受滑動平均有色噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統(tǒng)的辨識算法研究

李向麗，夏靜，陳維

（常熟理工學院電氣與自動化工程學院，江蘇常熟215500）

受滑動平均有色噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統(tǒng)的辨識算法研究

李向麗，夏靜，陳維

（常熟理工學院電氣與自動化工程學院，江蘇常熟215500）

研究受滑動平均有色噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統(tǒng)的參數(shù)辨識算法.針對系統(tǒng)中存在不可測中間變量的問題，利用輔助模型對其進行估計，進一步提出遞推增廣最小二乘算法對系統(tǒng)參數(shù)進行辨識.并通過計算機MATLAB仿真驗證了算法的有效性.

非線性系統(tǒng)；非均勻采樣；輔助模型；滑動平均

1　引言

精確的數(shù)學模型對于實際工程系統(tǒng)的分析和控制至關重要，如果能夠建立較為精確的數(shù)學模型，控制設計問題也能夠迎刃而解［1］.傳統(tǒng)的機理模型不能適應環(huán)境的變化和影響，建模精度偏低，而且現(xiàn)有的機理模型也存在著形式復雜、計算實時性不能保證等問題.因此，近年來對工業(yè)過程建模的研究主要集中在測試法建模（黑箱建模）上，而辨識技術則一直是測試法建模的研究熱點.在現(xiàn)代工業(yè)中由于對經(jīng)濟效益、產(chǎn)品質量以及環(huán)境保護的要求越來越高，使得相應的工業(yè)過程越來越復雜，對模型的描述能力也提出了更高的要求.傳統(tǒng)的線性模型已不能滿足工業(yè)實際的需要，因此建立描述非線性現(xiàn)象的非線性系統(tǒng)，并深入研究非線性系統(tǒng)的辨識方法是十分必要的［2］.

目前，常見的非線性系統(tǒng)模型有：Volterra級數(shù)、塊結構化非線性模型等［3］.基于模塊化結構的非線性模型由一個動態(tài)的線性子模型和一個靜態(tài)非線性子模型級聯(lián)而成，具有能較好地反應非線性特性、計算量少、易辨識等特點，是近年來非線性動態(tài)建模和辨識研究的熱點［2］.在20世紀60年代Narendra和Gallman提出了Hammerstein模型［4，5］，它由一個靜態(tài)非線性子模型和一個動態(tài)線性子模型串聯(lián)構成，可表征大部分非線性系統(tǒng).關于Hammerstein模型的辨識，很多研究假設非線性子模型是不連續(xù)非線性［6］，或是一個兩階段或多階段折線非線性［7，8］，還有一些方法假設非線性子模型是已知非線性基的線性組合［9］.在辨識方法上，Ding等提出了這類非線性系統(tǒng)的牛頓迭代辨識方法和牛頓遞推辨識方法［10］；Vanbeylen和Pintelon等提出了極大似然盲辨識方法［11］；Wang等討論了多新息增廣最小二乘算法［12］和廣義遞推最小二乘算法［13］；Bai等推導了盲辨識法［14］；Goethals提出子空間辨識方法［15］；李秀英等把神經(jīng)網(wǎng)絡、遺傳算法等應用到非線性系統(tǒng)辨識中［16］；王峰等利用改進的粒子群優(yōu)化算法對Hammerstein模型進行參數(shù)辨識［17］.

在實際工業(yè)過程中，由于信息傳輸過程中存儲數(shù)據(jù)硬件的損壞、數(shù)據(jù)的丟失、工作人員的變動、采樣地點的改變、氣候環(huán)境對采樣數(shù)據(jù)的影響等都會導致數(shù)據(jù)采樣的非均勻性，所以絕對的均勻采樣非線性系統(tǒng)是不存在的，相對的非均勻采樣非線性系統(tǒng)卻是廣泛存在的.當非線性系統(tǒng)的輸入或者輸出以非均勻間隔刷新，得到非均勻采樣系統(tǒng).Yamamoto等研究了雙采樣率線性系統(tǒng)的頻域模型［18］；Lu和Fisher利用最小二乘算法和投影算法辨識雙采樣率模型的參數(shù)［19］；文獻［20］利用提升技術處理非均勻采樣數(shù)據(jù)，得到狀態(tài)空間模型；Liu等采用遞階辨識的思想，將非均勻采樣系統(tǒng)分解為多個辨識子系統(tǒng)，運用遞推最小二乘算法辨識系統(tǒng)參數(shù)［21］.

本文研究受有色噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統(tǒng)的參數(shù)辨識算法.當被控對象的干擾是有色噪聲時，其信息矩陣中包含不可測噪聲變量，首先通過建立輔助模型，利用輸入輸出數(shù)據(jù)估計這些未知變量的估計值，能夠得到可估計的信息矩陣.然后提出遞推增廣最小二乘算法，得到系統(tǒng)的參數(shù)估計.最后利用仿真實例分析算法的性能和有效性.

2　非均勻采樣非線性系統(tǒng)描述

下面是受滑動平均有色噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統(tǒng)的描述.

