實時混合模擬誤差的理論分析及試驗驗證

黃　亮　 郭　彤　 徐偉杰

(東南大學(xué)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點試驗室,南京210096)

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實時混合模擬誤差的理論分析及試驗驗證

黃亮 郭彤 徐偉杰

(東南大學(xué)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點試驗室,南京210096)

為研究實時混合模擬中幅值比率誤差和時滯對試驗結(jié)果的影響,選用彈簧作為試驗子結(jié)構(gòu)進行研究,觀測和分析了測量位移與計算位移之間的微小誤差．假定在試驗過程中幅值比率誤差和時滯處處相等,采用時滯微分方程建立了實時混合模擬的數(shù)學(xué)模型,給出了微時滯下自由振動和簡諧振動的近似解．結(jié)果表明,理論分析結(jié)果與試驗結(jié)果較為相似,說明所提數(shù)學(xué)模型具有合理性和準確性．誤差會導(dǎo)致作用在試驗子結(jié)構(gòu)上的外力失真,并影響了數(shù)值子結(jié)構(gòu)的位移峰值和穩(wěn)態(tài)振幅．理論分析結(jié)果與試驗結(jié)果之間的微小差異主要受假設(shè)簡化、測量噪聲、累積誤差等因素的影響．

實時混合模擬;時滯微分方程;誤差分析;幅值比率誤差;時滯

實時混合模擬[1]是一種新型抗震試驗方法,其核心是將低速的擬動力試驗快速化、同步化,適用于試驗對象局部不規(guī)則、非線性等復(fù)雜情況．

本文采用實時混合模擬試驗方法,研究了以彈簧為試驗子結(jié)構(gòu)的單自由度體系在簡諧振動和地震作用下的響應(yīng)．采用時滯微分方程建立了實時混合模擬的數(shù)學(xué)模型,給出了微時滯條件下方程的近似解,并對誤差進行了分析．

1　實時混合模擬試驗原理及步驟

實時混合模擬是一種數(shù)值計算和試驗加載進行同步數(shù)據(jù)交互的聯(lián)機試驗方法,其原理如圖1所示．

圖1　實時混合模擬原理示意圖

試驗將研究對象分為數(shù)值子結(jié)構(gòu)和試驗子結(jié)構(gòu),數(shù)值子結(jié)構(gòu)由有限元數(shù)值模擬,試驗子結(jié)構(gòu)由作動器同步施加荷載并測量反力．試驗步驟如下[2]:

① 將研究對象在空間和時間上離散,建立結(jié)構(gòu)的計算模型和離散運動方程,即

(1)

④ 重復(fù)步驟②和③,直至試驗結(jié)束．

試驗流程如圖2所示．圖中,N為試驗步數(shù)．

圖2　實時混合模擬流程圖

試驗發(fā)現(xiàn)作動器機械傳動具有滯后性．作動器運動需通過數(shù)電信號變換、油源增壓、液壓傳導(dǎo)和活塞驅(qū)動等步驟,因而不能同步、準確地抵達指定位置,由此產(chǎn)生的時間延遲即為時滯．作動器到達的實際位置與指令位置的比值(即測量位移與計算位移的比值)為幅值比率誤差．文獻[3]指出時滯對系統(tǒng)產(chǎn)生負阻尼效應(yīng),破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性,導(dǎo)致試驗結(jié)果發(fā)散,影響試驗數(shù)據(jù)同步耦合．目前,多采用補償方法(如多項式外推法、倒轉(zhuǎn)補償、自適應(yīng)補償?shù)?減少誤差的影響．本文主要分析的是時滯效應(yīng)的影響,故未采用補償方法．

2　單自由度實時混合模擬試驗

本試驗是以彈簧為試驗子結(jié)構(gòu)的單自由度體系實時混合模擬試驗,目的在于驗證幅值比率誤差和時滯的存在,并采用理論和試驗對比分析方法研究幅值比率誤差和時滯對試驗結(jié)果的影響．

試驗中的數(shù)值子結(jié)構(gòu)為一個單層兩跨平面框架,利用有限元軟件模擬其水平振動;試驗子結(jié)構(gòu)為獨立彈簧,可在水平方向拉伸壓縮．由作動器對試驗子結(jié)構(gòu)同步施加外力,通過數(shù)據(jù)交互技術(shù)對數(shù)值子結(jié)構(gòu)和試驗子結(jié)構(gòu)的反力進行同步耦合．試驗?zāi)Ｐ腿鐖D3所示．

圖3　試驗?zāi)Ｐ蛨D

2.1試驗設(shè)備

試驗于東南大學(xué)九龍湖土木交通實驗室內(nèi)完成,設(shè)備及材料包括反力架、作動器和試驗彈簧．作動器型號為MTS 244.21,最大輸出荷載為50 kN,最大位移為±250 mm．試驗彈簧剛度為3.5 N/mm,伸縮范圍為±30 mm．試驗軟件包括有限元軟件OpenSees和數(shù)學(xué)運算軟件Matlab．設(shè)備裝置如圖4所示.

