明 本題主要考查橢圓的圖像和性質(zhì)、直線和橢圓的位置關(guān)系.要熟練掌握橢圓的基本量及其關(guān)系.

A.（-1,3）B.（-1,3） C.（0,3）D.（0,3）

說(shuō)明 本題主要考查雙曲線的圖像和性質(zhì).要注意分類討論，由于本題當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)不存在這樣的m，所以如果考生默認(rèn)焦點(diǎn)在x軸上就可得到正確答案，因此失去了分類討論的意義.

說(shuō)明 本題主要考查平面向量的坐標(biāo)表示，向量垂直的條件等基礎(chǔ)知識(shí)

說(shuō)明 本題主要考查平面向量的模長(zhǎng)、平面向量的坐標(biāo)表示等基礎(chǔ)知識(shí).

I卷文科（20）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l∶y=t（t?= 0）交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C∶y2=2px（p＞0）于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.

（II）除H以外，直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說(shuō)明理由.

說(shuō)明 本題主要考查直線與拋物線的圖像和性質(zhì)、直線和拋物線的位置關(guān)系，考查考生推理論證能力和運(yùn)算求解能力.第（I）問(wèn)主要通過(guò)求解直線與直線、直線與曲線的交點(diǎn)，然后求線段的比值，第（II）問(wèn)判斷直線與曲線是否存在其他交點(diǎn)，考查考生的數(shù)學(xué)探究能力.此題只要根據(jù)題目要求依次寫出點(diǎn)M，點(diǎn)P，點(diǎn)N，點(diǎn)H的坐標(biāo)，則可得到5分，這與不到1分的結(jié)果確實(shí)值得我們備考時(shí)深思.

I卷理科（20）設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

（I）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

（II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

說(shuō)明 本題主要考查橢圓的定義、橢圓與圓的圖像和性質(zhì)、直線和橢圓的位置關(guān)系、四邊形的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生推理論證能力和運(yùn)算求解能力.第（I）問(wèn)考查了利用橢圓的定義求軌跡方程的方法，命題者為了降低難度，特意設(shè)置了先判斷一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)，第（II）問(wèn)求對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積，側(cè)重考查運(yùn)算求解能力.

但從今年的全國(guó)課標(biāo)卷來(lái)看，文科與理科的差異化正在縮小，文理科不僅選修部分內(nèi)容完全一樣，就連必考部分的考查也有40多分一模一樣的考題，比如全國(guó)I卷文理科完全相同的試題有：文科第（7）題與理科第（6）題，文科第（9）題與理科第（7）題，文科第（10）與理科第（9）題，文理科第（11）題，文理科第（16）題，基本相同的有：文理科第（8）題，文科第（21）的第（II）問(wèn)與理科第（I）問(wèn).這為修改后的課程標(biāo)準(zhǔn)高考數(shù)學(xué)文理不分科作了心理準(zhǔn)備和逐步過(guò)渡.

（5）增強(qiáng)應(yīng)用性，考查應(yīng)用能力

2016年高考數(shù)學(xué)試題命題，體現(xiàn)了緊密結(jié)合社會(huì)實(shí)際和考生的現(xiàn)實(shí)生活的特點(diǎn).全國(guó)I卷文科第（3）題的情景涉及環(huán)境美化，主要考查古典概型的計(jì)算；理科第（4）題的情景涉及公司班車，主要考查幾何概型的計(jì)算；文理科第（16）題為高科技企業(yè)產(chǎn)品利潤(rùn)，主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)；文理科第（19）題為企業(yè)的成本控制，主要考查柱狀圖、頻數(shù)、平均數(shù)、離散型隨機(jī)變量的分布列與期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力.

全國(guó)II卷文科第（8）題情景為交通燈設(shè)計(jì)，理科第（5）題的街道路徑選擇，文理科第（18）題為保險(xiǎn)費(fèi)用的設(shè)計(jì)；

全國(guó)III卷文理科第（4）題的情景為旅游城市的氣溫統(tǒng)計(jì)，文理科第（18）題為生活垃圾無(wú)害化處理.

這些試題考查了考生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與社會(huì)的密切聯(lián)系，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用魅力，具有濃厚的時(shí)代氣息.

I卷文科（3）為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（）.

I卷理科（4）某公司的班車在7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是（）.

說(shuō)明 本題主要考查幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí).求解幾何概型題，關(guān)鍵是明確測(cè)度是一維（如長(zhǎng)度、角度）、二維（如面積）還是三維（如體積）.

I卷理科（19）某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

圖8　

以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).

