淺析數(shù)列求和方法

邢辰

摘 要：數(shù)列求和作為數(shù)列知識(shí)體系中的重要內(nèi)容，對于提高邏輯思維水平以及解題能力具有重要意義。數(shù)列不只有等差數(shù)列以及等比數(shù)列，絕大多數(shù)的數(shù)列求和并不能直接套用公式。針對此種情形，特歸結(jié)倒序相加、錯(cuò)位相減、直接求和、裂項(xiàng)相消以及分組轉(zhuǎn)化五類方法，本文的研究成果將為簡化數(shù)列求和、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供有益幫助。

關(guān)鍵詞：倒序；錯(cuò)位；直接；裂項(xiàng)；分組轉(zhuǎn)化

一、倒序相加法

二、錯(cuò)位相減法

錯(cuò)位相減法不僅是進(jìn)行等比數(shù)列推導(dǎo)前n項(xiàng)和公式時(shí)常用的重要方法，同時(shí)也是求通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比數(shù)列形式的和的重要方法，即錯(cuò)位相減法適用于數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和的求解，其中{an}、{bn}分別為等差與等比數(shù)列。一般地，在已知的和式的兩邊同時(shí)乘以此數(shù)列組成中的等比數(shù)列的公比，之后將這個(gè)構(gòu)造的新和式減去原來的求和式子，這樣便可以輕松化為一個(gè)同倍數(shù)的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式便可以求得原數(shù)列各項(xiàng)的總和，該種方法便稱為錯(cuò)位相減法。

三、直接求和法

如果題目中給出的數(shù)列為已經(jīng)學(xué)過的等差數(shù)列或者等比數(shù)列，那么求和過程就會(huì)變得簡單得多，我們可以直接采取求和公式來解決問題。具體公式形式總結(jié)如下：

四、裂項(xiàng)相消求和法

裂項(xiàng)相消求和法就是將已經(jīng)得到的數(shù)列通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，然后對其分別求和，通過令一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，便可以獲得該數(shù)列的前n項(xiàng)和轉(zhuǎn)變?yōu)槭孜踩舾身?xiàng)的和，這利用了分解與組合思想。一般地，通項(xiàng)分解形式常見的有如下幾種類型：

裂項(xiàng)相消的變形目的是將原數(shù)列的每一項(xiàng)拆分為兩項(xiàng)之后，根據(jù)余下項(xiàng)前后位置前后對稱或者余下項(xiàng)前后正負(fù)性相反的特點(diǎn)將中間大部分的項(xiàng)相互抵消，只剩下有限幾項(xiàng)，從而使得求和問題獲得簡易求解。

五、分組轉(zhuǎn)化求和法

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，那么要想求此數(shù)列的和便需要采用一種新的方法，即分組轉(zhuǎn)化求和法。其是將數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或者將數(shù)列的各項(xiàng)進(jìn)行重新組合，使其向等差數(shù)列或者等比數(shù)列轉(zhuǎn)化的有效方法。

六、結(jié)語

總而言之，在解決數(shù)列求和問題上，需要將重點(diǎn)放在數(shù)列通項(xiàng)公式的表達(dá)形式上，根據(jù)通項(xiàng)公式形式特點(diǎn)，采取適宜方法是解決此類題型的關(guān)鍵。一般地，如果是等差、等比數(shù)列，那么其求和便可以直接利用公式求解。而對于不是等差或者等比數(shù)列的一般數(shù)列而言，其求和主要有兩種思路：第一，利用錯(cuò)位相消或者分組求和使一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或者等比數(shù)列。第二，借助裂項(xiàng)相消等方法將不能向等差或者等比的數(shù)列進(jìn)行特殊求和。只有記住每一種類型的求和方法，在題目中多加積累，才能為之后數(shù)列知識(shí)體系的完善奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

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（作者單位：鄭州市第四中學(xué)分校，鄭州市京廣實(shí)驗(yàn)學(xué)校）