廣義指數(shù)分布順序統(tǒng)計量的分布性質

李　娟，范梓淼，周菊玲

（新疆師范大學 數(shù)學科學學院，新疆 烏魯木齊 830017）

廣義指數(shù)分布順序統(tǒng)計量的分布性質

李娟，范梓淼，周菊玲*

（新疆師范大學 數(shù)學科學學院，新疆 烏魯木齊 830017）

文章在總體服從廣義指數(shù)分布時，抽取樣本X1，X2…，Xn，設X（1），X（2），…，X（n）為其順序統(tǒng)計量，研究了（X（1），X（2），…，X（n））的聯(lián)合概率密度函數(shù)；X（1）和X（n）的密度函數(shù)。進而得到了X（1）和X（n）的數(shù)學期望和方差，證明X（1），X（2）-X（1），…，X（n）-X（n-1）不獨立且不同分布。

廣義指數(shù)分布；順序統(tǒng)計量；數(shù)學期望；方差

順序統(tǒng)計量是概率統(tǒng)計中一類很重要的隨機變量，它的分布在隨機過程特別是泊松過程和數(shù)理統(tǒng)計中都有著諸多的應用。本文運用下面的原理構成理論基礎：設n個電路元件的工作壽命為X1，X2，…，Xn。若將它們組成一個串聯(lián)系統(tǒng)，且系統(tǒng)能正常工作當且僅當n個元件均正常工作，于是該系統(tǒng)能正常工作的壽命為若將它們組成一個并聯(lián)系統(tǒng)，且系統(tǒng)能正常工作當且僅當至少有一個元件正常工作，于是該系統(tǒng)能正常工作的壽命為由于GE（廣義指數(shù)分布）對于偏斜的壽命數(shù)據(jù)有很好的分析效果，而且還可以作為Gamma分布和Weibull分布的替代分布，因而在壽命試驗和可靠性工程中有著重要的應用，也是統(tǒng)計學家和實際工作者十分關心的一個問題，因此對廣義指數(shù)分布的研究有著十分重要的實際意義［15］。文章考慮廣義指數(shù)分布：當Xk服從參數(shù)為θ和λ的廣義指數(shù)分布，其中θ（θ＞0）為形狀參數(shù)，λ（λ＞0）為尺度參數(shù)，即廣義指數(shù)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

條件下順序統(tǒng)計量的分布性質。

引理1［16-18］：設｛Xk:1≤k≤n｝獨立同分布，有相同的分布函數(shù)F（x）和密度函數(shù)f（x），X（1），X（2），…，X（n）為其順序統(tǒng)計量，則

（2）X（k）的密度函數(shù)為

1　主要結果及結論

定理1：設｛Xk: 1≤k≤n｝獨立同分布，Xk服從參數(shù)為θ（θ＞0）和λ（λ＞0）的廣義指數(shù)分布，則：

（1）（X（1），X（2），…，X（n））的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

（2）X（1）的密度函數(shù)為

（3）X（n）的密度函數(shù)為

證明：由引理1及廣義指數(shù)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)可得。

注：X（n）=max｛X1，X2…，Xn｝仍然服從兩參數(shù)分別為nθ和λ的廣義指數(shù)分布。X（1）=｛X1，X2…，Xn｝不服從廣義指數(shù)分布，但是其概率密度函數(shù)可表示為n個不同的廣義指數(shù)分布密度函數(shù)的線性組合。事實上，其概率密度函數(shù)的非零部分為

其中上式第二個等號是由二項式系數(shù)性質得到的。由此可見，f1（x）概率密度函數(shù)可表示為兩參數(shù)分別為（i+1） θ（0≤i≤n-1）和λ的n個不同廣義指數(shù)分布密度函數(shù)的線性組合。

定理2：設｛Xk: 1≤k≤n｝相互獨立同分布，且Xk服從兩參數(shù)分別為θ（θ＞0）和λ（λ＞0）的廣義指數(shù)分布，X（1）=｛X1X，2…，Xn｝，X（n）=max｛X1，X2…，Xn｝則

證明不妨設Y1=X（1），Y2=X（2）-X（1），令y1=x1，y2=x2-x1，則x1=y1，x2=y1+y2，其雅可比行列式|J|=1，從而由定理1中的（1）知（Y1，Y2）的聯(lián)合密度函數(shù)為

另一方面，根據(jù)定理1可得y1的密度函數(shù)為

顯然g（y1，y2）≠g1（y1）g2（y2），故X（1），X（2）-X（1）不獨立且不同分布。

同理可證如下定理：

2　結語

［1］匡能輝.拉普拉斯分布順序統(tǒng)計量的分布性質［J］.徐州師范大學學報，2009，27（3）：34-37.

