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    直擊點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

    2016-10-24 09:02:20張衛(wèi)
    初中生世界 2016年35期
    關(guān)鍵詞:圓心畫圖中點(diǎn)

    張衛(wèi)

    直擊點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

    張衛(wèi)

    畢達(dá)哥拉斯曾經(jīng)說過:“一切立體圖形中最美的是球形,一切平面圖形中最美的是圓.”同學(xué)們,當(dāng)你開始“圓”這一章的學(xué)習(xí)時就進(jìn)入了一個神奇美麗的世界,讓我們從學(xué)習(xí)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系開始吧!

    一、概念釋疑

    認(rèn)真的你一定會注意到,在我們的書本上對“圓”給出了兩種不同的定義:

    1.把線段OP繞著端點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周,端點(diǎn)P運(yùn)動所形成的圖形叫做圓.

    2.圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.

    對于第一種解釋大家應(yīng)該很容易理解,對于第二種定義同學(xué)們可能就不太好理解了.通俗地講集合就是由具有同一屬性的對象匯總成的集體,第二種定義的意思就是:圓,只有一個圓心,圓心到圓上各點(diǎn)的長都相等,并且到圓心的距離等于定長的點(diǎn)都在這個圓上.

    二、概念拓展

    如果我們在平面上畫一個圓,我們可以知道平面內(nèi)的點(diǎn)與這個圓存在三種位置關(guān)系:(1)點(diǎn)在圓上;(2)點(diǎn)在圓內(nèi);(3)點(diǎn)在圓外.

    由此我們還可以得出兩個結(jié)論:

    1.圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合.

    2.圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合.

    三、例題的拓展

    蘇科版《數(shù)學(xué)》教科書第39頁嘗試與交流:

    如圖1,線段PQ=2cm.

    (1)畫出下列圖形:

    到點(diǎn)P的距離等于1cm的點(diǎn)的集合;到點(diǎn)Q的距離等于1.5cm的點(diǎn)的集合.

    (2)在所畫圖中,到點(diǎn)P的距離等于1cm,且到點(diǎn)Q的距離等于1.5cm的點(diǎn)有幾個?請在圖中將它們表示出來.

    (3)在所畫圖中,到點(diǎn)P的距離小于或等于1cm,且到點(diǎn)Q的距離大于或等于1.5cm的點(diǎn)的集合是怎樣的圖形?把它畫出來.

    圖1

    【解析】(1)到點(diǎn)P的距離等于1cm的點(diǎn)的集合是以P為圓心、1cm長為半徑的圓,到點(diǎn)Q的距離等于1.5cm的點(diǎn)的集合是以Q為圓心、1.5cm長為半徑的圓,如圖2-a;

    (2)滿足條件的點(diǎn)有兩個,為(1)中兩圓的交點(diǎn)M、N,如圖2-b;

    (3)由前面的概念可知這樣的點(diǎn)既在⊙P內(nèi)或⊙P上又得在⊙Q外或⊙Q上,即為如圖2-c的陰影部分(包括邊界).

    圖2

    變式1圓心位置、半徑大小都確定

    如圖3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,∠A=30°,E、F分別為AB、AC的中點(diǎn),以B為圓心,BC為半徑畫圓,試判斷點(diǎn)A、C、E、F與⊙B的位置關(guān)系.

    圖3

    圖4

    【解析】在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=4,所以AB=8>4,則點(diǎn)A在⊙B外;很明顯,點(diǎn)C在⊙B上;所以點(diǎn)E在⊙B上;連接BF,在Rt△BCF中,BF>BC,所以點(diǎn)F在⊙B外.

    【點(diǎn)評】現(xiàn)在要判定平面內(nèi)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,除了通過畫圖,還可以通過比較該點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小來判定,而后者以后會用得更多些.

    變式2圓心位置不變,半徑改變

    在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC= 4.以B為圓心、r為半徑畫圓,當(dāng)r在什么范圍時,點(diǎn)C在⊙B內(nèi),點(diǎn)A在⊙B外.

    【解析】要使點(diǎn)C在⊙B內(nèi),r>BC=4;要使點(diǎn)A在⊙B外,r

    變式3圓心位置改變,半徑不變

    如圖5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,∠A=30°,點(diǎn)F為AC中點(diǎn),點(diǎn)P為AB上一動點(diǎn),以P為圓心、2為半徑作⊙P,當(dāng)點(diǎn)P由B→A以1個單位每秒的速度運(yùn)動(點(diǎn)P到A時運(yùn)動停止)過程中,點(diǎn)F在⊙P內(nèi)有多少時間?

    圖5

    圖6

    變式4圓心位置、半徑大小都改變

    如圖7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,∠A=30°,點(diǎn)F為AC中點(diǎn),點(diǎn)P為AB上一動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P由B→A以1個單位每秒的速度運(yùn)動時(點(diǎn)P到A時運(yùn)動停止),以P為圓心的圓的半徑也由0開始以1個單位每秒的速度變大.在這個過程中,點(diǎn)F在⊙P內(nèi)有多少時間?

    圖7

    圖8

    同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)上面的例子都是萬變不離其宗——緊緊圍繞著點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,所以平時大家多積累一定能有更多收獲!

    (作者單位:江蘇省常州市新北區(qū)龍虎塘中學(xué))

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