數(shù)學(xué)歸納法兩種教法下課堂效果對比

楊昉

數(shù)學(xué)歸納法是作為高中階段最重要的一種數(shù)學(xué)方法，蘊(yùn)含了非常豐富的數(shù)學(xué)思想，而我們在教學(xué)中往往忽略了它所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，取而代之的是形式化的教學(xué)。在高中課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)式一項(xiàng)基本的要求，但不能只局限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，否則會(huì)將活潑的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)淹沒在形式化的海洋里?！彼?，這就要求我們在教育教學(xué)中，凸顯出數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，推導(dǎo)的過程以及結(jié)果的可信性，注重體現(xiàn)其數(shù)學(xué)本質(zhì)，不能淺嘗輒止。

在教學(xué)中，我以兩種不同的教學(xué)策略分別對兩個(gè)學(xué)習(xí)層次相同的班級(jí)進(jìn)行教學(xué)。并從課堂效果、學(xué)生反饋、作業(yè)反饋等幾個(gè)方面進(jìn)行對比分析，談?wù)劚救藢Ρ咎谜n教學(xué)中如何提高課堂有效性的一些思考。

一、教學(xué)案例

案例1（授課班級(jí)：6班）

1、多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)

要使所有的多米諾骨牌一一倒下？需要幾個(gè)步驟才能做到？

（1）第一張牌被推倒 （奠基作用）

（2）任意一張牌倒下必須保證它的下一張牌倒下 （遞推作用）

于是可以獲得結(jié)論：多米諾骨牌會(huì)全部倒下。

2、歸納總結(jié)

數(shù)學(xué)歸納法證明步驟：

（1）驗(yàn)證當(dāng) 取第一個(gè)值 （如 =1或2時(shí)）命題正確。

（2）假設(shè)當(dāng) 時(shí) 命題正確，證明 時(shí)命題也正確。

3、例題講解

例1、證明：

4.課堂反饋

練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

5、課堂小結(jié)

（1）理解數(shù)學(xué)歸納法的原理

（2）數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可，前者是基礎(chǔ)，后者是遞推依據(jù)，最終給出結(jié)論。

（3）數(shù)學(xué)歸納法主要應(yīng)用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。

案例2（授課班級(jí)：7班）

1、 設(shè)置問題，引起思考

在這一環(huán)節(jié)中，為了引起學(xué)生思考的積極性，我選取了教材中出現(xiàn)但又未證明的公式作為題目“ ”。

我先以合情推理的讓學(xué)生觀察下列等式，并進(jìn)行歸納：

2、 通過類比，引出遞推思想

合情推理的結(jié)論不一定正確，我們怎樣證明這個(gè)等式呢？提出問題：“可否依次進(jìn)行驗(yàn)證”。讓學(xué)生自主驗(yàn)證 等式的成立。在驗(yàn)證過程中，學(xué)生通過比較 時(shí)等式的左邊，不難發(fā)現(xiàn)都有 這個(gè)項(xiàng)，自然想到利用“ ”來證明“ ”于是引導(dǎo)學(xué)生觀察以上過程就會(huì)發(fā)現(xiàn)： 時(shí)結(jié)論成立推出 時(shí)結(jié)論也成立， 時(shí)結(jié)論成立可以推出 時(shí)結(jié)論成立，以此類推，此時(shí)我們就可以把這個(gè)過程一般化，當(dāng) 時(shí)結(jié)論成立推出 時(shí)結(jié)論也成立。

3、 總結(jié)歸納得出數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法證明步驟：

（1）驗(yàn)證當(dāng) 取第一個(gè)值 （如 =1或2時(shí)）命題正確。

（2）假設(shè)當(dāng) 時(shí) 命題正確，證明 時(shí)命題也正確。

4、通過實(shí)例，理解數(shù)學(xué)歸納法

多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)

（1）驗(yàn)證當(dāng) 取第一個(gè)值 （如 =1或2時(shí)）命題正確。

類比骨牌：第一張牌被推倒 （奠基作用）

（2）假設(shè)當(dāng) 時(shí) 命題正確，證明 時(shí)命題也正確。

類比骨牌：任意一張牌倒下必須保證它的下一張牌倒下 （遞推作用）

（3）等式成立。

類比骨牌：多米諾骨牌會(huì)全部倒下。

由多米諾骨牌加深對數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟的理解，使學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法有更深刻、清晰、形象化的認(rèn)識(shí)。