（I）求X的分布列；

（II）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；

（III）以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？

說(shuō)明 本題主要考查柱狀圖、頻數(shù)、等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力.文理科第（19）題均為企業(yè)的成本控制問(wèn)題，為了區(qū)分文理科的要求，命題者設(shè)計(jì)文科“購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器”、理科“購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器”，且理科側(cè)重于考查分布列與期望，但由于文科的數(shù)據(jù)偏大，加上第（II）問(wèn)的敘述較難理解，得分很不理想.

II卷文科（8）某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為（）.

圖9　

說(shuō)明 本題主要考查幾何概型的計(jì)算.求解幾何概型問(wèn)題關(guān)鍵是明確測(cè)度是一維、二維還是三維.

II卷理科（5）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）.

A.24B.18C.12D.9

說(shuō)明 本題主要考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查推理論證能力.利用分步計(jì)數(shù)原理時(shí)要弄清完成事件的步驟以及各步的方法.

II卷文科（18）某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a（單位：元），繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險(xiǎn)次數(shù)0 1 2 3 4≥5保費(fèi)0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a

隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：

出險(xiǎn)次數(shù)0 1 2 3 4≥5頻數(shù)60 50 30 30 20 10

（I）記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”.求P（A）的估計(jì)值；

（II）記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”.求P（B）的估計(jì)值；

（III）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)估計(jì)值.

說(shuō)明 本題主要考查隨機(jī)事件的概率及均值的計(jì)算和應(yīng)用，考查考生的運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸的能力.注意將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題求解.

II卷理科（18）某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a（單位：元），繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險(xiǎn)次數(shù)0 1 2 3 4≥5 0.85a保費(fèi)a 1.25a 1.5a 1.75a 2a

設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下：

一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)0 2 1 3 4≥5概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05

（I）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；

（II）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；

（III）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.

說(shuō)明 本題主要考查互斥事件的概率、條件概率以及隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算和應(yīng)用，考查考生的運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸的能力.注意將實(shí)際問(wèn)題合理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題求解.在解決概率問(wèn)題時(shí)，對(duì)于復(fù)雜事件的概率求解時(shí)要對(duì)基本事件分類或分步，再利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式求解，正面情況較多的概率問(wèn)題可以利用對(duì)立事件的概率簡(jiǎn)化運(yùn)算.

III卷文理科（18）下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖

圖10　

（I）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；

（II）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量.

說(shuō)明 本題主要考查線性相關(guān)與線性回歸方程的求法與應(yīng)用，考查考生數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.要求考生能從圖中獲取相關(guān)數(shù)據(jù)信息，利用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明用線性回歸模型擬合的合理性等等，考查考生閱讀理解與學(xué)習(xí)新知識(shí)的能力.判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)及相關(guān)程度通常有兩種方法：一是利用散點(diǎn)圖直觀判斷；二是將相關(guān)數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)r公式求出r，然后根據(jù)r的大小進(jìn)行判斷.求線性回歸方程時(shí)在嚴(yán)格按照公式求解時(shí)，一定要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性.

二、高考數(shù)學(xué)備考策略

高考數(shù)學(xué)備考沒(méi)有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)模式，每個(gè)學(xué)校都有基于學(xué)生自身水平的備考方案，以下就備考中普遍關(guān)注的問(wèn)題提幾點(diǎn)看法，僅供參考.

1.精選訓(xùn)練材料，保持足夠訓(xùn)練

訓(xùn)練材料的選取是高考復(fù)習(xí)的重要一環(huán)，材料選得好，可以起到事半功倍的作用.建議選用以下材料進(jìn)行訓(xùn)練：

（1）歷年全國(guó)高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷和部分自主命題高考數(shù)學(xué)試題；高考題是高考要求的具體體現(xiàn)，它既反映了高考的范圍、重點(diǎn)，又展示了題型、特點(diǎn)，是高三教學(xué)的“無(wú)形指揮棒”，所以我們經(jīng)常選用歷屆高考題中的典型題目作為例題進(jìn)行復(fù)習(xí)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生分析，使學(xué)生經(jīng)常將復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與解答高考題掛起鉤來(lái)，真正做到著眼于高考.

（2）歷年全國(guó)各地的高考數(shù)學(xué)模擬試題，特別要注意省內(nèi)各地、市模擬題的特點(diǎn).雖然模擬題不可能是高考題，但模擬題畢竟代表本地區(qū)骨干教師的集體智慧，具有較好的參考價(jià)值.

在選取材料時(shí)，要有一定量的非常規(guī)題，在選擇題與填空題中要有部分陷阱題.

