對(duì)農(nóng)村小學(xué)高年級(jí)學(xué)生解決一道開放題的調(diào)查研究

項(xiàng)慧玲

【摘要】筆者采用書面測(cè)驗(yàn)、訪談等多種方法對(duì)農(nóng)村小學(xué)高年級(jí)學(xué)生解決“開放情境中，求長(zhǎng)方形面積”問題的特點(diǎn)進(jìn)行一次調(diào)查分析。結(jié)果表明：①農(nóng)村小學(xué)高年級(jí)學(xué)生解決這一問題時(shí)缺乏開放意識(shí)；②農(nóng)村小學(xué)高年級(jí)學(xué)生大部分思考問題不全面，同時(shí)解決問題能力存在差異；③農(nóng)村小學(xué)高年級(jí)學(xué)生解決這一開放題時(shí)策略呈現(xiàn)多樣化。④農(nóng)村小學(xué)高年級(jí)學(xué)生解決問題時(shí)答案的表述方式呈現(xiàn)個(gè)性化 。為此，提出如下教學(xué)建議：①在課堂教學(xué)中引進(jìn)開放題教學(xué)，培養(yǎng)開放意識(shí)的形成；②重視培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的思維性，滲透序列化思考的思想；③數(shù)形結(jié)合，辨證運(yùn)用形象思維和抽象思維解決此類數(shù)學(xué)問題，盡量讓差異的弱勢(shì)群體跟上步伐；④正視差異、尊重個(gè)性，提倡解決問題策略的多樣化。

【關(guān)鍵詞】解決一道開放題 農(nóng)村小學(xué)高年級(jí)學(xué)生 調(diào)查 思考

一、問題的提出

開放性的問題是富有極大教育價(jià)值的一種數(shù)學(xué)問題的題型，它沒有固定、現(xiàn)成的模式可循，學(xué)生必須打破原有的思維模式，展開聯(lián)想和想象的翅膀，從多角度、多方位、多層次進(jìn)行探討，其思維方向和模式的發(fā)散性有利于創(chuàng)造性能力的形成，再者開放性問題具有寬松的解題環(huán)境和答案的多樣性，所以學(xué)生可以根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)水平、認(rèn)知能力，按自己的意愿選擇思維方式解決問題，這樣不同的學(xué)生可以體驗(yàn)不同的數(shù)學(xué)，不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生均能有所收獲。應(yīng)當(dāng)說解決開放性問題的能力是數(shù)學(xué)中一類比較重要的能力，它適應(yīng)著當(dāng)今社會(huì)對(duì)人才培養(yǎng)的需求，但是現(xiàn)在很多時(shí)候教材資源中涉及的開放性問題不多，學(xué)生也習(xí)慣了答案是唯一的，如果一個(gè)問題有很多種答案而且沒有任何提示，我們的學(xué)生是只寫出一種還是能把所有的都找出來？不同年級(jí)的孩子解題的情況是否會(huì)有所不同？他們?cè)诮鉀Q這個(gè)問題時(shí)的能力特點(diǎn)和策略又是怎樣的？這些問題我們并不是十分清楚。針對(duì)以上問題，本調(diào)查采用書面測(cè)驗(yàn)法、訪談法等多種方法對(duì)農(nóng)村小學(xué)高年級(jí)學(xué)生解決“開放情境中求長(zhǎng)方形面積”問題的特點(diǎn)進(jìn)行一次調(diào)查研究，試圖從學(xué)生的解題中發(fā)現(xiàn)這一年齡段學(xué)生解決此類數(shù)學(xué)問題的特征。

二、調(diào)查的方法

（一）調(diào)查內(nèi)容

用一根24厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的面積是多少？（請(qǐng)寫出盡可能多的情況，并盡量寫出過程。）

如果你認(rèn)為解題已經(jīng)完成，請(qǐng)?jiān)诤线m的（ ）中打√。

你認(rèn)為這個(gè)題目：很有趣（ ）、比較有趣（ ）、沒有趣（ ）。

你認(rèn)為這個(gè)題目：很 難（ ）、 比 較 難（ ）、不 難（ ）。

你覺得自己寫出全部的方法了嗎：是（ ）、不是（ ）。不是的請(qǐng)寫出理由。

（二）被試選擇

筆者選取了浙江省XX市XX鎮(zhèn)小學(xué)的高年級(jí)，并隨機(jī)抽取五、六年級(jí)的學(xué)生各一個(gè)班，人數(shù)分別是51、49人，年齡分別分布在11——13歲左右。

