例談相遇問題在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

沈衛(wèi)軍

摘 要：在蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)上第四章第3節(jié)“用一元一次方程解決問題”中，有一類關(guān)于行程問題的應(yīng)用題中，相遇問題是常見的一類題目，它貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)階段，在不等式、函數(shù)中都出現(xiàn)了它的身影，而且方程、不等式、函數(shù)之間有著很密切的關(guān)系。就通過幾個(gè)例題來談一談相遇問題在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：相遇；時(shí)間；速度；路程

有關(guān)相遇問題的題目從七年級(jí)上的一元一次方程中首次出現(xiàn)，一直到九年級(jí)中的函數(shù)也有相關(guān)問題，在中考中也是常見的一種題型，因此，本文就通過幾個(gè)例題，由淺入深，來談?wù)勏嘤鰡栴}在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

【例1】甲、乙兩輛汽車分別從相距270千米的A、B兩地同時(shí)相向而行，已知甲車的速度為每小時(shí)行40千米，乙車的速度為每小時(shí)行50千米，問出發(fā)后多長時(shí)間兩車相遇？

解析：此題中關(guān)鍵是抓住相遇問題中甲、乙兩輛汽車行駛時(shí)間相等，甲乙兩輛汽車行駛的路程之和等于A、B之間的路程即可，如果能畫出線段圖（如下圖），那么問題就能迎刃而解：設(shè)出發(fā)后x小時(shí)相遇，可得方程40x+50x=270，解之得x=3，即出發(fā)后3小時(shí)兩車相遇。

這是最基礎(chǔ)的相遇問題，解決這類應(yīng)用題，關(guān)鍵是能畫出線段示意圖，特別是一些稍復(fù)雜的題目，分析出整段行駛的過程，理清時(shí)間、速度、路程之間的關(guān)系，這一類相遇的問題便能迎刃而解。

【例2】小明和爸爸同時(shí)從距離20千米的兩地相向而行，爸爸每小時(shí)走6千米，小明每小時(shí)走4千米，小明帶著只狗，狗每小時(shí)跑10千米，這只狗和小明同時(shí)出發(fā)，碰到爸爸的時(shí)候，馬上掉頭朝小明這邊跑，碰到小明的時(shí)候又掉頭朝爸爸方向跑去，直到小明和爸爸相遇，問這只狗一共跑了多少千米？

解析：此題是多次相遇的問題，但本題中并不需要知道相遇了幾次，求狗一共跑了多少千米，因?yàn)楣返乃俣纫阎?，所以只要知道狗跑的時(shí)間就可以了，而狗跑的時(shí)間和小明、爸爸跑的時(shí)間是相同的，而這個(gè)時(shí)間就是小明和爸爸相遇所需的時(shí)間，從而又轉(zhuǎn)化到例題1中的相遇問題了。

解：設(shè)小明和爸爸相遇的時(shí)間為x小時(shí)。

由題意得：6x+4x=20

x=2

即狗跑了2小時(shí)，所以狗一共跑了2×10=20千米

但有些題目中并不是同時(shí)出發(fā)，或者說他們行駛的時(shí)間是不相等的，那這一類相遇的行程問題又該如何解決呢？那我們就通過下面的例題來看看。

【例3】甲、乙兩輛汽車分別從相距270千米的A、B兩地同時(shí)相向而行，已知甲車的速度為每小時(shí)行40千米，乙車的速度為每小時(shí)行50千米，甲車剛出發(fā)就因汽車拋錨而耽擱了半小時(shí)，問乙車出發(fā)多少小時(shí)后兩車相距20千米？

此題中甲車中途停留了半小時(shí)，所以這半小時(shí)，甲車沒前進(jìn)，所以在計(jì)算路程時(shí)應(yīng)當(dāng)注意，但不管是停留還是有些題目中誰先出發(fā)，我們都應(yīng)該抓住甲乙兩車行駛的路程等于整段路程這一等量關(guān)系，本題還應(yīng)注意兩車相距20千米有兩種情況，第一種情況（如下圖1）：兩車還沒相遇之前相距20千米，根據(jù)“甲車行駛的路程+乙車行駛的路程=A、B之間的距離-20千米”這一等量關(guān)系，設(shè)出發(fā)x小時(shí)之后，兩車在相遇前相距20千米，得方程：50x+40（x-0.5）=270-20，解得x=3，第二種情況（如下圖2）：兩車相遇之后繼續(xù)往前走，相距20千米，根據(jù)“甲車行駛的路程+乙車行駛的路程=AB之間的距離+20千米”這一等量關(guān)系，設(shè)出發(fā)后y小時(shí)兩車相遇后相距20千米，得方程：50y+40（y-0.5）=270+20，解得y=31/9，因此乙車出發(fā)后3小時(shí)或31/9小時(shí)后兩車相距20千米。