［2］匡能輝.三參數(shù)Pareto分布順序統(tǒng)計量的分布性質［J］.鄭州大學學報，2011，43（2）：10-15.

［3］匡能輝.關于Gamma分布順序統(tǒng)計量的分布性質［J］.蘭州理工大學學報，2013（3）：166-168.

［4］匡能輝.關于瑞利分布順序統(tǒng)計量的分布性質［J］.懷化學院學報，2009，28（2）：11-15.

［5］匡能輝.關于χ2分布順序統(tǒng)計量的分布性質［J］.浙江師范大學學報，2009，32（4）：396-400.

［6］匡能輝.關于帕累托分布順序統(tǒng)計量的分布性質［J］.甘肅聯(lián)合大學學報，2009，23（4）：18-21.

［7］匡能輝.關于兩參數(shù)瑞利分布順序統(tǒng)計量的分布性質［J］.江西師范大學學報，2009，32（6）：678-651.

［8］姜培華，范國良.關于三參數(shù)威布爾分布順序統(tǒng)計量的概率分布性質探討［J］.統(tǒng)計與決策，2015，27（6）：27-30.

［9］姜培華.關于威布爾分布順序統(tǒng)計量的分布性質［J］.安慶師范學院學報，2012，18（1）：47-50.

［10］姜培華.自由分布順序統(tǒng)計量的函數(shù)的概率分布［J］.池州學院學報，2011，25（3）：9-11.

［11］姜培華.艾拉姆咖分布順序統(tǒng)計量的概率分布及漸進性質［J］.南通大學學報，2015，14（2）：64-68.

［12］姜培華.雙參數(shù)指數(shù)分布順序統(tǒng)計量的概率分布性質［J］.哈爾濱師范學院學報，2013，29（5）：25-28.

［13］賀嘉，杜超雄.關于指數(shù)分布順序統(tǒng)計量的分布性質［J］.湖南科技大學學報，2011，26（3）：125-128.

［14］王曉紅，姜澤.關于冪分布順序統(tǒng)計量的分布性質［J］.吉林師范學院學報，2011（4）：108-110.

［15］郭環(huán).兩參數(shù)廣義指數(shù)分布的參數(shù)估計與數(shù)值模擬［J］.華中科技大學碩士論文，2013.

［16］茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計理論［M］.高等教育出版社，2006：14-15.

［17］何朝兵，田彥偉.順序統(tǒng)計量的分布［J］.成都大學學報，2008，27（2）：116-119.

［18］王偉.關于順序統(tǒng)計量分布的一種證明［J］.長春大學學報，2002，12（6）：20-21.

Generalized Exponential Distribution Properties of Order Statistic

LI Juan， FAN Zi-miao，ZhouJu-ling
（School of Mathematical Science，Xinjiang Normal University，Urumqi，Xinjiang，830017，China）

In this article，we extract the sampleX1，X2…，Xnwhen general obey generalized exponential distribution，X（1），X（2），…，X（n）are their order statistics.The joint probability density function of（X（1），X（2），…，X（n））and the density functions of X（1）andX（n）are researched.Therefore the representation formulas of the mathematical expectation and variance of X（1）andX（n）are obtained And proving thatX（1），X（2）-X（1），…，X（n）-X（n-1）are not independent and different distribution.

The generalized exponential distribution；Order statistic；Mathematical expectation；Variance

O212.7

A

1008-9659（2016）03-0037-04

2016-04-20

李娟（1991-），女，新疆烏魯木齊人，碩士研究生，主要從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計方面的研究。

周菊玲（1968-），女，新疆哈密人，副教授，主要從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計方面的研究。