（三）施測(cè)方式

2015年12月14日下午，在學(xué)生不知情的情況下，由班主任協(xié)助組織進(jìn)行測(cè)試。在測(cè)試前，不給學(xué)生任何解題提示，讓學(xué)生獨(dú)立解答，并規(guī)定時(shí)間為20分鐘。學(xué)生自己認(rèn)為解題已完成，把測(cè)試卷交給老師。學(xué)生在解題過程中沒有任何討論和交流。基本反映了學(xué)生獨(dú)立解決這一問題的真實(shí)水平。測(cè)試后，立即對(duì)學(xué)生的解題情況進(jìn)行初步整理，在整理的基礎(chǔ)上，選擇部分學(xué)生一一訪談。測(cè)試與訪談在同一下午完成。

（四）問卷發(fā)放與回收

本次研究共發(fā)放測(cè)驗(yàn)卷100份，回收有效卷100份，有效率100%。

（五）數(shù)據(jù)處理

經(jīng)過整理、分析，所有的測(cè)查數(shù)據(jù)統(tǒng)一采用SPSS 13.0中文漢化版軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

三、結(jié)果與分析

1、農(nóng)村小學(xué)高年級(jí)學(xué)生在解決此類問題時(shí)缺乏開放意識(shí)。

在測(cè)試的前5分鐘里，學(xué)生一直遲疑著不敢下筆，在課后訪談那些解題比較完整的學(xué)生，有不少人表示 “因?yàn)橛泻芏鄠€(gè)答案的，不知道寫哪個(gè)好”。而在卷面上有4%人只寫了6×6，沒有其他算式，通過訪談得知，他們認(rèn)為24÷4=6，這個(gè)特殊長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬是確定的，而1和11、2和10……那些數(shù)字不確定不能寫下去，這也反應(yīng)出農(nóng)村小學(xué)高年級(jí)學(xué)生對(duì)于解決開放性問題時(shí)開放意識(shí)的一種缺失。

2、農(nóng)村小學(xué)高年級(jí)學(xué)生大部分思考問題不全面，同時(shí)解決問題能力存在差異。

分析一：整數(shù)范圍內(nèi)思考的學(xué)生少于6種答案的人數(shù)里面，五年級(jí)有12人是獨(dú)缺6×6，六年級(jí)有5人是獨(dú)缺6×6；同時(shí)考慮整數(shù)、小數(shù)范圍，五、六年級(jí)共10人沒考慮6×6。通過訪談學(xué)生給出的理由有“正方形不是長(zhǎng)方形”“長(zhǎng)和寬相等了，就不行了”這表明在這100個(gè)學(xué)生當(dāng)中，有27%的學(xué)生對(duì)這兩種圖形間的關(guān)系還不是很清晰，或者有些干脆認(rèn)為正方形不是長(zhǎng)方形。

分析二：從表二中不難看出：五、六年級(jí)學(xué)生解決問題的能力存在顯著性差異，而且六年級(jí)學(xué)生解決開放題的能力高于五年級(jí)學(xué)生。研究表明：伴隨著知識(shí)的增長(zhǎng)、思維能力的提高、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累，解決開放題的能力一般情況下是會(huì)逐步提高的。

分析三：在整理測(cè)查情況時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)：五、六年級(jí)中有40人是有序思考解答的，而且這40人都能在整數(shù)范圍或者整數(shù)、小數(shù)范圍內(nèi)正確地考慮到所有情況。其中五、六年級(jí)能真正表達(dá)出所有結(jié)果情況的20人中全都是有序思考解答的，其中五年級(jí)2人，六年級(jí)18人。從上述數(shù)據(jù)中可知：隨著年級(jí)的升高，學(xué)生有序思考的人數(shù)明顯增多，而且有序思考與解題的正確率有著密切的關(guān)系。

3、農(nóng)村小學(xué)高年級(jí)學(xué)生解決開放題策略呈現(xiàn)多樣化。

筆者通過對(duì)五、六年級(jí)學(xué)生的測(cè)試卷進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題策略是多樣的。學(xué)生在解決測(cè)試題時(shí)，主要應(yīng)用了以下幾種策略（學(xué)生解題策略附末頁(yè)）：

策略一：查漏補(bǔ)缺法，無序地思考，想到哪個(gè)寫哪個(gè)。例如，長(zhǎng)是10厘米，寬是2厘米，面積為20（平方厘米），長(zhǎng)是7厘米，寬是5厘米……

策略二：在解答時(shí)利用畫圖來幫助分析。

策略三：先設(shè)定寬為幾，再利用周長(zhǎng)求出長(zhǎng)，最后算面積。

策略四：在解答時(shí)，把這個(gè)長(zhǎng)方形先看作正方形，再把一組對(duì)邊逐漸縮短，另一組對(duì)邊相應(yīng)逐漸增長(zhǎng)，明顯呈現(xiàn)出按一定順序思考。

策略五：按“長(zhǎng)+寬=周長(zhǎng)的一半 ”這樣的維度來分析，再進(jìn)一步計(jì)算面積，呈現(xiàn)出明顯的有序性，大多數(shù)學(xué)生采用這個(gè)方法。