對于這種不管是中間停留還是誰先出發(fā)的題型，同樣我們應(yīng)該通過畫線段圖，找出他們路程之間的關(guān)系，只不過行駛的時(shí)間現(xiàn)在不相等了，這些都是相遇問題在方程中的應(yīng)用，在其他章節(jié)中同樣也出現(xiàn)過相遇問題，下面我們就繼續(xù)來看看。

【例4】A、B兩地相距270千米，兩地之間有個(gè)C站，甲車由A地駛往C站，乙車由B地駛往C站，兩車同時(shí)出發(fā)，本來約定3個(gè)小時(shí)能同時(shí)到達(dá)C站，但因甲車剛出發(fā)半小時(shí)，因汽車拋錨而花了半小時(shí)修車，已知甲車原來的速度為40千米/小時(shí)，問甲車為了能趕在B車到達(dá)C站之前到達(dá)C站，甲車修好車之后的速度應(yīng)不低于多少？

此題中乙車的路程不變，速度不變，到達(dá)C站的時(shí)間也不變，所以關(guān)鍵是甲車修好車之后行駛的那一段路程，甲車出發(fā)半小時(shí)，修車半小時(shí)，也就是說修好車之后趕去C站的時(shí)間最多2小時(shí)，路程不變，由此才會(huì)有問題中甲車速度應(yīng)不低于多少，此題可由“約定3小時(shí)同時(shí)到達(dá)C站”，求出AC之間的距離為40×3=120千米，則修好車之后甲車距C站還有120-40×0.5=100千米，設(shè)甲車的速度應(yīng)不低于x千米/小時(shí)，可得不等式x/100≤2，解得x≥50，即甲車的速度應(yīng)不低于50千米/小時(shí)。

這個(gè)是相遇問題在不等式中的應(yīng)用，我們現(xiàn)在應(yīng)該重點(diǎn)抓住他們在行駛過程中路程、速度或者時(shí)間之間的不等關(guān)系來列出不等式，從而解決問題。下面我們通過最后一個(gè)例題來看一看相遇問題在其他方面的應(yīng)用。

【例5】如下圖1所示，在A，B兩地之間有汽車站C站，客車由A地駛往C站，貨車由B地駛往A地.兩車同時(shí)出發(fā)，勻速行駛.圖2是客車、貨車離C站的路程y1，y2（千米）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系圖象。

（1）填空：A，B兩地相距_____千米；

（2）求兩小時(shí)后，貨車離C站的路程y2與行駛時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）客、貨兩車何時(shí)相遇？

解析：（1）由題意可知：B、C之間的距離為60千米，A、C之間的距離為360千米，A，B兩地相距360+60=420千米；

（2）根據(jù)貨車兩小時(shí)到達(dá)C站，求得貨車的速度，進(jìn)一步求得到達(dá)A站的時(shí)間，進(jìn)一步設(shè)y2與行駛時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式可以設(shè)x小時(shí)到達(dá)C站，列出關(guān)系式，代入點(diǎn)求得函數(shù)解析式為y2=30x-60即可；

（3）兩輛車相遇在函數(shù)圖象中就是兩函數(shù)的圖象相交，求得y1的函數(shù)解析式，與（2）中的函數(shù)解析式聯(lián)立方程，解決問題。

關(guān)鍵我們來看看第（3）小題，這就是相遇問題在函數(shù)中的應(yīng)用，兩車相遇在函數(shù)圖象中就是兩直線相交，從而我們可以通過列方程組來求兩直線的交點(diǎn)，從而求得相遇的時(shí)間。

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是中考中的一個(gè)熱點(diǎn)考題之一，綜合性比較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意結(jié)合圖象說出其圖象表示的實(shí)際意義，這樣便于理解題意及正確解題。

以上就是我通過幾個(gè)例題來看看相遇問題在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，我們應(yīng)該理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，在平時(shí)的教學(xué)過程中，特別是初三復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)訓(xùn)練，知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)之間加強(qiáng)聯(lián)系，做到一題多變。以上就是我自己的一些觀點(diǎn)，如有不足之處，希望各位專家和同仁指教。

編輯 謝尾合