5、 例題講解

例 證明：

6、課堂反饋

練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

7、課堂小結(jié)

（1）理解數(shù)學(xué)歸納法的原理

（2）數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可，前者是基礎(chǔ)，后者是遞推依據(jù)，最終給出結(jié)論。

（3）數(shù)學(xué)歸納法主要應(yīng)用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。

二、對比反思

本節(jié)課的關(guān)鍵就是要求在教學(xué)過程中，學(xué)生學(xué)到的不僅僅是形式和抽象的理論，而是讓數(shù)學(xué)歸納法的思想真正的走人學(xué)生的心中。在案例1中，我引入多米諾骨牌，通過這一生活中的具體事例來引導(dǎo)學(xué)生類比得出數(shù)學(xué)歸納法公理。但數(shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法過程中，并不是由生活中的某些特殊的現(xiàn)象通過觀察推理得來的，而是在解決一些具體的有關(guān)正整數(shù)的數(shù)學(xué)問題中，歸納推理得來的，而例如多米諾骨牌這類生活中的具體事例，只是教材在編寫的時(shí)候，為了更好的讓大家理解數(shù)學(xué)歸納法而提出的。因此我認(rèn)為本節(jié)課的重點(diǎn)應(yīng)放在數(shù)學(xué)歸納法以及代數(shù)問題本身，而不應(yīng)該過多的去糾纏多米諾骨牌等實(shí)際問題。

在案例2中，為了尋求事物的一般規(guī)律，我們先考察一些特殊的實(shí)例，再通過不完全歸納形成猜想，然后再試圖用演繹推理對之進(jìn)行證明。這也是世界上很多著名的數(shù)學(xué)問題的求解方法，這種方法對于學(xué)生思維的提高很有幫助。本案例中我們以：“由 時(shí)結(jié)論成立可以推出 時(shí)結(jié)論成立”歸納出一般的 “假設(shè) 時(shí)結(jié)論成立，則 時(shí)結(jié)論也成立”并且以此類推，讓學(xué)生充分體會(huì)到數(shù)學(xué)歸納法是用有限個(gè)步驟，能夠處理完無限個(gè)對象的方法。同時(shí)，也讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到了兩個(gè)步驟的實(shí)質(zhì)：第一步驗(yàn)證的意義是歸納奠基，只有在第一步成立的前提下第二步才有遞推的可行性；第二步是歸納遞推，由第二步形成的“證明的小循環(huán)”保證了這種數(shù)學(xué)關(guān)系成立的“永恒”性。

通過以上兩種不同的教法的課堂教學(xué)，可以明顯的感受到運(yùn)用案例2中的教法，課堂教學(xué)效果較好，學(xué)生反應(yīng)較為迅速，這也說明了學(xué)生對本堂課知識(shí)掌握更到位。學(xué)生通過對數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)的理解，再以多米諾骨牌這一實(shí)例加以辨析和輔助記憶，使學(xué)生更好的理解了數(shù)學(xué)歸納法，同時(shí)也保證了數(shù)學(xué)歸納法本身的主體性。

對比兩堂課的教學(xué)反饋，不難看出，案例1的教學(xué)方法更能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，但是教學(xué)效果相對較差；案例2中的教學(xué)方法，讓學(xué)生更清晰的認(rèn)識(shí)理解所學(xué)習(xí)的知識(shí)，教學(xué)效果良好，使課堂得以高效的進(jìn)行。

在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，與生活聯(lián)系是必要的，但是要凸顯出知識(shí)的本質(zhì)還得依靠數(shù)學(xué)本身。因此在這兩堂教法不同的課上，我傾向于案例2中的教法。我們不能只追求課堂的趣味性，更應(yīng)努力最求課堂的高效性。只有這樣才能使學(xué)生的知識(shí)、能力、素質(zhì)得到最大限度的發(fā)展。