淺談小學(xué)數(shù)學(xué)基本思想在課堂教學(xué)中的意義

楊金龍

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2016）07-0217-01

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把"雙基"改為"四基"，新提出了基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更加系統(tǒng)、精準(zhǔn)的詮釋了三維目標(biāo)要求。那么什么是數(shù)學(xué)基本思想？有哪些基本思想？下面結(jié)合個(gè)人對(duì)課標(biāo)的理解和課堂教學(xué)實(shí)踐的心得，淺談一下數(shù)學(xué)基本思想在課堂教學(xué)中的意義。

數(shù)學(xué)思想，是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉出的一些觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，即解決數(shù)學(xué)具體問(wèn)題時(shí)所采用的方式、途徑和手段，也可以說(shuō)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略。

史寧中教授指出：基本數(shù)學(xué)思想不應(yīng)當(dāng)是個(gè)案的，而必須是一般的。這大概需要滿足兩個(gè)條件：一是數(shù)學(xué)產(chǎn)生以及數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中所必須依賴的那些思想。二是學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)的人所具有的思維特征。這些特征表現(xiàn)在日常的生活之中。這就可以歸納為三種基本思想，即抽象、推理和模型。

抽象、推理和模型是數(shù)學(xué)的基本思想，是最高層面的思想，在實(shí)踐中又派生出很多與具體內(nèi)容結(jié)合的具體思想。在小學(xué)階段，具體數(shù)學(xué)思想主要有符號(hào)化思想、化歸思想、分類思想、方程思想、集合思想、數(shù)形結(jié)合思想、統(tǒng)計(jì)與概率思想等等。

1.符號(hào)化思想

西方較早地在數(shù)學(xué)研究中引進(jìn)了符號(hào)，十六世紀(jì)數(shù)學(xué)家韋達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)作了很多改進(jìn)，并且第一個(gè)有意識(shí)地系統(tǒng)地用字母表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來(lái)了代數(shù)學(xué)研究的重大拓展，奠定了符號(hào)代數(shù)的基礎(chǔ)。用符號(hào)化的語(yǔ)言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號(hào)）來(lái)描述數(shù)學(xué)的內(nèi)容，這就是符號(hào)思想。在數(shù)學(xué)中各種量的關(guān)系，量的變化以及量與量之間進(jìn)行推導(dǎo)和演算，都是用小小的字母表示數(shù)，以符號(hào)的濃縮形式來(lái)表達(dá)大量的信息，如乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c，這里的a、b、c不僅可以表示1、2、3，也可以表示4、5、6、7……長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式s=a×b，不管世界上有多少個(gè)不同的長(zhǎng)方形，都可用它計(jì)算出來(lái)。這種用符號(hào)來(lái)體現(xiàn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言是世界性語(yǔ)言，是一個(gè)人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合反映。

2.化歸思想

2.1 化歸思想的概念。人們面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果直接應(yīng)用已有知識(shí)不能或不易解決該問(wèn)題時(shí)，往往需要解決的問(wèn)題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問(wèn)題，最終使原問(wèn)題得到解決，這種思想方法稱為化歸（轉(zhuǎn)化）思想。

2.2 化歸所遵循的原則。化歸思想的實(shí)質(zhì)就是在已有的簡(jiǎn)單的、具體的、基本的知識(shí)的基礎(chǔ)上，把未知化為已知、把復(fù)雜化為簡(jiǎn)單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規(guī)劃為常規(guī)，從而解決各種問(wèn)題。

2.3 分類思想。數(shù)學(xué)中每一個(gè)概念都有其特有的本質(zhì)特征，它又是按照一定的規(guī)律擴(kuò)展變化的，它們之間都存在著質(zhì)變到量變的關(guān)系。要正確的認(rèn)識(shí)這些概念，就需要具體的概念依據(jù)具體的標(biāo)準(zhǔn)具體分析，這就是數(shù)學(xué)的分類思想，是指按某種標(biāo)準(zhǔn)，將研究地?cái)?shù)學(xué)對(duì)象分成若干部分進(jìn)行分析研究。