2.2試驗參數(shù)

2.2.1 參數(shù)設(shè)定

剛性梁質(zhì)量m=3 546.3 kg,阻尼比ξ=0.05．梁剛度遠大于柱剛度,數(shù)值子結(jié)構(gòu)近似為水平方向的單自由度體系,等效側(cè)向剛度kN=31.5 N/mm．試驗子結(jié)構(gòu)的彈簧剛度kE=3.5 N/mm;試驗子結(jié)構(gòu)剛度占整體剛度的比例η=0.1．

系統(tǒng)初始位移和速度均為零, 分別受到4種簡諧激勵和3種地震激勵作用,采樣頻率均為50 Hz．激勵信號如表1所示．

(a) 系統(tǒng)示意圖

(b) 試驗裝置圖圖4　設(shè)備裝置

表1　激勵信號表

2.2.2積分算法

試驗采用Matlab軟件中的Simulink模塊進行流程控制,控制步長為1/1 024 s．在有限元軟件OpenSees中選用了α-OS積分算法[4],該算法是一種預(yù)測-修正算法,通過引入?yún)?shù)α來修正運動方程,具有自主控制能量耗散的優(yōu)點．

2.3試驗結(jié)果及分析

(2)

在正弦波Ω3和NJ波的激勵下,計算位移與測量位移的響應(yīng)圖及追蹤指示誤差TI分析圖見圖5．

表2　頻域分析結(jié)果

由表2還可發(fā)現(xiàn),ENRMS,α,τ三種誤差均隨位移輸入信號頻率的增加而增大,并具有一定的隨機性．這是因為含PID校準的作動器控制軟件對低頻信號追蹤較好,而對于高頻信號和隨機信號的追蹤表現(xiàn)則一般．試驗中,輸入信號為正弦波Ω4時誤差最大,此時ENRMS=1.69%,τ=15.5 ms,α=1.023 9．由此可知,該實時混合模擬試驗的同步性較差．

3　含誤差的實時混合模擬模型分析

3.1實時混合模擬數(shù)學(xué)模型

采用直接平衡法[7],實時混合模擬的連續(xù)運動方程為

(3)

假設(shè)數(shù)值子結(jié)構(gòu)與試驗子結(jié)構(gòu)的反力分別僅與計算位移和測量位移相關(guān),即

FN(t)=kNxc(t),FE(t)=kExm(t)

(4)

理想狀況下,試驗子結(jié)構(gòu)與數(shù)值子結(jié)構(gòu)的位移完全相等,即xm(t)=xc(t);而在試驗中,試驗子結(jié)構(gòu)的實際位移與指令信號之間存在著幅值比率誤差α和時滯τ．假設(shè)xm(t)與xc(t)之間的幅值比率誤差α和時滯τ在試驗過程中處處相等,即

xm(t)=αxc(t-τ)

(5)

(6)

式(6)為時滯微分方程．根據(jù)表2中的試驗分析結(jié)果及伺服系統(tǒng)的模型分析[8]可知,幅值比率誤差和時滯的誤差均較小,本文僅考慮微時滯下時滯微分方程的解,即α,τ的取值范圍分別為[0.95, 1.05]和[0,0.05] s．

3.2微時滯自由振動方程的近似解

當(dāng)α與τ存在誤差時,式(6)可改寫為

αηω2xc(t-τ)=0

(7)

理想條件下,計算位移與測量位移完全同步且相等．設(shè)x(t)為t時刻的理想位移,則式(6)可表示為

(8)

式(8)在低阻尼體系(ξ<1)下的通解為

(9)

當(dāng)結(jié)構(gòu)處于低阻尼(ξ<1)狀態(tài)時,令xc(t)=exp(λt),則式(7)的特征方程[9-10]可表示為

λ2+2ωξλ+(1-η)ω2+αηω2exp(-λτ)=0

(10)

式中,λ為特征值．式(10)為超越方程,僅有數(shù)值解．

低阻尼體系中,特征值較小,故將exp(-λτ)級數(shù)展開并保留前2項,則式(10)可近似為

λ2+2ωξλ+(1-η)ω2+αηω2(1-λτ)=0

(11)

式(11)的解為

(12)

(13)

當(dāng)α=1,τ=0時,式(13)可退化為式(9)．

3.3微時滯簡諧振動方程的解

式(6)中,當(dāng)系統(tǒng)外激勵p(t)為幅值p0、頻率Ω的正弦簡諧激勵時,受迫動方程在理想條件和誤差條件下可分別表示為

(14)

(15)

式(14)的通解為

x(t)=(AcosωDt+BsinωDt)exp(-ξωt)+

(16)

式中,β=Ω/ω．

設(shè)式(15)的特解為

式中

G=[1-β2-η+αηcos(Ωτ)]2+

[-2ξβ+αηsin(Ωτ)]2

G1sinΩt+G2cosΩt

(17)

式中

A=x(0)-G2

當(dāng)系統(tǒng)外激勵為隨機信號時,可先將隨機信號通過傅里葉變換分解為不同頻率的正弦信號,并依次采用式(17)得到各頻率下計算位移理論解;然后,將各頻率的理論解進行疊加,便可求出實時混合模擬在隨機信號下的響應(yīng)．