從上述解題策略中，我們不難看出學(xué)生解題策略的多樣化，其中采用策略五的同學(xué)，六年級(jí)比五年級(jí)多出了約15%，隨著年級(jí)的升高、知識(shí)的增長(zhǎng)，小學(xué)高年級(jí)學(xué)生解決問題的策略逐步向抽象化靠近，這個(gè)年齡段的孩子已經(jīng)能夠從文字的描述中抽象出相應(yīng)的幾何圖形，并能正確地分析出其中隱含著的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解答，能夠用抽象的算式來解釋具體的幾何環(huán)境中的數(shù)量關(guān)系，能夠?qū)臻g觀念（主要指二維的形狀、大小）進(jìn)一步理解，對(duì)幾何特征進(jìn)一步內(nèi)化，而形象思維只是作為一些孩子的輔助思考。由此可見，這一年齡段的學(xué)生已有了一定的邏輯推理能力，這種能力的概括性和自覺性正逐步發(fā)展起來。部分學(xué)生已經(jīng)能夠調(diào)用出自己已有的數(shù)、式、幾何常識(shí)并結(jié)合一些數(shù)學(xué)能力來分析和解決問題。但是從整體水平看，有相當(dāng)一部分學(xué)生還是需要直觀形象思維的輔助來解決此類開放性的問題。

4、農(nóng)村小學(xué)高年級(jí)學(xué)生解決問題時(shí)答案的表述方式呈現(xiàn)個(gè)性化 。

此外，筆者還對(duì)問題的難度認(rèn)定與有趣度及解決問題的正確率的關(guān)系、男女生在解題正確率上的差異等方面進(jìn)行了研究。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：在“兒童最近發(fā)展區(qū)內(nèi)”，“難度”與“有趣度”成正相關(guān)；在一定條件下，難度與正確率成負(fù)相關(guān)——即難度越低，正確率越高；難度越高，正確率越低。達(dá)到“最底限”的情況，男生優(yōu)于女生；但是達(dá)到“上限”的情況，女生卻優(yōu)于男生。由此可見，小學(xué)中高年級(jí)女生解決問題的能力存在兩極分化情況。

四、建議與對(duì)策

1、在課堂教學(xué)中引進(jìn)開放性問題，培養(yǎng)開放意識(shí)的形成

在結(jié)果與分析中的一中我們可以看出，之所以高年級(jí)學(xué)生在具備相關(guān)解題能力的基礎(chǔ)上，不敢下筆，其根本原因就是缺乏開放意識(shí)，這其實(shí)跟教師前期的教學(xué)是相關(guān)的，所以在中低段的數(shù)學(xué)課堂中，我們根據(jù)學(xué)生所掌握知識(shí)的情況，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)引進(jìn)合適的開放題，培養(yǎng)學(xué)生開放意識(shí)的形成，可以從以下幾個(gè)方面考慮。一、用開放性問題引入新課，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生較快地進(jìn)入開放性的學(xué)習(xí)情境；二、課堂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中適當(dāng)融入開放性問題，通過“開放”讓學(xué)生自己去嘗試、探索，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生“開放意識(shí)”的目的；三、習(xí)題、例題的引申開放化。如在低段可引進(jìn) “養(yǎng)雞場(chǎng)數(shù)數(shù)把9只小雞關(guān)到3個(gè)籠子里，要使每只籠子里都有雞，可以怎樣關(guān)？” ； 在中段的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中可引進(jìn)這樣一些題目“在一條筆直的公路上，小明和小剛同時(shí)從相距500米的A、B兩地出發(fā)，小明每分行200米，小剛每分行300米。多長(zhǎng)時(shí)間后，兩人相距5000米？”在這樣一個(gè)開放性的問題中，不同的運(yùn)動(dòng)方向會(huì)產(chǎn)生四種結(jié)果，如：相向而行——（50000+500）÷（300+200）=11（分）；相背而行——（50000-500）÷（300+200）=9（分）；同向而行——（50000-500）÷（300-200）=45（分）或者（50000+500）÷（300-200）=55（分）。在不固定的思維方向和答案的多樣化中，為學(xué)生的思考提供發(fā)散的空間，引導(dǎo)學(xué)生形成開放意識(shí)。

2、重視培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的思維性，滲透序列化思考的思想

在解答開放題的過程中，從現(xiàn)實(shí)條件到用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是一個(gè)真正抽象化和簡(jiǎn)單化的過程，設(shè)計(jì)的思維包括：把原來的知識(shí)、技能分組，以形成解決目前問題的一種整體的技能，或?qū)υ瓉淼募寄苓M(jìn)行修正以解決目前的問題，就針對(duì)教學(xué)現(xiàn)狀而言，我們需要充分培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考、應(yīng)用知識(shí)和解決問題的能力。而在這其中序列化思考是解決問題的一種重要策略，它可避免解決問題時(shí)答案的重復(fù)和遺漏以及思維的嚴(yán)密性。從結(jié)果與分析的二中我們可以得到結(jié)論：有序思考與解題的正確率有著密切的關(guān)系，所以在中低段的《排列組合》《烙餅問題》《植樹問題》《對(duì)策問題》等相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)高度重視滲透序列化思考的思想，以培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性和有序性。

