基于方向導數(shù)的多元函數(shù)極值的判定

馬爍

(荊州理工職業(yè)學院基礎課部， 湖北 荊州 434000)

梁向

(荊州市沙市第一中學， 湖北 荊州 434000)

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基于方向導數(shù)的多元函數(shù)極值的判定

馬爍

(荊州理工職業(yè)學院基礎課部， 湖北 荊州 434000)

梁向

(荊州市沙市第一中學， 湖北 荊州 434000)

首先給出一階方向導數(shù)和二階方向導數(shù)的定義及其與偏導數(shù)的關系，然后利用方向導數(shù)給出了判斷二元函數(shù)在駐點或偏導數(shù)不存在的點處是否取得極值的2個充分條件。實例分析結果表明，利用方向導數(shù)來判斷駐點或不可導是否為極值點是有效的。

方向導數(shù)；二元函數(shù)；極值；判別法

函數(shù)的極值不僅是函數(shù)性態(tài)的重要特征，而且在實際中有廣泛應用。一般的教材[1,2]上都是利用二階連續(xù)偏導數(shù)來判斷駐點是否為多元數(shù)的極值，但是對于多元函數(shù)的不可導點，這一方法就失效了。文獻[3～8]利用高階偏導數(shù)或實二次型的理論求解多元函數(shù)的極值，但比較繁瑣。下面，筆者利用方向導數(shù)給出判斷多元函數(shù)的駐點或不可導點處是否為極值的條件及求法。

1　方向導數(shù)及其與偏導數(shù)的關系

定義1[1]設函數(shù)z=f(x,y)在點P(x0,y0)的某個鄰域內有定義，l是從P(x0,y0)出發(fā)沿方向el=(cosα,cosβ)的一條射線,在l上任取一點P(x,y)，有x=x0+tcosα，y=y0+tcosβ(t≥0),如果極限：

定理1[2]如果函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)可微分,那么函數(shù)在該點沿任一方向l(cosα,cosβ)的方向導數(shù)都存在,且有：

(1)

式(1)表示為(x,y)的一個函數(shù)，稱為方向導函數(shù)，簡稱方向導數(shù)。

對于方向導函數(shù)式(1)，可以求關于方向l(cosα,cosβ)的方向導數(shù)。

定義2設函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的某個鄰域內沿l(cosα,cosβ)的方向導數(shù)存在，對于l(cosα,cosβ)，如果極限：

存在，則稱該極限為函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)沿l(cosα,cosβ)的二階方向導數(shù)。

定理2如果函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)二階可微，則在點P(x,y)沿方向l(cosα,cosβ)的二階方向導數(shù)存在，且有：

定理2由二階方向導數(shù)的定義可以證明。

2　多元函數(shù)極值的判定方法

二元函數(shù)的極值可能在駐點處取得，也可能在偏導數(shù)不存在的點處取得，下面給出利用方向導數(shù)判斷二元函數(shù)在駐點或偏導數(shù)不存在的點處是否取得極值的判別方法。

同理可證(2)、(3)。

3　實例分析

則：

例2討論函數(shù)f(x,y)=x2-y2在點(0，0)處的極值情況。

則：

f(x,y)=x2-y2在點O(0,0)的去心鄰域內方向導數(shù)既有大于零的又有小于零的，符號不確定，于是由定理3知函數(shù)f(x,y)=x2-y2在O(0,0)處不取極值。

例3討論函數(shù)f(x,y)=x3+y3-3xy在點(1,1)處的極值情況。

解由于：

=6xcos2α-3cosαcosβ-3cosβcosα+6ycos2β

所以對于任意方向l(cosα,cosβ)，有：

故由定理4知函數(shù)f(x,y)在(1,1)處取得極小值。

4　結語

利用方向導數(shù)給出了判斷二元函數(shù)在駐點或偏導數(shù)不存在的點處是否取得極值的2個充分條件。通過實例分析，結果表明利用方向導數(shù)來判斷駐點或不可導是否為極值點是有效的。 這種判別方法可以推廣到三元及三元以上的函數(shù)。

[1]同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學(下冊)[M].第5版，北京：高等教出版社，2002:52～55.

[2] 王安平，楊波，周云才.高等數(shù)學(下冊)[M].長沙：湖南教育出版社，2013:89～92.

[3] 葉淼林.關于多元函數(shù)的極值[J].安慶師范學院學報(自然科學版),1995,1(4)：71～73.

[4] 吳崇劍，李偉.二元函數(shù)極值的高階判別法[J]. 工科數(shù)學,1995,1(11)：104～107.

[5] 李玲.關于多元函數(shù)極值問題的討論[J].重慶職業(yè)技術學院學報,2006,15(2)：163～165.

[6] 董麗華.實用二次型理論解多元函數(shù)的極值問題[J].淮北煤炭師范學院學報,2006,27(2)：28～30.

[7] 王敏芝.關于多元函數(shù)的極值的判別準則[J].浙江理工大學學報,2007,24(5)：592～596.

[8] 朱用文，王燕，候汝臣.正定矩陣在函數(shù)極值中的應用[J].數(shù)學的實踐與認識,2010,40(21)：249～250.

[編輯]洪云飛

2016-04-25

湖北省教育科學“十二五”規(guī)劃2012年度立項課題(2012B310)。

馬爍(1981-),女，碩士，講師，現(xiàn)主要從事最優(yōu)化理論與算法方面的教學與研究工作；E-mail:mashuo050@163.com。

O171.2

A

1673-1409(2016)22-0064-04

[引著格式]馬爍,梁向.基于方向導數(shù)的多元函數(shù)極值的判定[J].長江大學學報(自科版)，2016,13(22)：64～67.