幾何光學(xué)中實正虛負(fù)法則的擴展應(yīng)用

郝志強+化貴圓+劉陽+陳鋁+劉雨坤+劉晶晶+任婷婷

摘要：部分大學(xué)物理教材關(guān)于物像關(guān)系中的焦距和曲率半徑符號的判斷，是依靠球面和透鏡種類來進行判斷的，缺少明確物理意義，學(xué)生容易混淆，從而出現(xiàn)記憶錯誤。文章借助作圖法，分析了焦點虛實與球面和透鏡種類的關(guān)系，將實正虛負(fù)法則擴展至焦距和曲率半徑符號的判斷，這樣既解決了“記憶學(xué)習(xí)”所引起的混淆、易錯的問題，又便于學(xué)生建立物理圖像。

關(guān)鍵詞：幾何光學(xué)；物像公式；符號法則

中圖分類號：G642.4；O435.1 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-120X（2016）23-0090-02 收稿日期：2016-04-28

基金項目：本文系2014年天津市大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目（國家級）（201410069051）。

作者簡介：郝志強（1977—），講師，博士，主要從事物理教學(xué)和微納光學(xué)方面的研究。

一、實正虛負(fù)的符號法則

在幾何光學(xué)中，球面和透鏡成像的符號法則是人為規(guī)定、約定俗成的，以合理和方便為準(zhǔn)則?，F(xiàn)有的教材中，常用的符號法則有三種，分別是“左右法”“順逆法”和“虛實法”，三種法則規(guī)定并不統(tǒng)一，各有優(yōu)劣。[1]

左右法規(guī)定：在原點右方的線段為正，左方的為負(fù)；順逆法規(guī)定：順入射光線的線段為正，逆入射光線者為負(fù)；虛實法規(guī)定：實物點和實像點的距離為正，虛物點和虛像點的距離為負(fù)。虛實法是根據(jù)物、像的物理性質(zhì)來規(guī)定物理量的符號，與左右法和順逆法相比，虛實法的物理意義更加清晰，直觀性強，而且與中學(xué)的相關(guān)知識更為連貫。只要掌握了物（或像）的虛實，物距、像距的符號也就確定了；反之，掌握了物距、像距的符號，也就確定了物（或像）的虛實。因而，現(xiàn)今的大學(xué)物理教材普遍采用虛實法來判斷符號。

在實際應(yīng)用中，虛實法主要是用來判斷物距和像距的正負(fù)，物和像的虛實物理意義清晰，容易判斷。對于“物”來講，本不應(yīng)存在虛實的問題，只要是物都是實的，應(yīng)取正值，但物像關(guān)系公式中規(guī)定，會聚光線入射時，將其視為虛物，取負(fù)值。而“像”的虛實是根據(jù)該像是由實際光線會聚還是由實際光線的反向延長線會聚而成來判斷，實際光線會聚的結(jié)果取正值，反之取負(fù)值。

然而物像公式中除了有物距、像距符號的判斷外，還要涉及球面和薄透鏡焦距或者曲率半徑符號的判定。部分教材在曲率半徑符號的判斷上是根據(jù)球面的種類來規(guī)定其符號，缺少明確的物理意義，與物像符號的虛實判斷法并不統(tǒng)一。例如，在“球面反射成像”中規(guī)定：凹面鏡的曲率半徑R取正；凸面鏡的曲率半徑R取負(fù)（簡稱為凹正凸負(fù)）。而在“球面折射成像”中則規(guī)定：當(dāng)物體面對凸面時，曲率半徑R為正；當(dāng)物體面對凹面時，曲率半徑R為負(fù)（簡稱為凸正凹負(fù)）。[2]除了球面的反射和折射外，還有多種透鏡焦距正負(fù)的判斷。顯然，這么多種涉及球面或透鏡種類的判斷，容易導(dǎo)致學(xué)生混淆而產(chǎn)生錯誤。用球面或透鏡種類來判斷符號的方法不像虛實法那樣具有明確而清晰的物理意義，這是學(xué)生產(chǎn)生錯誤的根源。

二、分析與建議

可以看出在虛實法則中，物距和像距的判斷遵循著實正虛負(fù)的法則，物理意義清晰明確，容易掌握。而曲率半徑和焦距的判斷要依靠球面和透鏡的種類，還要區(qū)分球面反射和折射的情況，不但缺少明確的物理意義，判斷邏輯也與物距和像距不一致，使學(xué)生受困于記憶，增加使用的難度，在實際應(yīng)用時容易混淆符號，進而產(chǎn)生錯誤。如球面反射時，曲率半徑和焦距的符號可總結(jié)為“凹正凸負(fù)”；但球面折射時，焦距和曲率半徑的符號為“凸正凹負(fù)”。