首先利用周期為τ的零階保持器Hr處理多采樣率輸入離散信號u（kT+t1）得到u（t）；u（t）作為非線性系統(tǒng)的輸入，非線性系統(tǒng)由非線性子模型f（·）和線性子模型Pc級聯(lián)形成，則分別得到非線性子模型的輸出u-（t）和系統(tǒng)的真實輸出y（t），但y（t）值不可測量；系統(tǒng)的真實輸出y（t）經(jīng)過周期為T的輸出采樣器ST，產(chǎn)生離散信號y（kT）；y（kT）是系統(tǒng)的輸出采樣，受噪聲ω（kT）干擾后得到系統(tǒng)的可測輸出ym（kT）.假設輸入u（t）具有非均勻采樣間隔，則經(jīng)過零階保持器后，輸入u（t）可表示為：

這里框架周期T:=τ1+τ2+…+τr.假設非線性子模型的輸出u-（t）為非線性基函數(shù)f:=（f1，f2…fn）的線性組合，

式中x（t）∈?nr是狀態(tài)向量，u-（t）和y（t）是輸入變量和輸出變量，Ac、Bc、C、D是維數(shù)適當?shù)木仃?用框架周期T離散化（3）得到，

在采樣時刻t=kT時，輸出可表示為：

有色噪聲輸出ω（kT）被表示為ω（kT）=H（z）ν（kT），其中，

由系統(tǒng)圖可知，

進一步，由式（4）和式（5），得到

根據(jù)上述參數(shù)的定義，等式（8）可改寫為

將式（9）代入式（7），則系統(tǒng)輸出ym（kT）可表示為

式（10）可等價的表示為

如果將非線性子模型代入式（11）就會產(chǎn)生一個包含參數(shù)乘積的表達式，雖然可以用過參數(shù)的方法進行化簡［10］，但過參數(shù)化處理后會使待辨識參數(shù)增加，增加了算法的復雜性.關鍵項分離技術（key termseparation technique）［5］由V?r?s教授首先提出，能夠解決模型耦合的難題.把作為關鍵項，令β10=1，則可以把非線性系統(tǒng)的參數(shù)從線性動態(tài)系統(tǒng)中分解出來.得到如下滑動平均噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統(tǒng)辨識模型：

3　遞推增廣最小二乘參數(shù)估計方法

針對受滑動平均有色噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統(tǒng)，應用基于輔助模型的遞推增廣最小二乘算法估計模型參數(shù)，基本思想是借助一個參考模型（也稱為輔助模型），用參考模型的輸出估計代替系統(tǒng)不可測的變量，使得參考模型的輸出逼近這些不可測的輸出，從而獲得系統(tǒng)參數(shù)的一致估計.再利用輔助模型的輸出代替系統(tǒng)的不可測變量，進一步利用遞推增廣最小二乘算法得到系統(tǒng)的參數(shù)估計.

定義信息向量φ（kT）和參數(shù)向量θ如下：

式（12）可以寫成向量形式：

式ω（KT）=H（Z）v（KT）也可以寫成如下的向量形式：

定義二次準則函數(shù)，

注意到在式（16）和（17）中的信息向量φ（KT）包含未知內部變量，同時噪聲也是未知的，因此參數(shù)向量θ通過最小二乘算法很難被估計.基于輔助變量思想，用估計

代替φ（KT）中的不可測變量y（KT）；用估計y（KT）代替式（2）中的γi進一步計算得到的估計

根據(jù)式（13）得到噪聲的估計

進一步根據(jù)式（14）可以得到滑動平均噪聲的估計

定義φ（KT）的估計

4　仿真實例

下面通過一個數(shù)值仿真實例驗證算法的收斂性能.設系統(tǒng)的線性動態(tài)子模型Pc有如下的狀態(tài)空間表達式：

令r=2，τ1=1s，τ2=2s，即t1=τ1=1s，t2=t1+τ2=3s，有色噪聲模型為：ω（kT）=H（z）ν（kT），其中，H（z）=1+0.2z-1.用框架周期T離散化這個系統(tǒng)得到相應的輸入輸出表達式：

在仿真中，輸入｛u（kT）｝和｛u（kT+t1）｝，取零均值單位方差的持續(xù)激勵信號序列，｛v（kT）｝是零均值單位方差的白噪聲.應用提出的算法估計未知參數(shù)，θ隨迭代次數(shù)k變化的參數(shù)估計誤差δ如圖1所示.

圖1　參數(shù)估計誤差隨迭代次數(shù)k的變化曲線

從圖1可得到如下結論：算法的參數(shù)估計誤差隨k的增加而減小，證明了算法的有效性.同時該算法具有原理簡單、計算精度高、且可以用于在線辨識等特點.但是，由于多采樣率非線性系統(tǒng)待辨識參數(shù)多，協(xié)方差矩陣P是一個維數(shù)較大的矩陣，增加了算法的計算負擔.研究提出計算量小、精度高的多采樣率非線性系統(tǒng)辨識算法將是下一步的研究方向.

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Identification Algorithm Research on the Multiratesampling Nonlinearsystem with Moving Average Colored Noise

LI Xiangli，XIA Jing，CHEN Wei（School of Electric and Automatic Engineering，Changshu Institute of Technology，Changshu 215500，China）

Based on the auxiliary model method，the leastsquare recursive algorithm is derived for the nonlinear output error moving averagesystem.Insummary，this paperstudies and derives the identification algorithms for nonlinearsystem with multiratesampling，and the effectiveness of the algorithms is illustrated by Matlabsimulations.

nonlinearsystem；multiratesampling；auxiliary model；moving averagesystem

TP274

A

1008-2794（2015）04-0058-06

2016-05-30

江蘇省高校自然科學基金“生物發(fā)酵過程的非線性軟測量建模及優(yōu)化”（15KJB120001）；常熟理工學院校級科研項目“精餾過程中多采樣率非線性系統(tǒng)建模及目標優(yōu)化方法研究”（XZ1504）

李向麗，講師，工學博士，研究方向：非線性建模、參數(shù)辨識，E-mail：Lixiangli@cslg.cn.