另外，數(shù)學(xué)有其復(fù)習(xí)的特殊性，要求每天都有一定的訓(xùn)練量，每周至少要做一套完整的模擬卷.訓(xùn)練要有針對(duì)性，必須精選精練，杜絕見(jiàn)題就印的不良習(xí)慣.

2.立足中下題目，力爭(zhēng)高上水平

平時(shí)做作業(yè)，全都是按完成所有題目來(lái)要求的.但高考卻不然，只有極個(gè)別的學(xué)生能交滿分卷，因?yàn)闀r(shí)間和難度都不允許多數(shù)學(xué)生去做完、做對(duì)全部題目，所以應(yīng)該明確立足中下題目，拿夠基礎(chǔ)分?jǐn)?shù).

中下題目通常占全卷的80%左右，是試卷的主要構(gòu)成成份，是考生得分的重要來(lái)源，學(xué)生若能拿下120多分，則數(shù)學(xué)科已打下了一個(gè)勝仗，有了這個(gè)心理基礎(chǔ)，對(duì)攻克高難題反而更放得開(kāi)，有獲得高上成績(jī)的希望.

3.加強(qiáng)應(yīng)試訓(xùn)練，掌握得分技巧

（1）容易題爭(zhēng)取不丟分—規(guī)范表述少跳步

加強(qiáng)表述的規(guī)范性，準(zhǔn)確運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，盡量做到容易題不丟分，其中解答題中出現(xiàn)的“跳步”現(xiàn)象是較為普遍存在的丟分原因之一.

（2）中等題爭(zhēng)取少丟分—得分點(diǎn)不能省

容易題和中檔題是試卷的主要構(gòu)成，是考生得分的主要來(lái)源，是高校錄取的主要依據(jù)，是進(jìn)一步解高難題的基礎(chǔ).要確保基礎(chǔ)分、拿下力爭(zhēng)分、不丟零碎分.

（3）難題爭(zhēng)取多拿分—知道一點(diǎn)寫一點(diǎn)，不知道也要寫一點(diǎn)

一道高考題做不出來(lái)，不等于一點(diǎn)想法都沒(méi)有，不等于所涉及的知識(shí)一片空白.尚未成功不等于徹底失敗，應(yīng)盡量將自己知道的寫出來(lái).例如，涉及到直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，一般只要聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消去一個(gè)未知數(shù)（如y），然后寫出這個(gè)一元二次方程（假如二次項(xiàng)系數(shù)不為零，否則要討論）的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，哪怕后面一點(diǎn)都不會(huì)解，也已拿到本題三分之一的分?jǐn)?shù).

（4）克服“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的老大難問(wèn)題

有些學(xué)生不怕難題不得分，就怕每題都扣分，例如在代數(shù)論證中“以圖代證”，盡管解題思路正確甚至很巧妙，但是由于不善于把“圖形語(yǔ)言”準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)譯為“文字語(yǔ)言”，得分少得可憐.只有重視解題過(guò)程的語(yǔ)言表述，“會(huì)做”的題才能“得分”.

（5）要正確處理難題與容易題的關(guān)系

近年來(lái)考題的順序并不完全是按先易后難排列，在答題時(shí)要合理安排時(shí)間，不要在某個(gè)卡住的題上打“持久戰(zhàn)”，那樣既耗費(fèi)時(shí)間又拿不到分，會(huì)做的題又被耽誤了，造成“隱性失分”.解答題一般都設(shè)置了層次分明的“臺(tái)階”，入口寬，入手易，但是深入難，解到底難，因此看似容易的題也會(huì)有“咬手”的關(guān)卡，看似難做的題也有可得分之處.所以盡量做到中等題少丟分，難題多得分.

4.加強(qiáng)“培優(yōu)補(bǔ)差”，提升錄取檔次

根據(jù)生源特點(diǎn)，扎扎實(shí)實(shí)進(jìn)行“培優(yōu)補(bǔ)差”，對(duì)于生源較好的學(xué)校重在“培優(yōu)”上，旨在提高高分段人數(shù)；對(duì)于生源較差的學(xué)校則主要放在“補(bǔ)差”上，旨在提高平均分.這種“培優(yōu)補(bǔ)差”是相對(duì)的，特別在各地“一?！焙螅鼞?yīng)注重對(duì)“臨界生”的“培優(yōu)補(bǔ)差”.

廣東省教育科研“十二五”規(guī)劃2013年度研究項(xiàng)目—“基于不同課型的高中數(shù)學(xué)骨干教師典型課例研究”課題成果（課題批準(zhǔn)號(hào)：2013TJK493）.