一般我們分類時(shí)要求滿足互斥，無(wú)遺漏、最簡(jiǎn)便的原則。如整數(shù)以能否被2整除為例，可分為奇數(shù)和偶數(shù)；若以自然數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)來(lái)分類，則可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。幾何圖形中的分類更常見(jiàn)，如學(xué)習(xí)"角的分類"時(shí)，涉及到許多概念，而這些概念之間的關(guān)系滲透著量變到質(zhì)變的規(guī)律。不同的分類標(biāo)準(zhǔn)會(huì)有不同的分類結(jié)果，從而產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)。 由于分類討論，一則在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生潛移默化地受到了辨證唯物主義思想的啟蒙教育；又一則對(duì)學(xué)生能力有明顯的區(qū)別功能，再加上現(xiàn)實(shí)世界需要分類研究的普遍性，作為一種數(shù)學(xué)思想必然會(huì)引起人們的重視。

2.4 方程和函數(shù)思想。在已知數(shù)與未知數(shù)之間建立一個(gè)等式，把生活語(yǔ)言"翻譯"成代數(shù)語(yǔ)言的過(guò)程就是方程思想。在小學(xué)階段，學(xué)生在解應(yīng)用題時(shí)仍停留在小學(xué)算術(shù)的方法上，一時(shí)還不能接受方程思想，因?yàn)樵谒闱蠼忸}時(shí)，只允許具體的已知數(shù)參加運(yùn)算，算術(shù)的結(jié)果就是要求未知數(shù)的解，在算術(shù)解題過(guò)程中最大的弱點(diǎn)是未知數(shù)不允許作為運(yùn)算對(duì)象，這也是算術(shù)的致命傷。而在代數(shù)中未知數(shù)和已知數(shù)一樣有權(quán)參加運(yùn)算，用字母表示的未知數(shù)不是消極地被動(dòng)地靜止在等式一邊，而是和已知數(shù)一樣，接受和執(zhí)行各種運(yùn)算，可以從等式的一邊移到另一邊，使已知與未知之間的數(shù)學(xué)關(guān)系十分清晰。數(shù)學(xué)思想是現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系深入研究的必然產(chǎn)物，對(duì)于變量的重要性，恩格斯在自然辯證法一書(shū)有關(guān)"數(shù)學(xué)"的論述中已闡述得非常明確："數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辨證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分與積分也立刻成為必要的了。"數(shù)學(xué)思想本質(zhì)地辨證地反映了數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律，是近代數(shù)學(xué)發(fā)生和發(fā)展的重要基礎(chǔ)。

2.5 集合思想。集合的概念把指定的具有某種性質(zhì)的事物看作一個(gè)整體，就是一個(gè)集合（簡(jiǎn)稱集），其中每個(gè)事物叫做該集合的元素（簡(jiǎn)稱元）。給定的集合，它的元素必須是確定的，即任何一個(gè)事物是否屬于這個(gè)集合是明確的。如"學(xué)習(xí)成績(jī)好的同學(xué)"不能構(gòu)成一個(gè)集合，因?yàn)闃?gòu)成它的元素是不確定的；而"語(yǔ)文和數(shù)學(xué)的平均成績(jī)?cè)?0分及以上的同學(xué)"就是一個(gè)集合。一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重復(fù)出現(xiàn)。只要兩個(gè)集合的元素完全相同，就說(shuō)這兩個(gè)集合相等。

2.6 數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)主要對(duì)象，數(shù)離不開(kāi)形，形離不開(kāi)數(shù)，一方面抽象的數(shù)學(xué)概念，復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，借助圖形使之直觀化、形象化、簡(jiǎn)單化。另一方面復(fù)雜的形體可以用簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系表示。在解應(yīng)用題中常常借助線段圖的直觀幫助分析數(shù)量關(guān)系。

2.7 統(tǒng)計(jì)思想。小學(xué)數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計(jì)圖表是一些基本的統(tǒng)計(jì)方法，求平均數(shù)應(yīng)用題是體現(xiàn)出數(shù)據(jù)處理的思想方法。

我們廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師要做教學(xué)有心人，有意滲透，有意點(diǎn)撥，重視數(shù)學(xué)史的滲透，重視課堂教學(xué)小結(jié)，要以適應(yīng)小學(xué)生年齡特點(diǎn)的大眾化、生活化方式呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生通過(guò)現(xiàn)實(shí)活動(dòng)，主動(dòng)參與、自主探究，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維方法提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到切實(shí)、有效地發(fā)展，進(jìn)而提高全民族的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。

我們要以數(shù)學(xué)思想方法為引領(lǐng)分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)反思、感悟，逐漸提升對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)。