3.4幅值比率誤差和時滯的影響

由式(16)和(17)可知,實時混合模擬中α,τ對數(shù)值子結(jié)構(gòu)的位移峰值和穩(wěn)態(tài)振幅均產(chǎn)生影響,且試驗子結(jié)構(gòu)剛度比例η越大,影響越明顯．

令ρ為在誤差條件和理想條件下數(shù)值子結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)振幅的比值．α,τ對ρ的影響見圖6．由圖可知,隨著α和τ的增大,ρ也逐漸增大．

圖6　α,τ對ρ的影響

圖7顯示了誤差條件下數(shù)值子結(jié)構(gòu)位移正、負峰值與其在理想條件下的差值Δ+p和Δ-p．由圖可知,隨著α和τ的增大,Δ+p逐步增大;隨著α的減小和τ的增大,Δ-p逐步減?。?/p>

(a) 正峰值誤差

(b) 負峰值誤差圖7　峰值誤差圖

4　誤差影響分析

試驗中誤差α和τ影響了試驗結(jié)果的可靠性．本節(jié)將理論計算和數(shù)學(xué)模擬分析結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)進行對比．采用Matlab軟件中Simulink模塊進行數(shù)學(xué)模擬,流程圖見圖8．

圖8　Simulink模塊流程圖

表3　計算位移分析表

表4　測量位移分析表

圖10　正弦波Ω3激勵下反力測量值與模擬值對比

理想條件下數(shù)值子結(jié)構(gòu)位移x的正、負峰值分別為4.615和-4.914 mm,穩(wěn)態(tài)振幅為2.024 mm．由表3可知,試驗中α和τ使數(shù)值子結(jié)構(gòu)位移峰值略微增大,穩(wěn)態(tài)幅值基本保持不變．由于試驗子結(jié)構(gòu)剛度比率η較小,誤差對數(shù)值子結(jié)構(gòu)影響較小．試驗子結(jié)構(gòu)受到α,τ的影響,使作用在試驗子結(jié)構(gòu)上的外力嚴重失真,影響了試驗子結(jié)構(gòu)材料性能的發(fā)揮,導(dǎo)致試驗結(jié)果的可信度降低．因此,需在實時混合模擬試驗中應(yīng)用補償方法來減少時滯效應(yīng),以提高試驗結(jié)果的可靠性．

5　結(jié)語

本文選用彈簧為試驗子結(jié)構(gòu),進行了單自由度體系實時混合模擬試驗,觀測到測量位移與計算位移之間存在著微小的幅值比率誤差和時滯．誤差使作用在試驗子結(jié)構(gòu)上的外力失真,同時影響了數(shù)值子結(jié)構(gòu)的位移峰值和穩(wěn)態(tài)振幅．因此,在實時混合模擬試驗中應(yīng)用補償方法是必要的．文中假設(shè)在試驗過程中α和τ處處相等,采用時滯微分方程建立了實時混合模擬數(shù)學(xué)模型,并給出了微時滯下方程的近似解．分析表明,該數(shù)學(xué)模型較為合理,模擬結(jié)果較為準確．理論分析與試驗結(jié)果之間的誤差受假設(shè)簡化、測量噪聲、累積誤差等因素的影響.

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Theoretical analysis and experimental verification of errors in real-time hybrid simulation

Huang LiangGuo TongXu Weijie

(Key Laboratory of Concrete and Pre-stressed Concrete Structures of Ministry of Education, Southeast University, Nanjing 210096, China)

To investigate the influences of the amplitude ratio error and the time delay on the results in real-time hybrid simulation (RTHS), an experiment, taking a spring as the experimental substructure, was conducted and the micro errors between the measured displacements and the calculated displacements were observed and analyzed. Assuming that the amplitude ratio error and the time delay were constant in the experiment, a RTHS mathematical model was developed by using the time delay differential equations, and the approximate solutions of the micro time delay formulas in free and simple harmonic vibration were derived, respectively. The results show that theoretical results and the experimental results are similar, proving the rationality and the accuracy of the mathematical model. The errors distort the force acting on the experimental substructure, and affect the peak displacement and the steady amplitude of the numerical substructure. The micro errors between the theoretical results and the experimental results are affected by simplified assumption, measured noise, accumulative errors and so on.

real-time hybrid simulation; time delay differential equation; error analysis; amplitude ratio error; time delay

10.3969/j.issn.1001-0505.2016.05.025

2015-12-28.作者簡介: 黃亮(1986—)，男，博士生; 郭彤(聯(lián)系人)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，guotong@seu.edu.cn.

江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項目(1105007002).

TU317.2

A

1001-0505(2016)05-1045-06

引用本文: 黃亮,郭彤,徐偉杰.實時混合模擬誤差的理論分析及試驗驗證[J].東南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2016,46(5):1045-1050. DOI:10.3969/j.issn.1001-0505.2016.05.025.