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    拉格朗日中值定理反問題存在性及存在不可導點的相關(guān)結(jié)論探討

    2016-10-22 02:01:26熊駿
    長江大學學報(自科版) 2016年22期
    關(guān)鍵詞:中值拉格朗高等教育出版社

    熊駿

    (長江大學信息與數(shù)學學院,湖北 荊州 434023)

    ?

    拉格朗日中值定理反問題存在性及存在不可導點的相關(guān)結(jié)論探討

    熊駿

    (長江大學信息與數(shù)學學院,湖北 荊州 434023)

    從幾何意義出發(fā)研究拉格朗日中值定理的反問題,得到了拉格朗日中值定理反問題的2個存在性結(jié)論。此外,還探討了函數(shù)有不可導點情形下拉格朗日中值定理的相關(guān)結(jié)論,豐富了拉格朗日中值定理的結(jié)果。

    拉格朗日中值定理;反問題;不可導點

    拉格朗日中值定理[1~5]是微分中值定理的核心,在數(shù)學分析的理論及應(yīng)用中有很重要的作用。拉格朗日中值定理具體表述如下:

    若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,則存在ξ∈(a,b),使得:

    其幾何意義是在曲線L:y=f(x)上存在點P(ξ,f(ξ)),曲線在該點的切線的斜率等于曲線上兩點A(a,f(a)),B(b,f(b))確定直線AB的斜率。

    為此,筆者考慮增強函數(shù)f(x)的條件,使得上述拉格朗日中值定理反問題的存在性成立。另外,還考慮了若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)有不可導點的情形下拉格朗日中值定理的相關(guān)結(jié)論。

    1 拉格朗日中值定理反問題的2個存在性結(jié)論

    定理1設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上二次可導,且f″(x)≠0(x∈[a,b]),則對任意的ξ∈(a,b),存在c∈[a,b],使得:

    證明因f″(x)≠0(x∈[a,b]),由導數(shù)的介值定理可知,f″(x)(x∈[a,b])不可能變號,不妨設(shè)f″(x)>0(x∈[a,b]),于是f′(x)在[a,b]上嚴格單調(diào)遞增。因此,對任意的ξ∈(a,b),有:

    f′(a)

    由定理1的證明中,二階導數(shù)的作用可以適當減弱條件為f′(x)在[a,b]上嚴格單調(diào),從而得到如下推論。

    推論1設(shè)函數(shù)f′(x)在[a,b]上嚴格單調(diào),則對?ξ∈(a,b)存在c∈[a,b],使得;

    或:

    定理2設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上二次可導,則對?ξ∈(a,b),若f″(ξ)≠0,存在x1,x2∈(a,b),使得x1<ξ

    證明不妨設(shè)f″(ξ)>0,由極限的局部保號性知,存在ξ的某鄰域,在該鄰域內(nèi)f′(x)單調(diào)遞增。即存在δ>0,當x∈(ξ-δ,ξ)時,f′(x)

    分析f″(ξ)≠0在證明中的作用,由定理2可以得到如下推論。

    推論2設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在在(a,b)內(nèi)可導,則對任意的ξ∈(a,b),若ξ不是f′(x)的極值點,則存在x1,x2∈(a,b),使得x1<ξ

    2 存在不可導點情形下拉格朗日中值定理的相關(guān)結(jié)論

    證明不妨設(shè)a

    f(c1)-f(a)=f′(ξ1)(c1-a),ξ1∈(a,c1)

    f(c2)-f(c1)=f′(ξ2)(c2-c1),ξ1∈(c1,c2)

    ?

    f(b)-f(cN)=f′(ξN+1)(b-cN),ξN+1∈(cN,b)

    以上各式2邊除以b-a再相加得到:

    定理3中, N=1即為拉格朗日中值定理。

    f(b)-f(c1)=f′(ξ1)(b-c1),ξ1∈(c1,b)

    f(c1)-f(c2)=f′(ξ2)(c1-c2),ξ1∈(c2,c1)

    ?

    f(cn-1)-f(cn)=f′(ξn)(cn-1-cn),ξn∈(cn,cn-1)

    以上各式兩邊除以b-a再相加,再取極限n→∞,得到:

    3 結(jié)語

    拉格朗日中值定理的幾何意義為思考某些問題提供了思路,加強函數(shù)的條件可以得到一些拉格朗日中值定理反問題的存在性結(jié)果。在今后的研究中,還可以通過加強函數(shù)的條件考慮拉格朗日中值定理中點的存在個數(shù)問題。

    [1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上冊) [M]. 第3版.北京:高等教育出版社,2005.

    [2]劉三陽,于力,李廣民.數(shù)學分析選講[M].北京:科學出版社,2006.

    [3]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學(上冊)[M]. 第6版.北京:高等教育出版社,2006.

    [4]四川大學數(shù)學系.高等數(shù)學(第一冊)[M]. 第2版.北京:高等教育出版社,1989.

    [5]冉兆平.微積分[M]. 第2版.上海:上海財經(jīng)大學出版社,2008.

    [編輯]張濤

    2016-04-20

    熊駿(1967-),男,碩士,副教授,現(xiàn)主要從事基礎(chǔ)數(shù)學方面的教學與研究工作;E-mail:cjdxxj@163.com。

    O172.1

    A

    1673-1409(2016)22-0060-04

    [引著格式]熊駿.拉格朗日中值定理反問題存在性及存在不可導點的相關(guān)結(jié)論探討[J].長江大學學報(自科版),2016,13(22):60~63.

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