3、數(shù)形結(jié)合辨證運(yùn)用形象思維和抽象思維解決此類問題，盡量讓差異的弱勢(shì)群體跟上步伐。

數(shù)形結(jié)合既是一種思想，也是一種方法。其本質(zhì)就是抽象思維與形象思維結(jié)合，以形助數(shù)，或以數(shù)助形，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，使抽象問題直觀化。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，更應(yīng)突出數(shù)形結(jié)合教學(xué)，強(qiáng)調(diào)圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言結(jié)合，其中圖形語(yǔ)言可以通過直觀加深學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解，為文字語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言提供直觀表象，讓學(xué)生充分利用形的優(yōu)勢(shì)來理解數(shù)。

從調(diào)查情況看，小學(xué)高年級(jí)學(xué)生抽象的邏輯思維已有了一定的發(fā)展，但仍需要形象思維的輔助。這進(jìn)一步印證了皮亞杰的“兒童階段發(fā)展學(xué)說”。而長(zhǎng)方形的面積是平面幾何中的一個(gè)重要內(nèi)容，小學(xué)生在平面幾何中的抽象思維發(fā)展是一個(gè)薄弱環(huán)節(jié)，學(xué)生的空間觀念有待于加強(qiáng)。教師必須在學(xué)生獲取知識(shí)和解決問題的過程中，滲透數(shù)形結(jié)合思想，重視引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用抽象思維和形象思維，將兩種思維方式有機(jī)結(jié)合，通過觀察、操作、歸納、類比等過程，獲得具體的描述性結(jié)論，初步形成學(xué)生的推理能力和數(shù)學(xué)理解能力，有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率和能力。如：在幾何學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生有較多的機(jī)會(huì)通過內(nèi)容豐富的圖形、符號(hào)感知、實(shí)物操作等探究性活動(dòng)，不斷豐富歸納和類比的經(jīng)驗(yàn)，從而促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，同時(shí)學(xué)生的空間想象能力也得到了充分發(fā)展。

4、正視差異、尊重個(gè)性，提倡解決問題策略的多樣化

開放題教學(xué)側(cè)重學(xué)生解決問題的思路和策略而不是問題的答案，側(cè)重學(xué)生思考的過程而不是簡(jiǎn)單的結(jié)果。從測(cè)查結(jié)果我們不難發(fā)現(xiàn)：小學(xué)高年級(jí)學(xué)生已經(jīng)有了基本的數(shù)學(xué)能力，并能夠運(yùn)用這些數(shù)學(xué)能力參加學(xué)習(xí)活動(dòng)。同時(shí)，學(xué)生解決問題的策略已呈現(xiàn)多樣化，但解決問題的能力存在差異。作為教師，我們應(yīng)正確看待學(xué)生在個(gè)性品質(zhì)方面呈現(xiàn)出的差異性，允許學(xué)生用自己的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，因?yàn)槊總€(gè)人有不同的認(rèn)知方式和解決問題的策略，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用適當(dāng)?shù)姆绞嚼斫鈹?shù)學(xué)問題，同時(shí)也應(yīng)允許學(xué)生用自己的方法去探索和解決問題。我們可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同的方法加以比較，但不應(yīng)把某一方法強(qiáng)加給學(xué)生作為必須使用的方法。讓我們共同關(guān)注學(xué)生的差異，鼓勵(lì)和尊重學(xué)生多樣性的獨(dú)立思維方式。重視學(xué)生與同伴的交流，讓他們?cè)诮涣骱捅容^中找到適合自己的解決問題的一種或幾種方法，促使每一個(gè)學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上有所發(fā)展。

從訪談中，我們發(fā)現(xiàn)：太容易、沒有挑戰(zhàn)性的題目，學(xué)生沒有多大興趣。因此在教學(xué)實(shí)踐中，我們不妨適度引進(jìn)開放性問題，適應(yīng)不同層次的學(xué)生，提倡解決問題策略的多樣化。讓我們的教學(xué)內(nèi)容更富有挑戰(zhàn)性，避免重復(fù)機(jī)械的練習(xí)題。如此，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展有一定的幫助，并且有利于知識(shí)的靈活運(yùn)用，有利于數(shù)學(xué)觀念的升華。

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《小學(xué)生找出“較復(fù)雜圖形中線段”的解題策略研究》 朱樂平著