故我們建議將實正虛負(fù)的法則擴展至焦距或曲率半徑符號的判斷，來解決混淆易錯，缺少物理意義的問題。因為無論是球面還是各種類型的透鏡，焦距都是由曲率半徑來定義的，所以兩者符號的判斷是可以統(tǒng)一的。又因為透鏡可視為兩個球面折射的組合，因此本文先將實正虛負(fù)的法則應(yīng)用至球面反射和折射曲率半徑符號的判斷，然后推廣透鏡的曲率半徑和焦距符號的判斷。

三、論證

首先討論球面焦距和曲率半徑符號的判斷方法為：使用平行光照射判斷對象，經(jīng)反射或折射后的實際光線匯聚于主光軸上時，像點（即焦點）為實像，根據(jù)虛實法則中“實像為正”，可得其焦距f和曲率半徑R為正；用平行光照射球面，經(jīng)反射或折射后的實際光線延長線匯聚于主光軸上時，像點為虛像，根據(jù)虛實法則中“虛像為負(fù)”，可得其焦距f和曲率半徑R為負(fù)。下面通過作圖的方式論證上述判斷。

（1）面鏡反射成像。

如圖1左側(cè)所示，凸面反射的情況，反射光線的延長線可會聚于面鏡的右側(cè)的主軸上，非實際光線會聚而成，故像點為虛像，取負(fù)值。圖1右側(cè)為凹面反射的情形，此情形下像點是由實際光線會聚而成的，故焦距f和曲率半徑R取正值。

（2）面鏡折射成像。 圖2左側(cè)為平行光照射凸面折射情形，顯然此情形像點（即焦點）為實際光線會聚而成，故曲率半徑R和焦距f為正。圖2右側(cè)所示平行光照射凹面折射情形，折射光線的延長線會聚面的左側(cè)，非實際光線會聚為虛焦點，可判斷出曲率半徑R和焦距f為負(fù)。

根據(jù)作圖驗證將虛實法應(yīng)用于球面反射和折射判斷的結(jié)果，可將圖1球面反射的結(jié)果總結(jié)為“凹正凸負(fù)”，圖2球面折射的結(jié)果則可總結(jié)為“凸正凹負(fù)”。這與高等教育出版社出版的《大學(xué)物理》中按照球面種類來判斷符號的結(jié)論是一致的。

薄透鏡可視為兩個球面折射的組合，由于兩個不同球面的組合會產(chǎn)生多種情況，因此薄透鏡有多種類型如雙凸、雙凹，平凸、凹凸等，這里主要討論大學(xué)物理中常見的雙凸、雙凹兩種情形。為了簡單起見，假定透鏡兩側(cè)折射率相同，物像關(guān)系式簡化為：

1s'+1s=1f

其中s為物距，s′為像距，f為焦距，焦距f決定于前后兩個球面曲率半徑的倒數(shù)之差1r1-1r2。對于雙凸透鏡來說，從入射角度看，可視為前凸后凹的兩個球面組合，按照前面討論得到的規(guī)律“凸正凹負(fù)”，r1為正，r2為負(fù)，故1r1-1r2為正值。而雙凹透鏡，可視為前凹后凸的兩個球面組合，r1為負(fù)，r2為正，故1r1-1r2為負(fù)值。其結(jié)果與實際情況相符，而其他類型的透鏡也可依據(jù)此法進行判斷。

四、總結(jié)

本文通過討論，將實正虛負(fù)的法則擴展至球面和薄透鏡焦距和曲率半徑符號的判斷，建議物理教師在教學(xué)過程中，主動地向?qū)W生闡明球面和透鏡種類與虛實法之間的聯(lián)系，明確物像公式中符號的物理意義和物理圖像。這種做法有助于幫助學(xué)生避免應(yīng)用物像關(guān)系中容易發(fā)生的錯誤，便于學(xué)生建立物理圖像，明確物理意義，遠(yuǎn)離死記硬背式的學(xué)習(xí)方式。

參考文獻：

孔憲炎，劉翠紅，梁銓廷.幾何光學(xué)中的符號規(guī)則.物理，1998，（7）.

趙凱華.新概念物理教程——光學(xué).北京：高等教育出版社，2004.